2009年数学(一)真题解析
一、选择题
(1)【答案】(A).
【解】方法一 g (无)=2 ln( 1 一 bx ) 〜一bx3 9
3
/(乂) = x — sin ax = (1 — cz ) 3 + o (工3 ),
由 /(jt )〜g(z)，得 a =1』=-- ，应选(A).
6
由卄 v x — sin ax 1 .. x 一 sin ax -^lim1 — a cos ax
方法二 11m —7—----------= — lim--------------- —…3/ i，
LO
g\x ) —bx) b t-*o x b x-*o
得 a = 1.
再由lim卑辛 _晁上CO2S X =— 丄=】9得b =—，应选(A).
■Zf 0 g\x ) b 丁-* 0 3j? bb 6
方法三 g(z )〜一忘39显然a =】9且/(jc ) —jc — sin x〜3
6
再由/(工)〜g (工)得b =----9应选(A)・
0
⑵【答案】(A)・
【解】由h =JJ 3/cos x dje dy =2 cos jc dr
D】 o
=(1 ― jc 2) cos x dx〉0 ,
J 0
2=JJ 3/cos x dj? dy = 0，
D2
I3 = JJ 3/cos xdxdy = 2 cos x dr ydy = (x2 — l)cos zdr V0,
0 J -1 o
D3
jj 3/cos x dx dy = 0 9 应选(A).
丄4
D4
方法点评：二重积分的对称性是考查的一个重点，关于对称性有:
(1)设D关于夕轴对称，位于夕轴右侧的部分为D],则
当 f(.~~x,y)—f(x,y)时 Jj/(j- )d(7 =2jj / (o' ,j/)d(r.
D D]
(2)设D关于工轴对称，位于工轴上侧的部分为Di，则
D当 f（x, — y） —f（x,y）时）dcr =2『/0 ,y）da.
D Dj
（3）当 D 关于夕—x 对称时，『/'（攵,j/）djr dj/ ）dxdjy.
D D
⑶【答案】（D）.
【解】 当一1 W z < 0 时,/（j? ） = 1,则 F（z） = ［ /（r ）dr —x ,排除（A）,（C）；
J 0
因为fd）在［-1,3］上只有两个第一类间断点，所以FQ）为连续函数，排除（E）,
应选（D）.
方法点评：本题考查定积分的几何意义、变积分限的函数与可积.这类问题需要注意如下
几点:
（1） 若/（工）连续，则FQ） = 可导；
J a
（2） 若/'&）只有有限个第一类间断点，则/Q）可积，且FQ）= 连续，在/'（工）
J a
的第一类间断点处FQ）不可导.
（4）【答案】（C）.
【解】 方法一 因为liman=O,所以存在M>0,使得|a” |£M；由级数工|九|收敛得
"f 00 ” = 1
lim | bn | = 0,
oo
由极限的定义，对€ =1,存在N > 0,当" >“时，2”|v 1,从而b\ < \bn I ,于是当
n>N 时,a；b： ^M2\bn \ ,
因为^M2\bn |收敛，所以由正项级数比较审敛法得工證研收敛，应选（C）.
n=l «=1
OO OO 8 =
方法二 取Q” =（ ；）4 = ― 9显然lima” = 0且级数，bn收敛，但工a血=工 一
眉 ^/n "f°° n = l n = l ” = 1 "
发散，排除（A）；
°° 1
oo OO
取a” = — ybn = 一 9显然lima” = 0且发散，但工Q血=工—收敛9排除（E）;
兀 X n_*°° n = l n = l n = l 九
取 an =*,b” =匸，显然lima =0且工b”发散，但工a宓= g收敛，排除（D）,
4n —
n = \ ” = 1 n = 1
应选（C）.
（5）【答案】（A）.
【解】令 A = （ai，a2，a3）,
1 0 0
0 0
1
1 1 0 0
由 a i 巧a2，—a3 2 2 0
1 0 3
0 0
~3又由(。1+ a 2,a 2 +(Z3 ,a：< + a i) =A 11 1 0|,得
、0 1 U
卩 0\/l
0 0 1\
。卜
1
T®3)
(a 1 + a2 ,a2 + a3,a3 + a,) = I a j ㊁a 2 0 2 1 0
% 3八0 I1
0 1
/I 0 1\
1 1 \
T®3/ 2 2 0 ,
3'
3
0
即从©，㊁a2，+a3到+ a2 .a2 + a3 ,a3 + a!的过渡矩阵为2
2 0，应选(A).
'o 3 3/
方法点评:本题考查向量空间两组基之间的过渡矩阵，维向量空间有如下三个概念是数
学一考生需要掌握的内容：
设R为n维向量空间，则
（1） 设a 1 ‘a?,a”为"个"维线性无关的向量组，称a, ,a2，• - ,an为R"的一组基；
（2） 设5 ‘a?,…，a” 与 風，…，0” 为 R"的两组基，若（"1，卩2 ，…，0”）=（5 ‘a?,…，a”）Q,
则称矩阵Q为从基a】，a2,…，a”到基触，庆，…』”的过渡矩阵；
（3） 设 a】，a?,…，a” 为 R"的一组基，a G R",若 a = a】ai 4- a2a2 + ••- + a„a„,
（a1 ,a2, ••- ,an｝为向量 a 在基 a, ,a2, ••• ,an 下的坐标.
