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2025 年中考第三次模拟考试（宿迁卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列各数中为负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查负数的判断，涉及绝对值运算、平方运算，掌握小于 的是负数，逐项判断即可得到答
案，熟记负数定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、 ，则 为正数，不符合题意；
B、 ，则 为负数，符合题意；
C、 ，则 为正数，不符合题意；
D、 ，则 为正数，不符合题意；
故选：B．
2．精美的图案体现了劳动人民的智慧，下列四种图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的识别方法
是解题的关键．利用轴对称图形和中心对称图形的识别方法分别判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法，合并同类项，熟悉运算法则是解题的关键．
根据积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法法则解答．
【详解】解：A、 ，故本选项错误；
B、 ，故本选项错误；
C、 ，故本选项错误；
D、 ，故本选项正确；
故选：D．
4．元青花人物故事玉壶春瓶出土于常德市，现藏于湖南省博物馆，具有较高的历史文化价值．如图，关
于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图均相同
【答案】A
【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义求解即可．
【详解】解：由图形观察可知，这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A．5．近些年来随着人们健康意识的增强，马拉松逐渐成为大家喜爱的运动．下表是某地举办的一次马拉松
比赛中，共100名队员跑完全程的用时统计表．则这100名队员跑完全程所用时间的中位数应落在（ ）
时间 3小时内 3-3.5小时 3.5-4小时 4-4.5小时 4.5-5小时 5小时以上
人数 5 12 28 25 17 13
A．3-3.5小时 B．3.5-4小时 C．4-4.5小时 D．4.5-5小时
【答案】C
【分析】本题主要考查了中位数的判断，
根据定义解答即可，将一组数据从大到小（从小到大）排列，最中间的一个或两个的平均数是这组数据的
中位数.
【详解】解：前三组总人数为 ，所以第50,51个数都在4-4.5小时内，所以中位数落在4-4.5
小时.
故选：C.
6．如图，直线 ，将直角三角板的直角顶点放在直线 上．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质可得 ，再根据平角的定义即可求解，掌
握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
7．函数 （ 是常数）的图象不可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数的图象，分 ， 和 三种情况判断即可求解，运用分类讨论思想解答
是解题的关键．
【详解】解：当 时，函数 ，故选项 符合题意；
当 时， ， 可以取任意实数，当 时， ，且随着 的增大或减小，图象无限靠近
轴，故选项 符合题意；
当 时， ，当 时， ，故选项 符合题意；
∴图象不可能是 ，
故选： ．
8．如图，矩形 中， 为 中点，过点 的直线分别与 、 交于点 、 ，连接 交 于
点 ，连接 、 ．若 ， ，则下列结论：① ， ；②
；③四边形 是菱形；④ ．其中正确结论的个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】①根据已知得出 ，可求得 与 关于直线 对称，进而求得 ，；②因为 ，故 不会全等于 ；③先证得
，在证得 ，进而证得 ，因为 互相平分，即可证明四边形
是菱形；④可通过面积转化进行解答．
【详解】解：连接 ，
四边形 是矩形，
互相平分，
为 中点，
也过O点，
，
， ，
是等边三角形，
，
在 与 中
,
，
与 关于直线BF对称，
，故①正确；
，
，
，
，
，
∵ ，
，
，，
，
，
四边形 为菱形，故③正确；
，
错误，故②错误；
易知 ，
，
，
，
，
，
，
，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定
与性质以及直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
9．函数 中自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件．掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解答本题的关键．根据
分式有意义的条件是分母不为0；可得关系式 ，求解可得自变量x的取值范围．
【详解】根据题意，有 ，解得： ．
故答案为： ．
10．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算、因式分解等知识点．先运用多项式乘多项式计算，然后再合并
