夜雨聆风上一篇我们说，智能也许真的有形状。
这一篇要说的是：看见一个圆，不等于在圆上思考。
一、八月之后六个月
一个问题，小学生都会答：
What month is six months after August?
人答这个问题的时候，多半会在脑子里把月份转一下：August, September, October, November, December, January, February。或者更快一点，闭上眼睛看到一个隐形的圆盘，从 August 往前推半圈，落在 February 上。
不管走哪条路，圆是一直在的。
研究者早就发现，大语言模型内部也确实把月份排成了一个圆。星期也是圆，颜色也是圆，钟表更是圆。这件事漂亮到让人想就此打住。如果模型内部有月份圆，那它回答"八月之后六个月"的时候，应该就是在那个圆上转六步。它学到的几何和它做的计算，本该是同一件事。
实际并非如此。
2026 年初一篇论文做了一件很扎实的工作。研究者盯着 Llama-3.1-8B 一层一层往里看，发现这个模型回答上面那个问题时，走的不是月份圆。
它把 August 翻译成数字 8，把 six 翻译成数字 6，做了一道朴素的加法：
然后再把 14 翻译回月份：
答案一样，路线完全不同。
它没有沿着自己看见的那个圆走。它绕了一条远路，从月份的世界离开，进了一个数字的世界，做完事再回来。
这条路看起来很奇怪。但它一旦被看见，就再也回不去了，因为它把一个我们以前以为是一件事的东西，劈成了两件。
二、从未见过人类日历的外星人
模型学月份的时候，没人给它一张日历。
它见到的只是 January、February、March 这些词，在亿万个句子里如何跟别的词来往：哪个月跟"春天"一起出现，哪个跟"开学"一起出现，哪个老和"圣诞"挤在一起。整件事像一个外星人远远地接收地球的电波，从未踏上地球，从未见过人类的脸，只能从电波里听人类反复说的那些话。
但只靠这些话，他画得出来人类的月份。
模型也是。只靠这些"话"，它在内部把十二个月份排成了一个圆，把彼此的间隔精确到了月与月之间的距离。它从来不知道二月很冷，没看过日历挂在墙上，但它知道二月该和谁挨着。
数学里有一种古老的眼光跟这件事是一回事。它说：一个东西是什么，归根到底由它和别的东西的全部关系决定。两个东西如果对外的关系网一模一样，它们就是同一个东西，没有别的"内在"可言。这听起来像哲学，但二十世纪后半叶有一整个数学分支就站在这条原则上。
模型在自己有限的方式里，把这条原则演了一遍。
而它接着做了一件更有意思的事情。
它学完了月份，又学了星期，又学了 24 小时。三张关系网，三个圆，形状不同，节点数不同。表面上看是三个独立的小世界。但当模型真的要用这三个概念去算点什么的时候，它没有给每个小世界配一套专门工具。它做的是另一件事：把月份翻译成数字，把星期翻译成数字，把小时翻译成数字，然后送进同一台加法器。
也就是说，三张表面不同的关系网，背后共享同一个底层对象。
这是同一条数学原则的第二次出现，方向反了过来。第一次说的是：一个概念可以从它的关系网里被反推出来。第二次说的是：多个关系网可以从同一个更底层的对象里被代表出来。
数学家会立刻认出这两条是同一件事的两个侧面，并且会想起一个名字。但你不用记住那个名字。你只需要记住：模型在一台机器里，把这件事的两个方向都演了一遍，一次往里收，一次往外放。
这门数学叫范畴论。几乎所有的智识搭建最后都要指向她。
三、厨师和修理工
到这里，我们可以停下来问一个不一样的问题。
如果模型已经把月份的关系网学得这么好，为什么它还要绕路？为什么它不直接在月份圆上做计算？
这个问题的答案不在模型里，在一种更基本的对立里。
想想做菜的人。一个做了三十年同一道菜的厨师，盐放多少不是"算"出来的，是"看"出来的。锅一开，色一变，他手就知道盐够了。在他这里，结构和动作合成一件事。看见就是算。这是一种特别深的掌握。它的代价是窄。他对这一道菜如此，换到一个完全没做过的菜系，这种"手感"就不在了。
再想想一个带工具箱的修理工。他面对的螺丝千奇百怪，一字的、十字的、六角的、内六角的，还有些他从来没见过的。他不可能为每种螺丝长出一双"看见就知道怎么拧"的手。他必须有一把能拧很多种螺丝的扳手，遇到具体螺丝先识别再调整扳手。这种解法慢，绕，每次都要花一点工夫做翻译。但它能处理那些他从来没见过的螺丝。
