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一、选择题（本题共8小题，每小题6分，共48分）
1. 若 ，则下列结论错误的是题干：a<b，D选项：a/3<b/3
A. B. C. D.
答案：C
不等式性质。A：不等号方向不变 → 错；B：乘负数反转 → 错；D：除以正数不变 → 对。C：反例 ，则 反而成立，但若 ，则 ，故不一定。
2. 一次函数 （ 为常数且 ）的图象一定经过点（ ）
A. B. C. D.
答案：A
令 ，则 ，与 无关，故恒过 。
3. 若 ，则整数 的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
由 ，，，，得 ．
4. 已知，将点绕点顺时针旋转至点，则点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
向量 ，顺时针旋转 得 ，故 ．
5. 已知某函数的图象关于直线对称，若自变量取和时对应的函数值相等，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 或
答案：D
由对称性，两点关于 对称：，得 或 ．
6. 如图，在中，点,分别是的中点，相交于点．若面积为，则四边形 的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
连接 ．∵,分别为中点，∴是中线，为重心．由重心性质，，故．
7. 有四根外形完全相同的导线穿过一个不透明的盒子，仅两端露出盒子外面．现将同一端的四根导线随机分为两组，并把同一组的两根导线末端连在一起，则导线能形成一个闭环线路的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
四根导线编号 1-2-3-4，同一端两两配对共 种等可能分法。另一端导线若已固定成对，则能形成单闭环的配法有 2 种（如 或 ），概率 ．
8. 如图，是半圆的直径，点为半圆上的一个动点（与,不重合），,分别在弧、弧上，且．与相交于点．若，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
方法一（坐标法）：
建系，设 ，．
为弧 中点 ，同理 ．
可得 ， 类似．
求出直线 与的交点，其轨迹是以为圆心、为半径的圆在轴上方的部分圆弧，故．
方法二（纯几何）：
(1) 为弧中点平分，同理平分．
为 内心．
(2) 为直径，，
，
，
（定值）．
(3) 对定线段 张定角 ，故 在过 , 的定圆上．
设圆心为 ． 为优弧所对圆周角，
圆心角 ．
在等腰 中，，．
在 中垂线（即 轴）上，，
且 在 下方（ 在上方），故 ．
圆 ：以 为圆心、 为半径（ 部分）．
(4) 到圆 的最短距离为 ，
即为 的最小值，当 位于半圆最高点时取等．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9.（多选） 已知 是关于 的方程 的两个实数根，则 的值可以为（ ）
A. B. C. D.
答案：B、C、D
韦达定理：．
B： 时取 ；C： 或 时取 ；
D： 时取 ；A 的 不可取．
10. 已知实数 满足 ，则 的值可以为（ ）
A. B. C. D.
答案：B、C
由柯西不等式：，故 ．
11.（多选） 在平面直角坐标系 中， 的半径为 ，若 上恰有两个点到某条直线的距离为 ，则这条直线可以是（ ）
A. B. C. D.
答案：A、B、D
圆心到直线距离记为 ，圆半径 ，到直线距离为 的点：
若 ：个：个：个 ✓：个： 个
A．，， ✓
B．，， ✓
C．，， 个点 ✗
D．，， ✓
三、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）
12. 某射击小组 20 人某次射击训练的成绩如图所示，则这次射击成绩的中位数为______．
答案：7.5
累计：2→5→10→16→19→20。第10名7环，第11名8环，中位数=(7+8)/2=7.5．
13. 在平面直角坐标系 中， 为二次函数 图象上一点，，且 ，则点 的横坐标为______．
解析：
过 作 轴于 ，则
，
，
令 ，，
．
14. 如图，在矩形中，点分别在边上，且，与分别相交于点,．若，则的值为______（用含 的式子表示）．
答案：
秒杀（仿射变换）：
由仿射变换保共线线段比，将矩形化为单位正方形 ．
设 ，则 ，．
：， 斜率 ．
求 ：．
求 ：．
．
纯几何相似——初中方法：
（1）设量．设 ，．
由 得 ，．
由 得 ，，．
（2）证 ．
在 Rt 与 Rt 中：
，，．
(SAS)，得 ．
又 ，故 ．
（3）平行线截割定理求比值．
过 分别作的平行线，交直线于（,已在上，在 左侧的延长线上）．
：．
：．
于是（以 为原点， 方向为正）：
，
，
．
．
（4）得结论．由平行线截割定理，四条平行线在 上截得：
．
．
15. 在平面直角坐标系中，正方形的顶点，直线与轴、轴分别交于点,．若对于线段上的任意一点，在正方形的边上存在点，使得线段的长度不大于，则 的取值范围是______．
答案：
正方形成立于 ，中心 ，边长 ，
顶点 ．
直线 上 ．由正方形凸性，只需端点 , 到正方形距离 ：
： 距 为 ．
： 距 为 恒成立；
： 到边 （）垂直距离 ．
综上 ．
四、解答题（本题共5小题，共60分）
16.（10分） 解关于 的不等式 （ 为常数且 ）．
解析：
去分母（）：
．
当 ：．
当 且 ：．
当 ：原式化为 ，无解．
17.（12分） 设 为不小于 的最小整数，求满足 的 的值．
解析：
设 ，则 ，即 ．
代入方程：．
代入范围：
左：．
右：．
，．
解析：
（1）旋转法：将 绕 顺时针旋转 ．
，且 （正方形），
故旋转将 ，，得 ，．
（2）建系：以 为原点， 为 轴负方向， 为 轴正方向．
， 方程 ．
设 在 上，．
正方形 （顺时针）得 ．
，
．
（3），
或 ， 或 ．
解析：
（1）设 ，则 ．建系 ．
在 上，设 ． 关于 的对称点为
，．
在单位圆 上． 到 的距离最大时，
直线 与 相切于 ，此时 ．
在 Rt 中，，，.
（2） 共线且 在 与 上：
．
，设 ，
，
．
平方得 ，．
解析：
（1） 联立 ，
，
解得 或 ．
.
（2）(1) 设直线 ，与封闭曲线的交点为 , 关于原点对称，
设 在一条抛物线上， 在另一条上．
情况一： 在 上， 在 上
两式相减得
， 或 .
代入得 ，交点 ．
代入得 ，交点 ．
情况二：
在 上， 在 上（交换角色），同理得同两组解．
交点坐标为 或 ．
**（2）(2)**法一（梯形逼近·初等方法）：令 ．
任取 ，设 ，则 ，
，
故曲线在弦上方，梯形面积 真面积．
取分点 ，梯形面积和 ，．
法二（积分）：
.
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