同类项，最后根据完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
11．随着北斗系统全球组网的步伐，国产北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，支持北斗三号信号的
（即 ）工艺射频基带一体化导航定位芯片已实现规模化应用，其中0.000000022用科
学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成
的形式，其中 ，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数
点前面的0）．
【详解】解： ．
故答案为： ．
12．“五育课堂”手工课开课啦！某同学制作了一个圆锥模型，其侧面展开图的圆心角为 ，底面圆的
半径为1，则这个圆锥的母线长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长是解
题的关键．设这个圆锥的母线长为 ，根据圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，列出方程即可求解．
【详解】解：设这个圆锥的母线长为 ，
由题意得， ，
解得： ，
这个圆锥的母线长为3．
故答案为：3．
13．关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式求参数的计算是关键．
根据一元二次方程根的判别式“ ，方程有两个不相等的实数根； ，方程有两
个相等的实数根； ，方程无实数根”进行计算即可求解．
【详解】解：关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得 ，
故答案为：4．
14．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货 吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运
货35吨，设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，根据题意所列方程组是
．
【答案】
【分析】本题主要考查列二元一次方程组，准确理解题意是解题的关键．根据题意找到等量关系列出方程
即可．
【详解】解：由题意可得： ．
故答案为： ．
15．如图， 与正五边形 的边 ， 分别交于点 、 ，则劣弧 所对的圆周角 的
大小为 .【答案】 /54度
【分析】本题考查了多边形内角和公式，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先计算出正五
边形 的内角和，然后得到 的度数，然后根据圆周角定理，求得答案．
【详解】解： 五边形 是正五边形，
其内角和为 ，
，
．
故答案为： ．
16．如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角
，点 都在格点上，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直
角三角形解决问题．
如图，连接 ， ，证明 ， 、C、B共线，再根据 解题即可．
【详解】解：如图，连接 ， ，设菱形的边长为 ，由题意得 ， ， ， ，
∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 、 、 共线，
在 中，
．
故答案为： ．
17．如图，矩形 在第一象限内，对角线 所在直线经过点O， 轴， 轴，反比例函数
的图象经过点A和点C，把矩形 沿 折叠，点A的对应点为点E．当点E落在x轴上，
且点B的坐标为 时，k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数与几何综合，矩形与折叠，解一元二次方程，先由矩形得到 ，
， ， ， ，再根据折叠得到 ， ，设，利用距离公式列方程求解即可．
【详解】解：∵矩形 ， 轴， 轴， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵把矩形 沿 折叠，点A的对应点为点E．当点E落在x轴上，
∴ ， ，
设 ，
∴ ，
两个方程相减整理得 ，
代入 得 ，
解得 ，
∵ 图象在第一象限，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
18．在矩形 中， ， ， 为边 上一动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转
得到射线 ，在射线 上取一点 ，使得 ，连接 ，则 的最小值是 ．【答案】 /
【分析】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理．作 交 的延长线
于点 ，作 于点 ，设 ，证明 ，求得 ， ，在
中，由勾股定理得 ，得到 ，利用二次函数的性质求解
即可．
【详解】解：作 交 的延长线于点 ，作 于点 ，设 ，
则 ，
∵矩形 ，
∴ ， ， ，四边形 是矩形，
由题意得， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
∵ ，
∴当 时， 有最小值，最小值为 ，
∴ 的最小值是 ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键．依次根据零指数
幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的意义化简计算即可．