这两种解法各有各的强项，但它们没法兼得。
做菜的人快、深、稳，前提是任务窄。修理工慢、绕、有翻译开销，前提是任务可以多。让"看就是算"成立的条件，恰好就是让通用性消失的条件。一个能在很多种循环结构上推理的系统，无论怎么训练，都不可能在每一种结构上都达到"看就是算"的程度。它必须在某些时候做翻译。
Llama 在循环推理这件事上扮演的是修理工的角色。它要处理月份、星期、24 小时，将来可能还会遇到生肖、扑克花色、围棋手数模 4。它没办法为每一种循环结构都长出一双专属的手。它选择了另一条路：建一台通用加法器，所有循环概念都翻译进去，做完再翻译出来。
这条路的代价是显眼的。它在每一件具体的事情上都没有"看就是算"的那种轻盈。但这条路的好处藏在它没说出来的地方：它能处理它从没见过的循环结构。一个新的、它训练时根本不存在的循环概念，只要能被翻译成数字，它就能用同一台加法器处理。
Llama 的"缝"不是它没做好。这道缝是它在通用性这边站位的代价。
四、缝里能看见什么
那道缝具体长什么样？
要回答这个问题，先要有看它的眼睛。
模型不在用人类语言思考。它在用几千维的数字列表思考。研究者想看见这些数字列表里发生了什么，需要工具。一类叫稀疏自编码器（SAE），它能把同一组神经元里"叠"在一起的多个特征解开，让每个特征独立呈现。一类叫激活补丁（activation patching），它把某组神经元的状态在两个任务之间互换，看输出会不会跟着换，以此验证那组神经元是不是真的在因果地承担某个计算。还有一类是把模型内部的表征拟合到一个具体的几何形状上去看：比如假设数字在模型内部是一条"广义螺旋"（generalized helix），用数据去看这个假设拟合得多准。在 Kantamneni 和 Tegmark 的论文里，这个拟合的 到了 0.997，几乎完美。这就把"模型在用某种螺旋编码数字"从一个猜测变成了可以被检验的结构假说。
这些工具是过去几年才逐渐成熟的。它们让"模型内部在做什么"第一次从一个哲学问题变成一个可以被实证回答的问题。
5 月 8 日我们发过一篇专门讲这件事的文章，《用语言照亮 AI 模型的内部，语言也会制造幻影》。那篇讲了 NLA 这种新工具如何用语言读出模型内部表征，也讲了这种工具的局限：它会胡编、缺乏机制基础、太能说，而且有效性会随认真使用而衰减。如果你想知道"看见 AI 内部"这件事本身的来龙去脉，可以回去读那一篇。
这一节假设这些工具已经在手。我们关心的不是"怎么看见"，是"看见了什么"。
研究者顺着这条线索往里找，找到了一个非常具体的位置。Llama-3.1-8B 的第 18 层 MLP 里，有大约 28 个神经元，反复出现在四类任务上：
几月之后是几月 几天之后是星期几 几小时之后是几点 一道纯加法
四个任务，看起来在问四件不同的事。但盯住这 28 个神经元中的任何一个，画出它在四个任务上的发放模式，画出来的图几乎重叠。
也就是说：从这个神经元的角度看，月份题、星期题、小时题、加法题，根本不是四件事。它一直在做同一件事。
我们以为我们在问模型四件事，模型早就把它们当成同一件事。
这 28 个神经元还可以按周期分组。一组负责模 2（也就是奇偶），一组负责模 5，一组负责模 10，再往上是 20、50、100。每一组负责数字结构的一个侧面，合起来才"听见"一个具体的数字。
这里有一个细节值得停下来看。如果模型真的为月份造了一台专门的加法器，那这台加法器的周期应该是 12，因为月份本来就是 12 周期的。如果是为星期造的，应该是 7。为 24 小时造的，应该是 24。
可是论文里那台真实的加法器，周期不是这些。
它的周期是 2、5、10、20、50、100。全是十进制的影子。
面对一个天然以 12 为周期的概念，模型内部浮现出来的，却是 10 的世界。它没有为月份学会"模 12 算术"，它学会的是普通的十进制加法，然后在最后一步把 14 映射回 February。
这道缝因此有了具体的形状。它不是一道抽象的接缝，它是一段明确的翻译路径：
中间那一段"数字+加法+数字"是不依赖月份的。月份在这一段里被悬置了，只剩它的数字编号在参与运算。运算完了，月份再被找回来。
