夜雨聆风
我是李永乐，曾经是中国人民大学附属中学的教师，也是一名科普视频创作者。在你阅读本书之前，我想先和你探讨一下，在AI时代，我们为什么还需要学习数学？
一、一滴水能浮起万吨巨轮吗？
我想先问大家一个问题：一滴水能浮起万吨巨轮吗？
大家也许会感到莫名其妙，实际上，这是一个关于阿基米德浮力原理时发生的事。国王要阿基米德测量王冠是否是纯金，阿基米德苦于无法测量出王冠的体积。有一天，阿基米德洗澡时发现洗澡水漫了出来，突然灵光一闪，大叫着“尤里卡”从浴缸中跑了出来。
阿基米德发现了浮力定律：物体受到的浮力等于它排开液体的重力，而与液体本身重力无关。所以，如果制造一个容器，刚好贴合物体，那么少量的水完全可以浮起重得多的物体。甚至在极端情况下，一滴水也能浮起万吨巨轮。
可是，当我讲完这个故事的时候，许多人开始反驳我：“这绝不可能！因为一滴水只有很少的水分子，这些水分子就算平摊成一层，面积也不够涂满万吨巨轮的底部！”如果你问问AI软件，它也许也会给你同样的回答。
究竟谁对谁错呢？
我们都知道：现实中，一滴水不可能浮起万吨巨轮。别说一滴水，就算是一杯水，涂在万吨巨轮底部也会瞬间蒸发，你根本无须计算能涂多大面积。但是，认识到一滴水可以浮起万吨巨轮，才是科学精神的体现。
阿基米德通过理论和实验的研究，发现了浮力定律。在水越来越少、物体越来越大时，物体依然能够浮起来。所以我们推断：当水极少，物体极大时，依然能够浮起来，这就是科学推理法。在讨论这个问题时，抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，才能更清楚地看到科学规律。
科学研究正是从现实中抽象出最普遍的规律。例如阿基米德发现了杠杆原理，他说说：给我一个支点，我可以撬起地球。伽利略做了一个斜面实验，他说：如果地面无限光滑，小球可以一直运动下去。后来的牛顿、爱因斯坦，他们都是使用了科学推理的方法，获得了巨大发现。
讨论现实中一滴水能不能涂满万吨巨轮的底部，并不能让你有任何收获。但是理解阿基米德浮力定律，了解理想情况下一滴水就能浮起万吨巨轮，却能让你对世界有更深刻的认识。
古希腊的阿利斯塔克利用月相和日食，测量出太阳到地球的距离是月亮到地球距离的19倍，但实际上是400倍，阿里斯塔克的结果错得离谱。但是，阿利斯塔克创造出的测量方法却成为了后人丈量宇宙的基础。在科学探索中，一个正确的思想框架，远比一开始就得到正确的数字更为珍贵。
英国统计学家乔治・博克斯说：所有的模型都是错的，但有些是有用的。我想，在AI时代，教育传达给孩子们的，不是答案和数据，而是探索科学的过程、科学的精神和科学的方法。在AI时代，这种探索的过程、科学的精神和方法尤其可贵。
二.我们该如何学数学
说完了科学，我们再来说说数学。
因为我儿子读小学，为了辅导他，我看了不少老师的数学课。我的感觉是：许多老师从观念上，依然认为数学是一种考试工具，只要考试分数高，学习的目的就达到了。我想，在AI时代，这种观念要做出一些改变了。
（1）数学建模
数学是从生活问题中抽象出来的学问，反过来，它也可以被用于生活的方方面面。我们学习数学的过程，就是要学习如何把现实的问题变成数学模型，再利用我们已经掌握的知识解决它。
我从8年前开始做科普视频，许多内容都是关于数学的，我的视频逻辑一般是提出问题-建立模型-通过数学工具解决问题-引申问题的意义。
例如：有一个同学问了我这样一个问题：葫芦娃救爷爷为什么要一个一个上呢？看起来这是一个很无厘头的问题，但是我巧妙的建立了一个数学模型。我说：爷爷获救的概率同前去营救的葫芦娃数量成正比，但是却随着时间逐渐下降，在这个条件下，葫芦娃一个一个上，爷爷获救的概率是最大的。
还有同学问我：考上清华和买彩票中500万大奖，哪个更难呢？我又开始建立数学模型：彩票是等概率模型，中大奖概率1/1772万。考上清华是正态分布，即便你几次模拟考试成绩都没有到达分数线，你能考上清华的概率依然远远超过彩票中大奖。
在AI时代，知识是很廉价的，然而，分析问题，建立模型，最后用模型解决问题的逻辑是很美妙的。所以，任何一个问题，作为教师都不应该轻易地给出答案，而是要层层剖析，如侦探一般带领学生走向答案。
学生要通过学习数学，领略到一个不同于现实世界的数学世界。在这个世界中，一片雪花的周长可以比地球直径还要大，这就是分形几何。全体整数和全体偶数一样多，这就是集合论。三角形的内角和可以不等于180°，这就是非欧几何。过一点可以做出四条相互垂直的直线，这就是四维空间。学生们学好数学，就能看到之前看不到的世界。
（2）数学思维
为了获得这种高级能力，孩子在平时的学习中，就不能把背诵套路、公式、大招作为重点，而要把培养数学思维作为第一目标，那么什么是数学思维呢？