【详解】解：原式
．
20．（8分）（1）解方程： ；
（2）解不等式组： ．
【答案】（1） ；（2）【分析】本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，熟练掌握各自求解方法和解题步骤是解
题的关键；
（1）通过去分母转化为整式方程，即可求解；
（2）分别解两个不等式，再求出其公共解集即可．
【详解】（1）方程两边同乘 ，得
解得
检验：当 时， ，
∴原方程的解为 ．
（2）
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ．
原不等式组的解集为 ．
21．（8分）如图，在 中， ， 于点E，过点A作 ，连接 并延长，交
于点C．
(1)求证： ．
(2)连接 ，求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四
边形的判定方法是解答本题的关键．
（1）根据三线合一证明即可；
（2）根据 证明 得 ，进而可证四边形 是平行四边形．
【详解】（1）证明： ， ，．
（2）证明： ，
．
在 和 中，
，
．
，
四边形 是平行四边形．
22．（8分）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了四种课外
活动小组：航模小组、摄影小组、乐器小组、舞蹈小组，把这四个小组名称分别写在四张完全相同的不透
明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
(1)小丽从中随机抽取一张卡片是摄影小组的概率是 ；
(2)通过了解，航模小组的学生中有2名男生和2名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这4个人中随机选取
2人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了用概率公式求概率，列表法或树状图法求概率，正确通过列表法或树状图法展示所有
等可能的结果求出 ，再从中选出符合事件 或 的结果数目 ，然后根据概率公式求出事件 或 的概
率是解题关键．
（1）直接根据概率公式求解；
（2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出所选的2人恰好是1名男生和1名女生的结果数，
然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：小丽从中随机抽取一张卡片是摄影小组的概率是 ，
故答案为： ；
（2）解：列表如下：男 男 女 女
（男， （男， （男，
男
男） 女） 女）
（男， （男， （男，
男
男） 女） 女）
（女， （女， （女，
女
男） 男） 女）
（女， （女， （女，
女
男） 男） 女）
由表可知共有12种等可能结果，其中所选的2人恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，
∴所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率为 ．
23．（10分）为了进一步提高中学生的交通安全意识、文明意识，为“创建文明城市”工作的开展营造浓
厚的宣传氛围，某区创新宣传方式，组织学生利用“参观体验+知识竞赛”新模式开展安全宣传活动，并
取得了良好的效果．赛后区团委为了解竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取部分学生的竞赛成绩，整理
绘制出统计表以及两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答下列问题：
组别 成绩 /分 各组总分/分
A 380
2042
1130
390
58
(1)补全频数分布直方图，扇形统计图中组别 所在扇形的圆心角度数为___________．所抽取学生的竞赛
成绩的中位数落在___________组；
(2)求所抽取学生竞赛成绩的平均数；(3)若该区有950名中学生参加了这次竞赛，请估计成绩大于80分的有多少人？
【答案】(1) ；
(2)80分
(3)532人
【分析】本题考查扇形统计图与频率分布直方图，平均数以及用样本估计总体，结合扇形统计图与频率分
布直方图求解出样本容量是解题的关键．
（1）用B组的人数除以所占的百分比得出总人数，然后用总人数减去A组、B组、C组、E组的人数即得
D组的人数， 乘C组所占的百分比即得扇形统计图 所在扇形的圆心角度数，补全频数分布直方图；
（2）统计表中各组总分的和除以50即得；
（3）950乘以80分以上的学生数占比即得．
【详解】（1）解：抽取学生的总数为 （名），
组人数为 （名），
补全频数分布直方图如图，
扇形统计图中组别 所在扇形的圆心角度数为 ，
所抽取学生的竞赛成绩的中位数落在 组；
故答案为： ；B
（2）解：所抽取学生竞赛成绩的平均数为 （分），
答：所抽取学生竞赛成绩的平均数为80分；
（3）解： （人）．
答：估计成绩大于80分的有532人．
24．（10分）纵观古今，解码测量背后的数学智慧．
(1)【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高
度．如图，点B，D，E在同一水平线上， ， 与 交于点F．测得 米，
米， 米，求树 的高度．(2)【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计