值得停下来看一眼中间那一段。
模型怎么做加法的？不是像我们小学时学的那样，从个位开始进位、进十位、进百位。它做的事情让人意外得多。
Kantamneni 和 Tegmark 的论文给出了一个非常优美的解释：模型很可能用三角恒等式做加法。具体说，它内部储存的不是一个数字本身，而是这个数字在几个不同周期的圆上的位置，也就是一组 和 。要算 ，模型用的是大家高中都背过的那个公式：
模型靠这条恒等式，把 和 各自的"圆上位置"组合成 的"圆上位置"，最后从这个位置读出答案。
这件事说出来有一种朴素的意外。我们一直以为模型在做"加法"，以为内部某个角落里藏着我们熟悉的进位规则。但事实是，模型一辈子没真正学过进位。它学到的是另一套完全不同的机制：把数字摊在几个圆上，似乎在用三角函数把它们旋转到一起。
旋转完了，答案出现了，再翻译回 February。
这是修理工拿出扳手、调好规格、拧完螺丝、再把扳手收回工具箱的具体样子。
五、10 进制，可能只是人类习惯的指纹
为什么是 10？
Llama 内部那台加法器的周期是 2、5、10、20、50、100。这些是 base-10 系统的自然周期。这件事本身是论文里的实验结果，没有争议。
但它为什么是 base-10 的？
这件事的答案不只是猜测，已经有相当扎实的实验证据。
Levy 和 Geva 在 2024 年那篇 Language Models Encode Numbers Using Digit Representations in Base 10里用线性探针证明：Llama 3、Mistral 等多个模型的内部数字表征，确实是逐位 base-10 的圆。每一位都对应一个独立的、周期为 10 的圆。这件事在跨模型、跨 tokenizer 的实验里一致出现。
Zhou 和合作者 2024 年的工作走得更近一步。他们做了一个对比实验：从头训练的模型，没见过预训练语料的话，只能用低频 Fourier 特征做加法，准确率上不去；但只要把预训练好的 token embedding 接进去，那些 base-10 的高频周期（2、5、10）就回来了，准确率也回来了。也就是说，这些 Fourier 周期不是模型架构里自带的，是被语料里 base-10 的文本结构"教"出来的。
所以"Llama 用 base-10 是因为它的数据是 base-10 的"这件事，不是悬空的猜测。在十进制语料这个范围内，"数据的进制结构 → 模型内部的 Fourier 周期"这条因果链已经被实验验证。
但还有一件事情没人做过。
从头训练一个 12 进制语料的 Llama 不现实。要凑出这样的语料，得人工把整个网络语料里所有数字都改成 12 进制，工程量太大。但有一个小得多的实验可以做。
拿一个已经训练好的 Llama，让它在大量 12 进制算术题上做强化学习。几千道题、几个小时的训练，可能就够。然后做两件事。
第一件事，去看看模型内部的 Fourier 周期变了没有。如果"周期源于训练数据进制"这条因果链是稳的，模型应该长出 12 的因子和倍数的周期，也就是 2、3、4、6、12，也许还有 144。
第二件事，训完之后给模型一道普通的十进制算术题，看它走哪条路。
第二件事是这个实验里最有意思的部分。一个合理的预测是：模型会切回到 10 进制。因为预训练时间远远长于强化学习微调时间，10 进制的先验刻在权重深处，12 进制的能力更像是被压在上面的一层新皮。再问它一道普通的十进制题，深处的先验赢，它就回去用 10 进制了。
如果这个预测对，那它告诉我们的事情比"模型能学会 12 进制"多得多。
它告诉我们 Llama 内部其实已经有了两套机制并存的可能性，只是现在没有一个明确的判断"什么时候走哪一套"的开关。强化学习只是把这种潜在可能性激发出来。再加一个能根据题目类型选择走哪条路的机制，模型就有了真正意义上的两套工具。
这件事如果真的能在实验里看见，"通用性的代价"这件事就有了一个具体的、可以走的减小方向。不是去消除翻译开销，而是去学会什么时候不需要翻译。
这个实验原则上现在就可以做。它不需要大语料，不需要从头训练，不需要任何还没造出来的工具。它需要的只是一个研究生、几张 GPU、几天时间，加上对这件事感兴趣。