例如：归纳法是一种重要的数学思维。所谓归纳法，就是当我们遇到一个复杂的问题，无法分析时，先从简单的问题开始，寻找规律。比如，研究平面内n条直线最多有多少个交点，我们可以先思考：1条直线、2条直线、3条直线有多少个交点，找到一般规律，然后再去进行证明。
再比如我们学习圆形的面积公式，就是把圆形分割成无数个小扇形，再把这些扇形拼成一个长方形。这里用到了什么数学思想呢？有转化法和微积分。把圆形这个未知面积的图形，变成长方形这个已知面积的图形，这就是转化法。而通过无限分割，再把它们重新组合，就是微积分的思想。
这些数学思想不光可以用在高中、大学的学习中，也可以用在毕业后的工作当中。当孩子们面临复杂的、难以处理的问题时，他们会去思考：能否先从简单问题着手，找到一般规律和处理方法？能否把这些没有遇到过的问题，转化成一个已经解决过的问题？能否把任务进行分割，逐一完成，再把它们组合起来？当孩子们掌握了这种数学思维时，那么考试分数，只不过是一种副产品而已。
（3）培养自信
孩子们在解决数学问题的过程中，不光思维能够得到训练，还能培养自己的抗挫折能力和自信心，而抗挫折能力和自信心，是孩子未来从事任何工作都必须的。
三.未来，我们需要什么样的人才？
我曾经和丘成桐先生讨论过数学的学习。有两个问题，丘先生的回答让我印象深刻。
第一个问题是：什么样的孩子在数学上更优秀。丘先生说：当你问一个孩子数学问题，他很快就回答出来了，这样的孩子往往不是最优秀的，因为他缺乏深度的思考。我想到，爱因斯坦小时候，就是不太爱说话，每次说话之前都要自己小声嘀咕一遍，他的父母甚至带他去看医生，爱因斯坦的老师都不看好他，中学校长劝他退学，大学老师斥责他懒。但是，爱因斯坦从没有放弃思考，终于在26岁的时候，成为了家喻户晓的天才科学家。
第二个问题是：你认为AI能够获得像牛顿、高斯一样伟大的发现吗？丘先生说：我认为不能。因为现在的AI只能在现有的科学范式下工作，也就是当我们创造好了数学工具，AI可以利用我们的工具，解决很多数学问题。然而，如果想获得牛顿那样伟大的发现，需要创立新的数学工具——微积分，创立新的物理规律——牛顿三大定律和万有引力定律，再把二者结合起来解释天体的运动，这对于AI来讲，还是太难了。
我想，丘先生告诉我们的，正是AI时代的人才标准。我们不再需要传统意义上博闻强识的学者，但是我们永远需要热爱思考，具有创造力的人才，尤其是能够提出全新科学研究范式的人才。
为了达到这个目标，我们要通过数学、物理、化学、生物、历史、文学等等学科的学习，让我们的孩子们明白：科学、数学、文学、艺术的发展都是有历史局限性的，但是人类追求和探索的精神永远不变，那就是人类可以通过理性认识世界，追求真理和美。
我们知道：近代科学之父伽利略，推翻了许多亚里士多德的结论，如果你问AI具体的问题，他可能会告诉你：亚里士多德是错的，而伽利略是对的。但是，当我讲到这一段时，我特意引用了伽利略评价亚里士多德的话。伽利略说：“如果亚里士多德看到了我今天用望远镜看到的一切，他一定会改变自己的看法。”这句话恰恰说明：伽利略是亚里士多德的精神继承者，他继承了亚里士多德最重要的思想，那就是观察与思考，是抛弃神秘主义，主张人类可以通过理性认识世界，他所走的，正是亚里士多德所指明的、通往真理的道路。所以，伽利略并没有推翻亚里士多德，而是继承和复兴了亚里士多德的思想——那就是伟大的理性主义。
在AI时代，我们应该教给孩子的，也正是这种精神。
爱因斯坦在12岁时，他的家庭老师送给他一本几何书，他爱不释手，称之为“神奇的几何小书”。他如痴如醉地读完了这本书，并且自己提出了一种勾股定理的证明方法。正是这本书，让爱因斯坦走进了数学的大门，20年之后，爱因斯坦用几何解释了宇宙，这就是著名的广义相对论。
我希望有一天，当一位科学家回忆起童年时，也能说：小时候我读过李永乐老师的一本书，那是一本神奇的小书。
李永乐
《李永乐给孩子的数学》全套共2册，是面向10-16岁青少年的趣味数学科普读物，旨在打破“数学枯燥”的刻板印象。全书从古希腊的“阿基里斯追不上乌龟”的悖论讲起，沿着数学发展的历史长河，串联起三大数学危机、微积分、概率论、数论、非欧几何、密码学、分形几何等核心概念。
书中不仅涵盖了经典的数学理论（如哥德巴赫猜想、费马大定理），还紧密结合现实生活与前沿科技，解释了彩票中的概率、比特币的区块链原理、人脸识别背后的卷积神经网络等热门话题。通过历史故事、生活案例和思想实验，李永乐老师将抽象的数学问题具象化，带领读者发现数学的趣味性与实用性，培养逻辑思维与探索精神。
均为软壳平装，16开本，内页采用80g米黄胶版纸，彩色印刷，阅读更有趣味。随书附赠一米正反刚需知识大拉页。
版式：山海相隔
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