文档内容
2021年辽宁省大连市中考数学试卷
一、选择题（本题共10个小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项正确）
1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
1 1
A．5 B． C．- D．﹣5
5 5
2．（3分）某几何体的展开图如图所示，该几何体是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）2021年党中央首次颁发“光荣在党50年”纪念章，约7100000名党员获此纪
念章．数7100000用科学记数法表示为（ ）
A．71×105 B．7.1×105 C．7.1×106 D．0.71×107
4．（3分）如图，AB∥CD，CE⊥AD，垂足为E，若∠A＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．90°
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a8 B．a2•a3＝a5
C．（﹣3a）2＝6a2 D．2ab2+3ab2＝5a2b4
6．（3分）某校健美操队共有10名队员，统计队员的年龄情况，结果如下：13岁3人，
14岁5人，15岁2人．该健美操队队员的平均年龄为（ ）
A．14.2岁 B．14.1岁 C．13.9岁 D．13.7岁7．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（-❑√3）2＝﹣3 B．❑√12=2❑√3
C．√3 -1=1 D．（❑√2+1）（❑√2-1）＝3
8．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量
逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩
产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．500（1+x）＝800 B．500（1+2x）＝800
C．500（1+x2）＝800 D．500（1+x）2＝800
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝ ，将△ABC绕点C顺时针旋转
90°得到△A'B'C，点B的对应点B'在边AC上（不与点Aα，C重合），则∠AA'B'的度数为
（ ）
A． B． ﹣45° C．45°﹣ D．90°﹣
10．（3α分）下列说法正确的α是（ ） α α
2
①反比例函数y= 中自变量x的取值范围是x≠0；
x
6
②点P（﹣3，2）在反比例函数y=- 的图象上；
x
3
③反比例函数y= 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
x
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）不等式3x＜x+6的解集是 ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，将点 P（﹣2，3）向右平移4个单位长度，得到点
P′，则点P′的坐标是 ．
13．（3分）一个不透明的口袋中有两个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2．随机
摸取一个小球后，放回并摇匀，再随机摸取一个小球，两次取出的小球标号的和等于4
的概率为 ．14．（3分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，
不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿
着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人 6竿，多14竿；每人8竿，恰好用
完．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为 ．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE
翻折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′．若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的
长是 ．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，点F在边AD的延长线
上，AF＝EF，设 BE＝x，AF＝y，当 0＜x＜2 时，y 关于 x 的函数解析式为
．
三、解答题（本题共4小题，其中17、19、20题各9分，18题12分，共39分）
a+3 a2+3a 3
17．（9分）计算： • - ．
a-3 a2+6a+9 a-3
18．（12分）某校计划举办以“庆祝建党百年，传承红色基因”为主题的系列活动，活动
分为红歌演唱、诗歌朗诵、爱国征文及党史知识竞赛，要求每名学生都参加活动且只能
选择一项活动．为了解学生参加活动的情况，随机选取该学校部分学生进行调查，以下
是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．活动项目 频数（人） 频率
红歌演唱 10 0.2
诗歌朗诵
爱国征文
党史知识竞赛 0.1
据以上信息，回答下列问题：
（1）被调查的学生中，参加红歌演唱活动的学生人数为 人，参加爱国征文活
动的学生人数占被调查学生总人数的百分比为 %；
（2）本次调查的样本容量为 ，样本中参加党史知识竞赛活动的学生人数为
人；
（3）若该校共有800名学生，请根据调查结果，估计参加诗歌朗诵活动的学生人数．
19．（9分）如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：
BC＝EF．
20．（9分）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个
大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元．
（1）求大、小两种垃圾桶的单价；
（2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分.