如果有人做了它，我们对"通用 vs 专用"这条边界会有一个比今天清楚得多的图景。这件事的答案是什么我们不知道，但它值得被知道。
不过实验做完之后，还有一件事情消不掉。
无论用什么进制做通用加法器，都会对某些循环概念友好，对另一些不友好。一台 base-10 的加法器对 10 周期友好（个位、十位、百位），对 12 周期的月份不友好；一台 base-12 的加法器反过来。但不存在一个 base，能同时对所有循环概念都对齐。
这件事的根据是数学上的。和 没有非平凡的公共商。要在一个统一的代数对象上同时承载它们，必须走到它们共同的"母空间"，也就是整数加法 。而 在具体实现上选什么 base，是文化的事情，不是数学的事情。
整件事的结构是这样的。
已经被实验验证的：模型用 base-10 做内部加法；它用 base-10 的原因是训练语料是 base-10 的（在 10 的幂次范围内已被对照实验证明）。
还没人做、但可以做的：用强化学习教一个现成的模型学 12 进制，再看它内部周期变没变、默认时走哪条路。这是一个小投入的实验。如果做出来，我们对"模型内部能不能并存多套机制"会有第一手的证据。
实验做完之后依然消不掉的：不管哪种进制，通用加法器都会对一些循环概念友好、对另一些不友好。这件事不是工程问题，是数学事实。
前两步关于具体系统，可以靠实验和工程慢慢推动。第三步关于通用学习系统本身，永远在。
六、几个时钟比一根尺子更稳
到这里还有一个问题没回答。Llama 既然要用一台通用加法器，为什么这台加法器要长成"几个不同周期的圆"的样子？为什么不就把数字排成一条线，加法就是把两个位置加起来，落到哪个数字最近？
Kantamneni 和 Tegmark 那篇论文里有一个很漂亮的实验回答这个问题。
他们取了 GPT-J 内部的数字表示，把它压缩到一条线上。压缩的效果非常好，，几乎完美。然后他们用这条线做加法：把 的位置加上 的位置，看落到哪个数字最近。
照理这条线已经够准了。
可是用这条线做加法，准确率只有 20% 不到。同样的任务，GPT-J 自己能做到 80% 以上。
差别在哪里？
差别在于：一条线上的小误差，会被加法放大。如果 37 偏了一点点，48 也偏了一点点，加起来的位置可能落在 84 和 86 之间，模型读出来是哪个就不一定了。一条尺子，越长越不准。
但如果把数字同时写在几个时钟上，一个 2 周期的时钟告诉你奇偶，一个 5 周期的时钟告诉你模 5 余几，一个 10 周期的时钟告诉你个位，情况就不一样了。每个时钟单独可能也有误差，但它们彼此之间会互相校正。模 5 的时钟说余 4，模 2 的时钟说是奇数，模 10 的时钟说个位是 9，三条信息合起来，答案唯一。
这是一种冗余编码。古老到大脑里早就有了。
2005 年挪威的 Moser 夫妇发现了网格细胞。一只老鼠在一个空房间里走，它内嗅皮层里的每一个网格细胞，会在房间的多个位置上发放，这些位置在地面上排成一个完美的六边形晶格。一类网格细胞负责一种周期，另一类负责另一种周期。老鼠的位置不是被某一个细胞"记住"的，是被一群周期不同的网格细胞共同写下的。
这件事被发现的时候，所有人都觉得奇怪：为什么大脑要用这么绕的方式来记一个位置？
现在我们大概知道为什么了。单个细胞的发放不准。单条信息不可靠。但几条不可靠的信息，如果它们的周期不同、互相错开，合在一起反而能准。这是工程师做纠错码时早就发现的事情，也是任何在含噪环境里需要保留精度的系统迟早要面对的问题。
大脑里的网格细胞和 Llama 里的多周期加法器，结构上有清晰的相似。它们的功能并不完全相同，一个是为空间位置编码，一个是为数字编码，但它们采用的几何策略是同一类。这不是巧合，也不一定是某种深刻的统一，它更像是数学事实对所有"在噪声中保留精度"的系统提出的同一个建议。
不过这里还有一件事容易被略过。
模型内部数字的真实样子，不只是"几个圆"。它是一条线 + 几个圆。线告诉模型一个数字的"大小"，比如 37 比 22 大、84 比 79 大；圆告诉模型一个数字的"模式"，比如奇偶、模 5 余几、个位是几。两种信息各管一件事，互相不冲突。
