2009年考研数学一真题解析（一）：第1题-选择题

系列说明：本系列对2009年考研数学一真题进行逐题详解，帮助考生理解解题思路、掌握核心知识点、避开常见陷阱。

📋 前言

试卷概况

• 年份：2009年
• 题型：选择题（第一大题）
• 题量：8题
• 总分值：32分（每题4分）
• 整体难度：★★★☆☆（中等）

选择题特点分析

2009年的选择题覆盖三个学科，注重基本概念和计算技巧的灵活运用。

• 知识点分布：高等数学6题、线性代数1题、概率统计1题
• 难度分布：较易3题、中等4题、较难1题
• 命题特点：等价无穷小、积分比较、函数性质、级数收敛性

做题策略建议

1. 时间分配：建议25-30分钟完成（平均每题3-4分钟）
2. 答题顺序：先做熟悉的题型，遇到难题先排除明显错误选项
3. 检查重点：等价无穷小替换的条件、积分区域的对称性

第(1)题（等价无穷小·求参数）

📝 题目

当 时， 与 是等价无穷小，则 (    )

(A)
(B)
©
(D)

难度：★★★☆☆
知识点：#等价无穷小 #泰勒展开 #极限计算
预计用时：4分钟

💡 解题思路

两个函数等价无穷小，即 。关键是用泰勒展开将两个函数展开到同一阶，然后比较系数。

📊 详细解析

方法一：泰勒展开法（标准解法）

步骤1：展开

利用正弦函数的泰勒展开：

因此：

步骤2：展开

利用对数函数的泰勒展开：

因此：

由于高阶项可以忽略：

步骤3：利用等价无穷小条件

意味着它们是同阶无穷小，且主要部分相等。

从 和 可知：

• 若 ，则 是 的一阶无穷小，而 是三阶，不可能等价
• 因此必须 ，即

当 时：

要使 ，需要：

比较系数：

因此

方法二：等价无穷小替换法（快速解法）

步骤1：识别基本等价无穷小

当 时：

步骤2：初步简化

步骤3：判断等价条件

若 ，且 ，这要求 与 同阶，矛盾！

因此 必须为0，即 。

步骤4：用更高阶展开

当 时，需要用三阶展开：

要使 ，得：

方法三：洛必达法则验证法

已知 ，即

代入各选项验证（以选项A为例）：

当 时：

这是 型，连续用洛必达法则：

当 时，分母 ，继续用洛必达（较繁琐，不推荐）

实际验证可直接用泰勒展开更快。

✅ 答案

A.

🎯 关键要点

• 核心技巧：

  1. 等价无穷小要求同阶，先确定阶数
  2. 用泰勒展开到足够高的阶（本题需到三阶）
  3. 比较主要项系数

• 易错点：

  1. 误用 直接得 ，忘记检查阶数不匹配
  2. 的泰勒展开首项是 （注意负号）
  3. 忘记 的三阶展开：

• 时间优化：方法二最快，但需要敏锐地发现阶数矛盾；方法一最稳妥

🔗 相关知识

• 常用泰勒展开（）：
  
  
  
  
  

• 等价无穷小替换使用条件：

  • 只能用于乘除，不能用于加减
  • 替换后要保证是同阶无穷小

• 大纲章节：高等数学 > 一、函数、极限、连续

📌 选择题部分总结（待补充）

已完成：第(1)题
待补充：第(2)-(8)题

🔗 相关资源

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配套资料

• 原卷 PDF：2009年数一真题.pdf
• 官方解析：2009数学一解析.pdf

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