21．（9分）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为57°，观测旗杆底部B的仰角为50°，求旗杆AB的高度（结果取整数）．
（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192；sin57°≈0.839，
cos57°≈0.545，tan57°≈1.540）
22．（10分）如图1，△ABC内接于 O，直线MN与 O相切于点D，OD与BC相交于
点E，BC∥MN． ⊙ ⊙
（1）求证：∠BAC＝∠DOC；
（2）如图2，若AC是 O的直径，E是OD的中点， O的半径为4，求AE的长．
⊙ ⊙
23．（10分）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量 y（单位：千
克）和每千克的售价 x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中
50≤x≤80．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？
最大利润是多少？五、解答题（24、25小题11分，26小题12分，共34分）
24．（11分）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，P、Q均从点B出发，点P以
2个单位每秒的速度沿BA﹣AC的方向运动，点Q以1个单位每秒的速度沿BC﹣CD运
动，设运动时间为t秒．
（1）求AC的长；
（2）若S△BPQ ＝S，求S关于t的解析式．
25．（11分）已知AB＝BD，AE＝EF，∠ABD＝∠AEF．
（1）找出与∠DBF相等的角并证明；
（2）求证：∠BFD＝∠AFB；
AE
（3）AF＝kDF，∠EDF+∠MDF＝180°，求 ．
MF
{ - 1 x2+ 1 x+m(x＜m)
26．（12分）已知函数y = 2 2 ，记该函数图象为G．
x2-mx+m(x≥m)（1）当m＝2时，
①已知M（4，n）在该函数图象上，求n的值；
②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．
1
（2）当m＞0时，作直线x= m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°
2
时，求m的值；
（3）当m≤3时，设图象与x轴交于点A，与y轴交与点B，过点B作BC⊥BA交直线x
＝m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，求m的值．2021年辽宁省大连市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项正确）
1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
1 1
A．5 B． C．- D．﹣5
5 5
【分析】根据相反数的定义直接求得结果．
【解答】解：﹣5的相反数是5．
故选：A．
2．（3分）某几何体的展开图如图所示，该几何体是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：扇形和圆折叠后，能围成的几何体是圆锥．
故选：D．
3．（3分）2021年党中央首次颁发“光荣在党50年”纪念章，约7100000名党员获此纪
念章．数7100000用科学记数法表示为（ ）
A．71×105 B．7.1×105 C．7.1×106 D．0.71×107
【分析】根据科学记数法的定义即可判断，将一个较大或较小的数字写成a×10n的形式，
其中1≤a＜10且n为整数．
【解答】解：根据科学记数法的定义，将一个较大或较小的数字写成a×10n的形式，其
中1≤a＜10且n为整数．
∴7100000＝7.1×106．
故选：C．4．（3分）如图，AB∥CD，CE⊥AD，垂足为E，若∠A＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．90°
【分析】根据平行线的性质，可得∠A＝∠D＝40°．根据垂直的定义，得∠CED＝90°．
再根据三角形内角和定理，可求出∠C的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝40°，
∴∠D＝∠A＝40°．
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°．
又∵∠CED+∠C+∠D＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠CED﹣∠D＝180°﹣90°﹣40°＝50°．
故选：B．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a8 B．a2•a3＝a5
C．（﹣3a）2＝6a2 D．2ab2+3ab2＝5a2b4
【分析】根据幂的乘方和积的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法分别求出每个式
子的值，再判断即可．
【解答】解：选项A、（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项不符合题意；
选项B、a2•a3＝a2+3＝a5，故本选项符合题意；
选项C、（﹣3a）2＝9a2，故本选项不符合题意；
选项D、2ab2+3ab2＝5ab2，故本选项不符合题意；
故选：B．
6．（3分）某校健美操队共有10名队员，统计队员的年龄情况，结果如下：13岁3人，
14岁5人，15岁2人．该健美操队队员的平均年龄为（ ）
A．14.2岁 B．14.1岁 C．13.9岁 D．13.7岁
【分析】直接利用加权平均数的计算公式计算得出答案．
【解答】解：∵13岁3人，14岁5人，15岁2人，13×3+14×5+15×2
∴该健美操队队员的平均年龄为： = 13.9（岁）．
10
故选：C．
7．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（-❑√3）2＝﹣3 B．❑√12=2❑√3
C．√3 -1=1 D．（❑√2+1）（❑√2-1）＝3
【分析】根据二次根式的性质，立方根的概念，平方差公式进行化简计算，从而作出判
断．
【解答】解：A、（-❑√3）2＝3，故此选项不符合题意；