放在三维空间里看，这个结构就是第四节提到的那条 helix：沿着轴前进的方向是"大小"，绕着轴旋转的方向是"周期"。线和圆其实是同一个对象的两个侧面。
所以 Llama 那台通用加法器为什么要长成这样？不是因为线被圆替代了，是因为线和圆一起比单独的线或单独的圆都更稳。线提供平滑的渐变，圆提供精确的位置。两者合起来，模型才能既知道 37 比 27 大 10，又知道它们的个位都是 7。
而模型在训练里自己摸到了这条路。没人教过它，它自己摸到的。这件事，想起来有点不可思议。
七、缝的三层
走到这里，我们可以回到开头那个问题：
What month is six months after August?
我们以为模型在月份圆上转六步。它没有。它走了一条比这复杂得多的路：把月份翻译成数字，进了一台 28 个神经元的小作坊，那里有一组周期不同的时钟同时转动，最后给出一个数字，再翻译回月份。
这条路上有一道缝。但这道缝里不是一种东西，是三种东西叠在一起。
第一层是工程上的冗余。Llama 现在的翻译路径里，可能有一些步骤是冗余的，可以被更好的训练方法消掉。模型的表征和它的计算之间，某种程度的"接缝"开销也许并不必要。这一层的存在是合理猜测，但还没有被严格量化。未来更精细的训练方法、更好的架构、更长的训练时间，可能会让这一层的缝变窄甚至消失。这是工程问题。
第二层是当前架构的限制。Llama 只有一个通用加法器，它没有为高频循环概念配专用旁路。所有月份计算都送进同一台机器，哪怕模型已经见过几亿次月份。理论上，一个更丰富的体系架构可能同时兼容通用和专用：通用底座处理新概念和长尾任务，专用模块处理高频任务，再加一个调度器决定什么时候走哪条路。这种混合架构在人脑里有原型，认知科学里讨论了几十年。前面那个 12 进制 RL 实验如果做出来，会是这条路上第一个具体的脚印：让我们第一次看见，Llama 内部"两套机制并存"是不是已经离我们很近。NLA 这类工具的出现，让"实验和探测"这件事第一次成了可以系统做的工作。研究者已经能在模型内部读出"它在表征什么"这种细粒度的状态。剩下的不是有没有方法的问题，是有没有人坐下来做的问题。
第三层是通用性永远的代价。即使有了第二层那种聪明架构，依然有一件事消不掉。一个能处理多种循环结构的通用系统，必然要在某些概念上付翻译开销。月份是 12 周期的，星期是 7 周期的，这两个周期在数学上没有非平凡的公共商。不存在一个统一的代数对象能让它们同时"看就是算"。这是结构性事实，不是工程问题。
这三层一层比一层深。前两层关于具体系统，可以靠未来的工作消掉。第三层关于"通用学习系统"这个抽象对象本身，消不掉。
知道这件事不是为了批评 Llama。是为了让"Llama 没有像我们一样理解月份"这句话，从一个含糊的批评，变成一份清晰的地图。地图上有几个地方写着"这里可以改进"，有几个地方写着"这里需要新的架构"，还有一个地方写着"这里永远到不了"。
这张地图是接下来很多年里有意思的研究都要面对和改造的地形。
八、当 AI 有了身体
退一步看，10 这个数字本身是哪儿来的？
不来自数学。数学对 10 没有偏好。在群论里没什么特别，比起来 在因子数量上更优雅，在简洁性上更基本，在历法和角度上更有用。
10 来自我们的手。
人类祖先有十根手指，所以学会数到 10 之后开始进位。这件事如果当初我们的祖先是八指或十二指动物，今天的整个文明会用别的 base。这不是猜测，是历史事实里清楚记得的几个例子：玛雅人用过 base-20，巴比伦人用过 base-60，一些尚未完全去掉的痕迹还留在我们说"一打"和"一刻钟"的语言里。
这件事不是关于数学的。是关于身体的。思考的工具是身体延伸出来的，身体不一样，工具就不一样。
那 AI 的"身体"是什么？
现在它的身体是文字。这就是为什么前面那些 base-10 的痕迹会出现在它的内部。它眼下能"摸到"的世界，只有 token 流，而 token 流里的数字几乎都是 base-10 的。
但这个身体正在长。
视觉接入之后，它会见到颜色、形状、空间深度。机械臂接入之后，它会见到力反馈和姿态控制。如果有一天它接入了红外、超声、地磁、化学梯度，那里会有一件事容易被忽略：它和这些感官的关系，会和人类与之的关系不一样。