了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（ 的长）．（精确到1
米）
测量示意图 方案说明
无人机位于海拔高度为60米的C处，测
得与山顶A处的仰角 为 ，与山脚D
方
处的俯角 为 ．
案
一
（参考数据： ，
， ）
当无人机位于海拔高度为60米的C处
时，测得与山顶A处的仰角 为 ；当
无人机垂直上升到海拔高度为113米的
方
G处时，测得与山顶处A的仰角 为
案
二 ．
（参考数据： ，
， ）
【答案】(1) 米
(2)山体高度约为160米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合
图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）证明 ，根据相似三角形的性质求解即可．
（2）选择方案二进行问题解决：在 和 中，解直角三角形求出 ，求解即可．
【详解】（1）解： ， ，
，，
（米）， （米）， （米），
解得： （米）．
（2）解：选择方案一无法算出 ，故不能解决问题．
选择方案二进行问题解决：
根据题意可得 ，
， ，
，
， ，
，
可得 ，
（米），
（米），
山体高度约为160米．
25．（10分）如图，在等腰 中， 为底边 上的高， 的角平分线交 于点D， 经
过C、D两点且圆心O在 的腰 上．
(1)请画出 (尺规作图，保留作图痕迹)；
(2)求证： 与 相切；
(3)当 ， 时，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)3【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）连接 ，根据等腰三角形的性质得到 ，根据角平分线的定义得到 ，求
得 ，根据平行线的性质得到 ，根据切线的判定定理得到结论；
（3）根据等腰三角形的性质得到 ，求得 ，根据三角函数的定义得到
，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）证明：连接 ，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
是 的半径，
与 相切；
（3）解： ， ，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
的半径为 ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判断，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，线段垂直平
分线的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键．
26．（10分）如图，2020年是脱贫攻坚决胜年．某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为20
元 ，投放市场后，经过市场调研发现，这种水果在上市的一段时间内的销售单价p（元 ）与时间 t
（天）之间的函数图象如图，且其日销售量 与时间t（天）的关系是 天数为整数．
(1)试求销售单价p（元 ）与时间t（天）之间的函数关系式；
(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
(3)在实际销售的前30天中，公司决定每销售 水果就捐赠n元利润 给“精准扶贫“对象．现发
现：在前30天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．
【答案】(1)
(2)第10天时，最大日销售利润为1250元；
(3)
【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的性质，二次函数的最值问题，熟练运
用二次函数的性质是本题的关键．（1）利用待定系数法求解析式；
（2）设日销售利润为w元，分别求出分段函数的中w的最大值，即可求解；
（3）先求出每天扣除捐赠后的日销售利润与时间t的关系式，由二次函数的性质列出不等式组，可求解．
【详解】（1）解：当 时，设销售单价p（元 ）与时间t（天）之间的函数关系式为 ，
∴ ，
∴t ，
∴p t+30，
当 时， ，
综上所述： ；
（2）解：设日销售利润为w元，
当 时，
，
∴当 时，w有最大值为1250元，
当 时， ，
∴第10天时，最大日销售利润为1250元；
（3）解：∵ ，
∴a ，
对称轴为 ．
∵每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,且由于t只取正整数，
∴ ，
∴ ；
27．（12分）几何探究是培养推理能力、几何直观和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往
需要运用从特殊到一般，化动为静、类比等数学思想方法．
【问题情境】在 中，点 是斜边 上的动点（点 与点 ，点 不重合），连接 ，以 为直角边在
的右侧构造 ，连接 ．
【特例感知】
（1）如图1，当 时，写出 与 之间满足的位置关系和数量关系，并说明理由；
【类比迁移】
（2）如图2，当 时，猜想 与 之间满足的位置关系和数量关系，并证明猜想；
【拓展应用】
（3）如图3，在（1）的条件下，点F与点C关于直线 对称，连接 ．已知 ，设
，四边形 的面积为 ，求 与 的函数表达式，并求出 的最小值．
【答案】（1） ， ，理由见解析；（2） ， ，证明见解析；（3）18
【分析】（1）由 ，得到 ， ，根据等腰直角三角形的性质得到