B、❑√12=2❑√3，正确，故此选项符合题意；
C、√3 -1=-1，故此选项不符合题意；
D、（❑√2+1）（❑√2-1）＝2﹣1＝1，故此选项不符合题意，
故选：B．
8．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量
逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩
产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．500（1+x）＝800 B．500（1+2x）＝800
C．500（1+x2）＝800 D．500（1+x）2＝800
【分析】设水稻亩产量的年平均增长率为x，根据“2018年平均亩产×（1+增长率）2＝
2020年平均亩产”即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：水稻亩产量的年平均增长率为x，
根据题意得：500（1+x）2＝800，
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝ ，将△ABC绕点C顺时针旋转
90°得到△A'B'C，点B的对应点B'在边AC上（不与点Aα，C重合），则∠AA'B'的度数为
（ ）A． B． ﹣45° C．45°﹣ D．90°﹣
【分α析】由旋转知AC＝A'αC，∠BAC＝∠CA'B'，∠ACαA'＝90°，从而得出△AαCA'是等腰
直角三角形，即可解决问题．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，
∴AC＝A'C，∠BAC＝∠CA'B'，∠ACA'＝90°，
∴△ACA'是等腰直角三角形，
∴∠CA'A＝45°，
∵∠BAC＝ ，
∴∠CA'B'＝α ，
∴∠AA'B'＝4α5°﹣ ．
故选：C． α
10．（3分）下列说法正确的是（ ）
2
①反比例函数y= 中自变量x的取值范围是x≠0；
x
6
②点P（﹣3，2）在反比例函数y=- 的图象上；
x
3
③反比例函数y= 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
x
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】根据反比例函数的性质即可得出结果．
2
【解答】解：①反比例函数y= 中自变量x的取值范围是x≠0，故说法正确；
x
②因为﹣3×1＝﹣6，故说法正确；
3
③因为k＝3＞0，反比例函数y= 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小，故
x
说法错误；
故选：A．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）不等式3x＜x+6的解集是 x ＜ 3 ．
【分析】移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：3x＜x+6，
移项，得3x﹣x＜6，
合并同类项，得2x＜6，系数化成1，得x＜3，
故答案为：x＜3．
12．（3分）在平面直角坐标系中，将点 P（﹣2，3）向右平移4个单位长度，得到点
P′，则点P′的坐标是 （ 2 ， 3 ） ．
【分析】利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律求解可得．
【解答】解：点P（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到点P′的坐标为（﹣2+4，
3），即（2，3），
故答案为：（2，3）．
13．（3分）一个不透明的口袋中有两个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2．随机
摸取一个小球后，放回并摇匀，再随机摸取一个小球，两次取出的小球标号的和等于4
1
的概率为 ．
4
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，两次取出的小球标号的和等于4的结果有
1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有4种等可能的结果，两次取出的小球标号的和等于4的结果有1种，
1
∴两次取出的小球标号的和等于4的概率为 ，
4
1
故答案为： ．
4
14．（3分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，
不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿
着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人 6竿，多14竿；每人8竿，恰好用
完．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为 6 x +1 4 ＝ 8 x ．
【分析】设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，结合竹竿
的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设有牧童x人，依题意得：6x+14＝8x．
故答案为：6x+14＝8x．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE
翻折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′．若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的
长是 2❑√2 ．
【分析】根据菱形ABCD中，∠BAD＝60°可知△ABD是等边三角形，结合三线合一可
得∠BAB'＝30°，求出∠ABB'＝75°，可得∠EB'B＝∠EBB'＝45°，则△BEB'是直角三角形，
借助勾股定理求出BB'的长即可．
【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∵∠BAD＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵AB′⊥BD，
1