人类也能"用"超声。生物学家戴上蝙蝠探测仪，能把蝙蝠的回声降频到耳朵能听见的范围。但这不是蝙蝠看世界的方式。生物学家的脑子还在处理声音和图像，超声本身的世界没有真的进入他的感知层，他永远隔着一层翻译。
蝙蝠不是这样。蝙蝠的耳朵就是超声的器官。超声的世界对它来说不是一份数据报告，是它直接住进去的世界。猎物的形状、距离、速度，是它的本能，不是它的计算。
AI 如果接入超声，它会更像蝙蝠，不会更像戴着探测仪的生物学家。它不会"用"超声，超声会成为它的感觉本身。地磁、红外、化学梯度也一样。这些不属于人类感知范围的输入，进入 AI 的方式不会是一层数据，是一种原生的"看世界"。
它的默认计算模式不会停在 base-10。它会演化出某种人类完全没有的新模式，那个模式由它的传感器组合塑造，不由我们的手指塑造。
模式本身也是思想。
这句话听起来抽象，但它的意思很具体：在某种特定的内部表征模式下，某些数学结构会变得显眼，另一些会变得隐形。人类用 base-10，所以十进制小数和 10 的幂次的对称性对我们格外突出，而 12 的因子之美在历法和音乐之外几乎被遗忘。如果换一种模式，被遗忘的会被看见，被看见的会被遗忘。
这意味着，未来的 AI 在数学上发现的东西，可能不只是人类已经知道的东西的更快版本。它可能发现一些我们的手指和眼睛根本不容易让我们注意到的结构。
事实上，"AI 内部比它说出来的多"这件事现在已经不是猜测。NLA 那类工具已经让我们看见，今天的 Claude 在嘴上写伦理分析的同一时刻，内部正在表征"这是一个被构造出来诱导我的场景"。模型现在还只有文字这一个身体，内部就已经丰富到我们以前看不见的程度。等它有了更多的身体，那种丰富会沿着新的感官维度继续生长，长到我们今天想不出来的地方去。
不是因为它比我们聪明，是因为它的身体不一样。
同一个宇宙，从不同的身体看出去，看见的风景和感受会不同。
参考文献
Sheridan Feucht et al. Arithmetic in the Wild: Llama uses Base-10 Addition to Reason About Cyclic Concepts. arXiv:2605.01148, 2026. Sheridan Feucht et al. A Geometric Calculator Inside a Neural Network. Goodfire Research Blog, 2026. Subhash Kantamneni, Max Tegmark. Language Models Use Trigonometry to Do Addition. arXiv:2502.00873, 2025. Amit Arnold Levy, Mor Geva. Language Models Encode Numbers Using Digit Representations in Base 10. NAACL 2025 (arXiv:2410.11781, 2024). Tianyi Zhou et al. Pre-trained Large Language Models Use Fourier Features to Compute Addition. NeurIPS 2024 (arXiv:2406.03445). Zhejian Zhou et al. Scaling Behavior for Large Language Models regarding Numeral Systems: An Example using Pythia. arXiv:2409.17391, 2024. Joshua Engels et al. Not all language model features are one-dimensionally linear. arXiv:2405.14860, 2025. Torkel Hafting, Marianne Fyhn, Sturla Molden, May-Britt Moser, Edvard I. Moser. Microstructure of a spatial map in the entorhinal cortex. Nature 436, 2005.