（6）【答案】 (B).
O A
【解】 =(一1严2 \A \ . |B 1 = 6,则
B O
Ay=° A\t°
O) B O Pfi O> \A_1
应选（B）.
方法点评：本题需要熟练掌握如下知识点：
O A
（1） 设A,B分别为加阶和”阶矩阵，则 =（一 | • | ；
BO
（2） 设 A 可逆，则 A* = IA lA"1 ；
/O A 、 t / O bt 、
⑶ =「 •
5 O' “T o '
更一般地有：设A, jB为m 阶可逆矩阵，且IA \=a,\B\=b,则
'A O\ A O IC °r=abr O \ _ /abA~} ° \=lbA
O B) O B B丿 \ O B^l \ O abB ~x> V O
O A\ O A 人) =(-l)mnabl ° B )=(—1)如(O aB
B O丿
B O O' O / \6A* O(7)【答案】(C).
【解】/"(工)=0. 3爭(攵)+ 0. 35爭( 一)，
f+°° , C+00 (X 一 1 \ , p-°° (JC — 1) + 1 (X — 1 \ ,/x — 1
E(X) = 0. 3J 工爭(工)血+0. 35j 工卩(一-—j dr = 1.目 ---------- 讥一-—丿 d(—-—
+°-C4X — 1
=1.
2
Ef+8
x(p (x )dj： + 0. 7 (p(x)djc = 0. 7 ,
J —oo
应选(C).
(8)【答案】(B).
【解】Fz(z)=P{Z £z}=P{XY£z}
= P{Y = 0}P{XY^z I Y = Q}+P{Y = l}P{XY^z \ ¥-1}
=P{Y= Q}P{z^0}+P{Y= l}P{X^z}= yP{z^0}+jP{X<z},
当 z VO 时，Fz（z）= —;
当 时，Fz（z）=* + 土①（z）,
—0（z）» z V 0 ,
即Fz（z）=丿 显然FZ（Z）只有一个间断点，应选（E）.
十*①（z）, z$0,
方法点评：设（X,Y）为二维随机变量，其中X为连续型随机变量,Y为非连续型随机变
量，Z=°（X,Y）为二维随机变量（X,Y）的函数，求Z=<p（X,Y）的分布函数时，一定要根据Y
形成的完备组使用全概率公式.
二、填空题
(9) 【答案】xf^+f.+xyf^.
【解】方法一由字=f'\ + yf‘2,得詁宁=工咒2 +/'‘2+工3\/；2.
djc djC dy
方法二 z — f {jc ,jcy )两边求微分，得
dz =/i d;r + fzd(xy ) = f\ djr + ff2 (ydx + ardj>) = (/I + yfz)dx + xff2dy »
j
于是字=f'\ + yf'i，故 =工f"\i + f 2 +^3^/22.
ox ox dy
(10) 【答案】工(1一丁)+ 2.
【解】 因为y+ay+by^ 0的通解为y = (C】+。2工)厂所以特征方程为A2+oA+6- 0,
特征值为A 1 =A2 =1,于是a=—(入i+入2)= —2, 5=入1入2=1.
显然微分方程yr — 2yr + y = x的一个特解为％ =工+ 2 ,其通解为
y=(Ci + C 2 J： ) eJ + x + 2,
由 y(0)= 2,j/(0)= 0,得0= 0,C2 = — 1,故满足条件的特解为 y = z (1 — e* )+2.1 3
(ID【答案】百.
6
【解】 由 ds = \/1 + y dx = a/1 + 2 dr 9得
x + 4jc2 dz = £ '42 (1 + 4工2)1・ (1+4工2)=1( 1+4工2)2_3_ 13
x ds =
12 ~6
o 0
4
(12)【答案】 —K.
Io
I j：2 dx dy dz = JJ3/2 djr dj/d^ ?
【解】方法一由对称性，得 』n $ dz djy d
n n q
于是 JJJ 之 $ dz dj/ dz (j: 2 + y2 + n? )cLz dj/dz
a
Q
丄 「 2 兀 '人吓卄=警「 4tc
d(9 d(p sin(pd(p — 齐.
0 J 0 o 15 J • o 15
方法二 0 = {(2,夕9之)| (eq) G Dz，— 1£nW1}，其中 D 八 jr2 + j/2 W 1 — n
IjJ •1 2
则 z2 dx dydz = dzjj d<z dy =兀 z2 (1 — z2)dz
n
D
=2tc [ (z2 — zA)dz = 2n ----)=警.
'3 5 / 15
Jo
方法点评：本题考查三重积分的对称性与三重积分的球面坐标法.