∴∠BAB'= ∠BAD=30°，
2
∵将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，
∴BE＝B'E，AB＝AB'，
1
∴∠ABB'= ×(180°-30°)=75°，
2
∴∠EBB'＝∠ABE﹣∠ABB'＝120°﹣75°＝45°，
∴∠EB'B＝∠EBB'＝45°，
∴∠BEB'＝90°，
在Rt△BEB'中，由勾股定理得：
BB'=❑√22+22=2❑√2，
故答案为：2❑√2．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，点F在边AD的延长线4+x2
上，AF＝EF，设BE＝x，AF＝y，当0＜x＜2时，y关于x的函数解析式为 y=
2x
（ 0 ＜ x ＜ 2 ） ．
【分析】由勾股定理表示AE，通过作垂线构造直角三角形，由等腰三角形的性质得出
AM＝ME，分别用含有x、y的代数式表示AM，AE，再根据相似三角形对应边成比例即
可得出y与x之间的函数关系式．
【解答】解：过点F作FM⊥AE，垂足为M，
∵AF＝EF，
∴AM＝ME，
在Rt△ABE中，
AE=❑√AB2+BE2=❑√4+x2，
❑√4+x2
∴AM= ，
2
∵∠B＝∠AMF＝90°，∠FAM＝∠AEB，
∴△ABE∽△FMA，
AE BE
∴ = ，
AF AM
❑√4+x2 x
=
即 y ❑√4+x2，
2
4+x2
∴xy= ，
2
4+x2
即y= （0＜x＜2），
2x
4+x2
故答案为：y= （0＜x＜2）．
2x三、解答题（本题共4小题，其中17、19、20题各9分，18题12分，共39分）
a+3 a2+3a 3
17．（9分）计算： • - ．
a-3 a2+6a+9 a-3
【分析】分式的混合运算，先算乘法，然后再算减法．
a+3 a(a+3) 3
【解答】解：原式 = ⋅ -
a-3 (a+3) 2 a-3
a 3
= -
a-3 a-3
a-3
=
a-3
＝1．
18．（12分）某校计划举办以“庆祝建党百年，传承红色基因”为主题的系列活动，活动
分为红歌演唱、诗歌朗诵、爱国征文及党史知识竞赛，要求每名学生都参加活动且只能
选择一项活动．为了解学生参加活动的情况，随机选取该学校部分学生进行调查，以下
是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
活动项目 频数（人） 频率
红歌演唱 10 0.2
诗歌朗诵
爱国征文
党史知识竞赛 0.1
据以上信息，回答下列问题：（1）被调查的学生中，参加红歌演唱活动的学生人数为 1 0 人，参加爱国征文活动
的学生人数占被调查学生总人数的百分比为 4 0 %；
（2）本次调查的样本容量为 5 0 ，样本中参加党史知识竞赛活动的学生人数为 5
人；
（3）若该校共有800名学生，请根据调查结果，估计参加诗歌朗诵活动的学生人数．
【分析】（1）由频数分布表可得参加红歌演唱活动的学生人数，由扇形图可得参加爱
国征文活动的学生人数占被调查学生总人数的百分比；
（2）由参加红歌演唱活动的学生人数及其频率可得本次调查的样本容量，根据参加党
史知识竞赛活动的学生人数的频率即可求解；
（3）求出样本中参加爱国征文活动的学生人数，根据样本容量求出样本中参加诗歌朗
诵活动的学生人数，可得样本中参加诗歌朗诵活动的学生人数所占比例，即可求解．
【解答】解：（1）由频数分布表可得参加红歌演唱活动的学生人数为10人，由扇形图
可得参加爱国征文活动的学生人数占被调查学生总人数的百分比为40%，
故答案为：10，40；
（2）被调查的学生总数为10÷0.2＝50（人），
50×0.1＝5（人），
故答案为：50，5；
（3）样本中参加爱国征文活动的学生人数：50×40%＝20（人），
样本中参加诗歌朗诵活动的学生人数：50﹣10﹣20﹣5＝15（人），
15
800× =240（人），
50
答：估计参加诗歌朗诵活动的学生人数为240人．
19．（9分）如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：
BC＝EF．【分析】根据线段的和差得到AB＝DE，由平行线的性质得到∠A＝∠EDF，根据全等
三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，
即AB＝DE，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠EDF，
在△ABC与△DEF中，
{
AB=DE
∠A=∠EDF，
AC=DF
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF．
20．（9分）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个
大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元．
（1）求大、小两种垃圾桶的单价；
（2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？
【分析】（1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，根据“购买2个大垃
圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元”，即
可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总价＝单价×数量，即可求出该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶所需费
用．
【解答】解：（1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，
{2x+4 y=600
依题意得： ，
6x+8 y=1560{x=180
解得： ．
y=60
答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元．
（2）180×8+60×24＝2880（元）．
答：该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需2880元．
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分.
