数项级数习题课笔记

一、审敛法体系总结

1.1 正项级数审敛法

1.2 任意项级数审敛法

二、判别下列级数的敛散性

例1

解：

使用比值审敛法：

例2

解：

使用比值审敛法：

例3

解：

注意到 ，因此：

对  使用比值审敛法：

由比较审敛法，原级数收敛。

例4

解：

使用比值审敛法：

例5

解：

这是交错级数，验证莱布尼茨条件：

条件①：设 ，则：

因此当  时， 单调递减。

条件②：

由洛必达法则：

两个条件满足，由莱布尼茨判别法，级数收敛。

再判断是否绝对收敛：，由于 （），由比较法知  发散。

例6

解：

设 

条件①： 单调递增（因为 ），所以  单调递减。

条件②：

由莱布尼茨判别法，级数收敛。

判断绝对收敛：

由比较法极限形式， 与  同敛散，故发散。

例7

解：

级数可以拆分为：

第二个级数  是调和级数（发散），因此原级数发散。

三、讨论下列级数的收敛性

例1

解：

使用比值审敛法：

例2

解：

分情况讨论：

情况一：

此时 ，

而 （）是收敛的等比级数，由比较审敛法，原级数收敛。

情况二：

，由级数收敛的必要条件，级数发散。

情况三：

而 （）是收敛的等比级数，由比较审敛法，原级数收敛。

例3

解：

将级数拆分：

对于第一个级数：

• 当  时收敛
• 当  时发散

对于第二个级数：

• 当  时，由莱布尼茨判别法，级数收敛

四、选择填空题

题1

级数  绝对收敛的条件是（　）

A. 　　B. 　　C. 　　D. 

解：

绝对收敛要求  收敛。

由 -级数的收敛条件： 时收敛。

题2

级数  条件收敛的条件是（　）

A. 　　B. 　　C. 　　D. 

解：

条件收敛要求：

1. 原级数  收敛
2.  发散

条件1：由莱布尼茨判别法，当  时， 单调递减趋于 ，级数收敛。

条件2： 发散的条件是 。

综合两个条件：。

题3

设  收敛，则下列级数一定收敛的是（　）

A. 　　B. 　　C. 　　D. 

解：

A：反例： 收敛，但  发散。❌

B：反例：取 ，则  收敛，但  发散。❌

C：反例：取 ，则  收敛，但 ，发散。❌

D：

因为  收敛，所以  也收敛（去掉有限项不改变敛散性），故  收敛。✅

题4

下列级数中，发散的是（　）

A. 　　B. 　　C. 　　D. 

解：

使用积分审敛法：

对于 ，与  同敛散。

计算积分：

其中 ，。

• 当  时，积分收敛
• 当  时，积分发散

A：，发散 ✅

B：，收敛

C：，发散 ✅

D：，收敛

题5

设正项级数  收敛，则级数 （　）

A. 一定收敛　　B. 一定发散　　C. 一定绝对收敛　　D. 无法判断

解：

因为  收敛，且 ，所以  收敛。

因此 绝对收敛。

题6

若级数  条件收敛，则级数 （　）

A. 一定收敛　　B. 一定发散　　C. 可能收敛也可能发散　　D. 无法判断

解：

反例：取 ，则  条件收敛。

但 ， 发散（通项不趋于 ）。

因此 一定发散。

题7

设  收敛，且 ，则下列说法正确的是（　）

A.  一定收敛　　B.  一定发散　　C.  可能收敛也可能发散　　D. 无法判断

解：

情况1：若  绝对收敛，则  收敛（因为 ）。

情况2：若  条件收敛，则 （正项部分）发散，故  发散。

五、审敛法选择口诀

先查极限是否零，非零直接判发散阶数能比用比较，比值根值看结构交错验证莱布尼茨，绝对收敛最省心条件收敛需注意，正负分开要谨慎

通项形式与推荐审敛法