夜雨聆风数项级数习题课笔记
一、审敛法体系总结
1.1 正项级数审敛法
| 基本性质 | |||
| 充要条件 | |||
| 比较审敛法 | |||
| 比较法极限形式 | |||
| 比值审敛法（达朗贝尔） | |||
| 根值审敛法（柯西） | |||
| 积分审敛法 |
1.2 任意项级数审敛法
| 基本性质 | |||
| 绝对收敛 | |||
| 莱布尼茨判别法 | |||
| 条件收敛 |
二、判别下列级数的敛散性
例1
解：
使用比值审敛法：
例2
解：
使用比值审敛法：
例3
解：
注意到 ，因此：
对 使用比值审敛法：
由比较审敛法，原级数收敛。
例4
解：
使用比值审敛法：
例5
解：
这是交错级数，验证莱布尼茨条件：
条件①：设 ，则：
因此当 时， 单调递减。
条件②：
由洛必达法则：
两个条件满足，由莱布尼茨判别法，级数收敛。
再判断是否绝对收敛：，由于 （），由比较法知 发散。
例6
解：
设
条件①： 单调递增（因为 ），所以 单调递减。
条件②：
由莱布尼茨判别法，级数收敛。
判断绝对收敛：
由比较法极限形式， 与 同敛散，故发散。
例7
解：
级数可以拆分为：
第二个级数 是调和级数（发散），因此原级数发散。
三、讨论下列级数的收敛性
例1
解：
使用比值审敛法：
例2
解：
分情况讨论：
情况一：
此时 ，
而 （）是收敛的等比级数，由比较审敛法，原级数收敛。
情况二：
，由级数收敛的必要条件，级数发散。
情况三：
而 （）是收敛的等比级数，由比较审敛法，原级数收敛。
例3
解：
将级数拆分：
对于第一个级数：
当 时收敛 当 时发散
对于第二个级数：
当 时，由莱布尼茨判别法，级数收敛
| 收敛 | |||
| 发散 |
四、选择填空题
题1
级数 绝对收敛的条件是（ ）
A. B. C. D.
解：
绝对收敛要求 收敛。
由 -级数的收敛条件： 时收敛。
题2
级数 条件收敛的条件是（ ）
A. B. C. D.
解：
条件收敛要求：
原级数 收敛 发散
条件1：由莱布尼茨判别法，当 时， 单调递减趋于 ，级数收敛。
条件2： 发散的条件是 。
综合两个条件：。
题3
设 收敛，则下列级数一定收敛的是（ ）
A. B. C. D.
解：
A：反例： 收敛，但 发散。❌
B：反例：取 ，则 收敛，但 发散。❌
C：反例：取 ，则 收敛，但 ，发散。❌
D：
因为 收敛，所以 也收敛（去掉有限项不改变敛散性），故 收敛。✅
题4
下列级数中，发散的是（ ）
A. B. C. D.
解：
使用积分审敛法：
对于 ，与 同敛散。
计算积分：
其中 ，。
当 时，积分收敛 当 时，积分发散
A：，发散 ✅
B：，收敛
C：，发散 ✅
D：，收敛
题5
设正项级数 收敛，则级数 （ ）
A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 一定绝对收敛 D. 无法判断
解：
因为 收敛，且 ，所以 收敛。
因此 绝对收敛。
题6
若级数 条件收敛，则级数 （ ）
A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 可能收敛也可能发散 D. 无法判断
解：
反例：取 ，则 条件收敛。
但 ， 发散（通项不趋于 ）。
因此 一定发散。
题7
设 收敛，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 可能收敛也可能发散 D. 无法判断
解：
情况1：若 绝对收敛，则 收敛（因为 ）。
情况2：若 条件收敛，则 （正项部分）发散，故 发散。
五、审敛法选择口诀
先查极限是否零，非零直接判发散阶数能比用比较，比值根值看结构交错验证莱布尼茨，绝对收敛最省心条件收敛需注意，正负分开要谨慎