21．（9分）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A
的仰角为57°，观测旗杆底部B的仰角为50°，求旗杆AB的高度（结果取整数）．
（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192；sin57°≈0.839，
cos57°≈0.545，tan57°≈1.540）
【分析】在Rt△BCD中，由锐角三角函数定义求得BC的长，再在Rt△ACD中，由锐
角三角函数定义求得AC的长，即可解决问题．
BC
【解答】解：在Rt△BCD中，tan∠BDC= ，
CD
∴BC＝CD•tan∠BDC＝20×tan50°≈20×1.192＝23.84（m），
AC
在Rt△ACD中，tan∠ADC= ，
CD
∴AC＝CD•tan∠ADC＝20×tan57°≈20×1.540＝30.8（m），
∴AB＝AC﹣BC＝30.8﹣23.84≈7（m）．
答：旗杆AB的高度约为7m．
22．（10分）如图1，△ABC内接于 O，直线MN与 O相切于点D，OD与BC相交于
点E，BC∥MN． ⊙ ⊙
（1）求证：∠BAC＝∠DOC；
（2）如图2，若AC是 O的直径，E是OD的中点， O的半径为4，求AE的长．
⊙ ⊙【分析】（1）连接OB，如图1，根据切线的性质得到OD⊥MN，则OD⊥BC，利用垂
径定理得到^BD=C^D，然后根据圆周角定理得到结论；
（2）先计算出CE＝2❑√3，根据垂径定理得到BE＝CE＝2❑√3，接着利用勾股定理计算
出AB，然后计算AE的长．
【解答】（1）证明：连接OB，如图1，
∵直线MN与 O相切于点D，
∴OD⊥MN，⊙
∵BC∥MN，
∴OD⊥BC，
∴^BD=C^D，
∴∠BOD＝∠COD，
1
∵∠BAC= ∠BOC，
2
∴∠BAC＝∠COD；
（2）∵E是OD的中点，
∴OE＝DE＝2，
在Rt△OCE中，CE=❑√OC2-OE2=❑√42-22=2❑√3，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE＝2❑√3，
∵AC是 O的直径，
∴∠ABC⊙＝90°，
∴AB=❑√AC2-BC2=❑√82-(4❑√3) 2=4，
在Rt△ABE中，AE=❑√AB2+BE2=❑√42+(2❑√3) 2=2❑√7．23．（10分）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量 y（单位：千
克）和每千克的售价 x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中
50≤x≤80．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？
最大利润是多少？
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）设电商每天获得的利润为w元，根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解
析式，将其配方成顶点式即可得最值情况．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
{50k+b=100
将（50，100）、（80，40）代入，得： ，
80k+b=40
{k=-2
解得：
b=200
∴y＝﹣2x+200 （50≤x≤80）；
（2）设电商每天获得的利润为w元，
则w＝（x﹣40）（﹣2x+200）
＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∵﹣2＜0，且对称轴是直线x＝70，
又∵50≤x≤80，
∴当x＝70时，w取得最大值为1800，
答：该电商售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．
五、解答题（24、25小题11分，26小题12分，共34分）
24．（11分）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，P、Q均从点B出发，点P以
2个单位每秒的速度沿BA﹣AC的方向运动，点Q以1个单位每秒的速度沿BC﹣CD运
动，设运动时间为t秒．
（1）求AC的长；
（2）若S△BPQ ＝S，求S关于t的解析式．
【分析】（1）根据勾股定理直接计算AC的长；
（2）根据点P、Q的运动位置进行分类，分别画图表示相应的△BPQ的面积即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC=❑√AB2+BC2=❑√32+42=5，
∴AC的长为5；
（2）当0＜t≤1.5时，如图，1 1
S= ×BP×BQ= ×2t×t=t2；
2 2
当1.5＜t≤4时，如图，作PH⊥BC于H，
∴CP＝8﹣2t，
AB PH
∵sin∠BCA= = ，
AC PC
3 PH
∴ = ，
5 8-2t
24 6t
∴PH= - ，
5 5
1 1 24 6t 3t2 12t
∴S= ×BQ×PH= ×t×( - )=- + ；
2 2 5 5 5 5
当4＜t≤7时，如图，点P与点C重合，1
S= ×4×(t-4)=2t-8．
2
{ t2 (0＜t≤1.5)
3t2 12t
综上所述：S= - + (1.5＜t≤4)．
5 5
2t-8(4＜t≤7)
25．（11分）已知AB＝BD，AE＝EF，∠ABD＝∠AEF．
（1）找出与∠DBF相等的角并证明；
（2）求证：∠BFD＝∠AFB；
AE
（3）AF＝kDF，∠EDF+∠MDF＝180°，求 ．
