2026北大强基数学试题解答

何易阳

解. 将正四面体嵌入正方体，则其棱为面对角线。设正方体棱长 ，由  得 。对棱中点即相对面中心，距离为 。

答案：

2. 已知  为非负实数，函数  有零点，若存在正整数  满足 ，则  最小值的整数部分为

 A. 1001　　B. 4001　　C. 4002　　D. 都不对

解. ，由知对恒成立，故在上单调递增，从而对正整数有。取可使差最小。设。

条件  即 ，得

由有零点知 ，故 ，从而

结合两式得

取  时取等，最小值约 ，整数部分为 。

答案： B. 4001

3. 复数  满足 ，则  的复根有______个。

解. 令 ，则 。 若 ：。 若 ：，。 共  个复根。

答案： 7

4. 正实数列  满足：，，则  的整数部分为 

A. 0　　B. 1　　C. 　　D. 都不对

解. 由  及  得

于是 ，又由  得

由  得 。 故 ，。 从而 ，又 ，整数部分为 。

答案： A. 0

5. 圆内接四边形 ABCD 满足 ，，则 。

解.  中由余弦定理：

圆内接四边形对角互补，。 在  中由余弦定理：，

答案： 2

6. 复数  满足 ，则所有满足题意的  的乘积为 

A. 9　　B. 　　C. 　　D. 都不对

解. 两圆 与相交，圆心距。 由得（根轴）。代入 得

由参数法：令 ，则 ，两根对应角  满足 ，故 。

答案： C. 

7. 单位圆上正 2026 边形一顶点到另外 2025 个顶点的距离之积为

 A. 2026　　B. 　　C. 　　D. 都不对

解. 顶点 。取 ，到其余顶点距离之积

由因式分解 ，

令  得 ，取模即得距离之积为 。

答案： A. 2026

8. 同余方程  的解的个数为

 A. 2　　B. 16　　C. 256　　D. 都不对

解. 。由中国剩余定理（CRT），解数等于各素因子幂下解数之积：

• ： 解（）
• ： 解（）
• ： 解（）

总解数 。

答案： B

9. 实数列满足，，且对任意，存在使为到这项的算术平均，则的最小值为

 A. 0　　B.　　C.　　D. 都不对

解. 为最小化 ，应使尽可能大、尽可能小。 取（每次选），则。 最后一步取：。 此时。 由 知无法取得更小值。

答案： C. 

10. 实数  满足 ，则  的最大值为

 A. 0　　B. 1　　C. 2　　D. 都不对

解. 配方得

故 ，即 ，最大值  在  时取到。

答案： C. 2

11. 实数  满足 ，则  的最小值为______。

解. 由  等得

又  给出 ，故

等号当  且各乘积非正（即一零两异号）时成立。

答案： 4

12. 实数  的绝对值均不小于 1，且 ，若 ，则  的最小值为 

A. 　　B. 　　C. 0　　D. 都不对

解.  在  和  上均递增，且 。 分类知只能两正一负。设 ，则

由  在  上递增，解  得 。故

等号在  及其排列时取到。

答案： A. 

13. 若 ，则  的最大值为______。

解. 令 ，平方得

由均值不等式：，代入得

等号当  时取到。

答案：

14. 满足  且  为素数的素数对  的个数为

 A. 0　　B. 1　　C. 2　　D. 都不对

解. 若 均不为，则，，故（唯一可能），但，矛盾。 故至少有一个为。由对称性设，则。 若均为奇素数，则为奇数，为偶数，非素数。 故或中必有一个为。取，则。 若，则，（可奇）， 若：，经验证为素数。 若：，非素数。 故唯一素数组为，所有排列均满足，共 组有序三元组。

答案： D. 都不对（应为 6 组）

15. 椭圆  上一动点 ，右焦点为 ，则  的最大值为

 A. 5　　B. 　　C. 　　D. 都不对

解. ，左焦点 ，右焦点 。 由椭圆定义 ，故

由三角形两边差  第三边：，等号当  共线且  在左顶点  时成立。 故最大值为 。

答案： C. 

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