夜雨聆风
1．如图（a）所示，两竖直放置且足够大的平行金属板
、
，两板间距为
，在两板正中间竖直平面内固定有一水平绝缘横杆，一质量为
、电荷量为
的小球通过两根等长且不可伸长的绝缘轻绳悬挂于横杆下方，小球与横杆的距离为
，两绳的夹角为直角，如图（b），接通电源，使板间电压由0开始缓慢增大，小球缓慢向
靠近，在此过程中每个时刻小球都受力平衡，当小球接触
的瞬间，电荷量变为
，板间电压停止增大并在此后保持恒定，在此恒定电压下，小球每次与
或
接触后瞬间，速度均减为0，带电荷量变化满足”电性反转、大小不变”，从而在两板间沿着圆弧往复运动，重力加速度为
，小球可视为质点，每次与板碰撞均不影响两板间电压，忽略空气阻力和电场的边缘效应。
(1)求
、
间的恒定电压
；
(2)求小球第一次碰撞前瞬间，单根轻绳的拉力大小
；
(3)若某次小球碰撞时，
、
间的电压突变为原恒定电压的
倍（
），其他条件不变，此后小球仍能沿着圆弧往复运动，求
的取值范围，并求出该范围内不同
值对应的小球最大动能
。
【详解】（1）当小球刚好到金属板
时，受力分析如图所示
根据几何关系可得
可得
根据平衡条件有
其中
联立可得
（2）小球从金属板
到金属板
过程，根据动能定理
小球第一次碰撞
前瞬间，受力分析如图所示
对小球根据牛顿第二定律
联立解得单根轻绳的拉力大小
（3）如图所示
要使小球仍能沿着圆弧往复运动，即绳子拉力大于零，需要满足
解得
根据（2）分析可知当
时，小球到达金属板
时，电场力和重力的合力与绳子的合力方向相同，当
时，小球所受的重力和电场力的合力相对于小球到达金属板
时绳子合力的方向偏上，如图所示
绳子拉力对小球不做功，可知小球所受的重力和电场力的合力与小球位移的夹角一直为锐角，当小球到达金属板
时，动能最大，根据动能定理有
可得
当
时，小球所受的重力和电场力的合力相对于小球到达金属板
时绳子合力的方向偏下，如图所示
当小球速度与小球所受的重力和电场力的合力方向垂直时，速度最大，该点为等效最低点，设此时与竖直方向的夹角为
，根据几何关系有
根据数学知识可得，
根据动能定理有
解得