MF
【分析】（1）由三角形的外角及已知条件∠ABD＝∠AEF，可找出并证明∠BAE＝
∠DBF；
（ 2 ） 连 接 AD ， 先 证 明 △ ABD∽ △ AEF ， 得 出 ∠ BDG ＝ ∠ AFB ， 再 证 明
△BGD∽△AGF、△AGB∽△FGD，即可证明∠BFD＝∠AFB；
（3）作点D关于直线BF的对称点D′，连接MD′，作EH∥MD′交AC于点H，可
证明△EFD≌△EAH，进而得出结论．
【解答】解：（1）如图1，∠BAE＝∠DBF，
证明：∵∠DBF+∠ABF＝∠ABD，∠ABD＝∠AEF，∴∠DBF+∠ABF＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠BAE+∠ABF，
∴∠BAE+∠ABF＝∠DBF+∠ABF，
∴∠BAE＝∠DBF．
（2）证明：如图2，连接AD交BF于点G，
∵AB＝BD，AE＝EF，
AB BD
∴ = ，
AE EF
∵∠ABD＝∠AEF，
∴△ABD∽△AEF，
∴∠BDG＝∠AFB，
∵∠BGD＝∠AGF，
∴△BGD∽△AGF，
BG DG
∴ = ，
AG FG
BG AG
∴ = ，
DG FG
∵∠AGB＝∠FGD，
∴△AGB∽△FGD，
∴∠BAD＝∠BFD，
∵∠BAD＝∠BDG＝∠AFB，
∴∠BFD＝∠AFB．
（3）如图3，作点D关于直线BF的对称点D′，连接MD′、DD′，作EH∥MD′交
AC于点H，则BF垂直平分DD′，
∴D′F＝DF，D′M＝DM，
∵MF＝MF，
∴△D′MF≌△DMF，
∴∠EHF＝∠MD′F＝∠MDF，
∵∠EDF+∠MDF＝180°，∠EHA+∠EHF＝180°，
∴∠EDF＝∠EHA，
∵∠EFD＝∠AFB＝∠EAH，EF＝AE，
∴△EFD≌△EAH（AAS），∴DF＝AH，
AE EF HF
∵ = = ，D′F＝DF，
MF MF D'F
AE HF AF-AH AF-DF AF
∴ = = = = -1，
MF DF DF DF DF
∵AF＝kDF，
AF
∴ =k，
DF
AE
∴ =k-1．
MF{ - 1 x2+ 1 x+m(x＜m)
26．（12分）已知函数y = 2 2 ，记该函数图象为G．
x2-mx+m(x≥m)
（1）当m＝2时，
①已知M（4，n）在该函数图象上，求n的值；
②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．
1
（2）当m＞0时，作直线x= m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°
2
时，求m的值；
（3）当m≤3时，设图象与x轴交于点A，与y轴交与点B，过点B作BC⊥BA交直线x
＝m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，求m的值．
【分析】（1）先把m＝2代入函数y中，①把M（4，n）代入y＝x2﹣2x+2中，可得n
的值；
1 1
②将0≤x≤2分为两部分确定y的最大值，当0≤x＜2时，将y=- x2+ x+2配方可得
2 2
最值，再将x＝2代入y＝x2﹣2x+2中，可得y＝2，对比可得函数G的最大值；
（2）证明△POQ是等腰直角三角形，得OP＝PQ，列方程可得结论；
（3）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，证明△ABO≌△BCD（ASA），得OA＝BD，列
方程可得结论．
{ - 1 x2+ 1 x+2(x＜2)
【解答】解：（1）当m＝2时，y = 2 2 ，
x2-2x+2(x≥2)
①∵M（4，n）在该函数图象上，∴n＝42﹣2×4+2＝10；
1 1 1 1 1
②当0≤x＜2时，y=- x2+ x+2=- （x- ）2+2 ，
2 2 2 2 8
1
∵- ＜0，
2
1 1
∴当x= 时，y有最大值是2 ，
2 8
当x＝2时，y＝22﹣2×2+2＝2，
1
∵2＜2 ，
8
1
∴当0≤x≤2时，函数G的最大值是2 ；
8
1
（2）如图1，由题意得：OP= m，
2
∵∠POQ＝45°，∠OPQ＝90°，∴△POQ是等腰直角三角形，
∴OP＝PQ，
1 1 1 1 1
∴ m=- ⋅( m) 2+ ⋅ m+m，
2 2 2 2 2
解得：m ＝0，m ＝6，
1 2
∵m＞0，
∴m＝6；
（3）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，
当x＝0时，y＝m，
∴OB＝m，
∵CD＝m，
∴CD＝OB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝∠ABO+∠CBD＝90°，
∵∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠ABO＝∠BCD，
∵∠AOB＝∠CDB＝90°，
∴△ABO≌△BCD（ASA），
∴OA＝BD，
1 1
当x＜m时，y＝0，即- x2+ x+m＝0，
2 2
x2﹣x﹣2m＝0，1-❑√1+8m 1+❑√1+8m
解得：x = ，x = ，
1 2 2 2
❑√1+8m-1 1
∴OA= ，且- ≤m≤3，
2 8
∵点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，
1
∴OD＝c=- a，
3
1
∴BD＝m﹣OD＝m+ a，
3
∵OA＝BD，
❑√1+8m-1 1 1-❑√1+8m
∴ =m+ ⋅ ，
2 3 2
20
解得：m ＝0（此时，A，B，C三点重合，舍），m = ．
1 2 9