， ，根据全等三角形的性质得到 ， ，根据垂直
的定义得到 ；
（2）根据相似三角形的判定定理得到 ，求得 ， ，得到 ，
根据垂直的定义得到 ；
（3）连接 交 于O，由（1）知， ， ，求得 ，得到 ，
根据勾股定理得到 ，根据线段垂直平分线的性质得到 ，
，推出四边形 是正方形，根据正方形的面积公式即可得到 ，
根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：（1） ， ，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2） ， ，
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）连接 交 于O，
由（1）知， ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点F与点C关于 对称，
∴ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴y与x的函数表达式为 ，
∵ ，
∴y的最小值为18．
【点睛】本题是相似形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形
的判定和性质，正方形的判定和性质．正确地作出辅助线是解题的关键．
28．（12分）在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线 （ 是常数）经过点 ．
点 、 是该抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为 ， ，连接 ．
(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
(2)当点 在 轴上时，求点 的坐标；
(3)作点 关于抛物线对称轴的对称点 （ 不与 重合），连接 ，求 的值．
(4)以 为边向下作正方形 ．当此抛物线在正方形 内部的点的纵坐标 先随 的增大而减
小，后随 的增大而增大时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1) ，(2) 或
(3)
(4) ，
【分析】（1）利用待定系数法求解析式，再将解析式变形为顶点式即可求出结果；
（2）将点 的横坐标代入解析式，用 表示其纵坐标，当点 在 轴上时，点 的纵坐标为 ，得出 值，
即可求解；
（3）先表示出点 ，点 ，点 ，分情况讨论，①当点 在点
左侧时，即 ，（i）若点 在点 左侧，不符合题意，（ii）若点 在点 左侧， ，即 ，
，②当点 在点 左侧时，即 ，此时点 都在点 左侧， ，将
点的坐标代入后化简，即可解题；
（4）该抛物线的顶点 坐标为 ，分情况讨论：①当点 在点 左侧， 时，此时点 应在抛物
线对称轴 的右侧，即 ，设点 在正方形 上，过点 作 于点 ，
，求出此时 的值，根据题意， 段抛物线上的点要有一部分落在正方
形内部，结合函数图像，即可解题；②当点 在点 左侧时，即 时，此时点 应在抛物线对称轴
的右侧，即 ，设点 在正方形 上时，过点 作 轴于点 ，过点 作 于
点 ， ，求出此时 的值，根据题意， 段抛物线上的点要有一部分落
在正方形内部，结合函数图像，即可解题．
【详解】（1）解： 抛物线 （ 是常数）经过点 ，
，解得 ，
该抛物线解析式为 ，顶点坐标为 ；
（2） 点 、 是该抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为 ， ，
点 的纵坐标 ，即点 ，
当点 在 轴上时， ，解得 ， ，
则点 的坐标为 或 ；
（3） 点 、 是该抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为 ， ，
点 ，点 ，
又 点 为点 关于抛物线对称轴的对称点，该抛物线的对称轴为 ，
点 ，
①当点 在点 左侧时，即 时，
（i）若点 在点 左侧，如图所示 ，不符合题意，
（ii）若点 在点 左侧， ，即 ，如图所示，
，
②当点 在点 左侧时，即 时，此时点 都在点 左侧，如图所示，，
综上所述，当 或 时， ；
（4） 点 为 ，点 为 ，该抛物线的顶点 坐标为 ，
①当点 在点 左侧， 时，
抛物线在正方形 内部的点的纵坐标 先随 的增大而减小，后随 的增大而增大，
点 应在抛物线对称轴 的右侧， ，即 ，
设点 在正方形 上，如图所示，以 为边向下作正方形 ，
过点 作 于点 ，
， ，
，
，
由（3）知， ，
即 ，得 ，根据题意， 段抛物线上的点要有一部分落在正方形内部，结合函数图像，
则 ，
②当点 在点 左侧， 时，
抛物线在正方形 内部的点的纵坐标 先随 的增大而减小，后随 的增大而增大，
点 应在抛物线对称轴 的右侧，即 ，
设点 在正方形 上，如图所示，以 为边向下作正方形 ，
过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，
， ，
，
又 ，
，
由（3）知， ，
即 ，得 ，
根据题意， 段抛物线上的点要有一部分落在正方形内部，结合函数图像，
则 ，
综上所述， 或 ．
【点睛】本题是二次函数的压轴题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的顶点坐标、对称轴、图像和
性质，三角函数，正方形的性质及“分类讨论”思想的应用，解题的关键是利用“数形结合”将几个特殊点在图像中标出相对位置，求出临界值，进而确定取值范围．