三重积分计算过程中需要注意使用对称性，具体对称性质为：
(1) 若C关于鼻0夕面对称，且位于zOy面上方的部分为0],
若 f (x ,y , — z) ―― f(x ,y fz)，则 JJ/(x ,_y,z)du = 0 ；
n
若 f(x ,y , — z) = ,y ,z),则 JJ/Xz ，z)du = 2|Jf (x ,y ,z)dv.
n a】
关于其他几个平面对称有同样的结论.
(2) 若Q关于三个坐标面都对称，则有a:2dv = JJj;2dz; = JJz2dv.
n n n
(13)[答案】2.
【解】 令 A=0aT,则 A? =0/ • 0" =20/=2A.
令 AX=AX(X HO),由 A? =2A,得 A2X =2AX 或(A2 -2A)X=0.
因为XHO,所以A2 -2A =0,故“aT的非零特征值为2.
，且(a,0)=肛 HO).
a 161 a-\i>2 •■■ arbn
a2bi •• a2b„
若 A =afiT = ，设A的特征值为入1，入 …"”，则有:
2,
、a4 anb2 '•• a”b”,(1) A的特征值只能是0与I
(2) 因为入 1 +入 2 + …+ 入” =tr A = (a ,0) = k，所以 A i = A 2 =••• —X n_i = 0,入” =k.
（14） 【答案】一1.
【解】 因为X,〜=l,2,-,m）,所以
E （X） = E（Xi）= np , E（S2） = D （X）） =np（\ — p）,
于是 E（X kS2） =np + knpd — p）.
因为X + kS2为np?的无偏估计量，所以np +如"（1 — p）=加撒k = —1.
三、解答题
（15） 【解】（z ,夕）=2.丫（2 + J/'）, /^, （j: ,y） —2x2y + In y + 1.
人；于；（工，夕）= 2;r（2 + ;/） = 0, 解得唯一驻点（0,丄
\fry{x ,y） =2x2y + In y + 1= 0, \ e
f
因为 A=/L（0,-） = 2（2 + j,2） =2（2 + g）,
B =尤仏 + ）=5 | （o.i）=。，=尤（0,*） =（2工2++）「）=e,
所以B2-AC = -2e（2 + ^-） <0,又A〉0,于是（0,£）是/（工q）的极小值点，极小值
为 /（o?—~）=—.
\ e / e
方法点评：本题需要熟练掌握二元函数无条件极值步骤：
（1） 确定二元函数f\x ,y）的定义域D（开区域）；
，
IS ' ' :'
（2） 由』" 求出函数,y ）的驻点；
，
IS
（3） 若（工 0，夕0）为一个驻点，求出 A = /L&o，》o），E =咒 y（G ,》0），C = /^（工0，，0），
当AC-B2 > 0时，（工。，夕。）为_/■&,》）的极值点，其中当A >0时，（乂0，夕。）为极小值
点；当A V0时9（工oQo）为极大值点.
当AC-B2 <0时，（u°）不是极值点.
（16）［解】由F x:得曲线夕=攵
"与夕=工"+1的交点为(0,0)与(1,1),
9 =工”+1
I_______1
由题意得a )d_z
/? + 1 ?? + 2
Si = £a” = S (- 1 1 )
9
+ 1 n +2/
n=l n=l H
其部分和为= + (丄一丄) + •••,+ ( 1 + 1 2 ) ' 1 1
\ 3 4 / ?? + 1 n 2 +2'
由limSf =寺得Si =斗
”f oo Z 6slIx—刃—
儿）=】+乞3,
” =i ” = i2“+1/ ” = ] n
00 / _ 1 \ n
令 S（_z） = Y -一 工"，则
” =1 n
吕（一工）"
S（z ） = / , ----------= — ln[l —（—攵）]=—ln（l+z）（— 1＜工 £1）,
„ = i n
故 S2 =1 + S（1） =l-ln 2.
方法点评：本题需要熟练掌握微分与积分的几何应用及应用舉级数的和求常数项级数的
和的方法.
2 2 I 2
（17）【解】（I）方法一 椭球面3的方程为亍+乩厂 =].
2 2
设切点为（几，九），则冷■ +才=1在5,%）处的切线方程为于 + 誉 =1.
将攵= 4,》=0代入切线方程得工0=1,从而％ = + -^-^/4 — = ± y.
所以切线方程为手土卡=1,从而圆锥面S2的方程为仔_1）2=必若，艮卩
（J? 一 4）2 — 4y2 一 4z2 = 0.
2 2 2
方法一 椭球面S]的方程为S"——卜冷—I~ ~ = 1.
2 2
从点（4,0）作椭圆手+才=i的切线，并设切点为a,b）,
^ + 4 = 1两边对工求导得v + v •学=°，解得学=—芒，
4 6 Z 3 dj? djr 4j/
切线的斜率为k=_卑,又怡,
46 a — 4
（2
7 2
4 十 3 ' 3 1 ]
由』 得a=l,b = 土牙，从而怡=土百，切线方程为y - ± —（j? — 4）,
_ 3a _b-Q 2 2 2
4b a — 4
圆锥面S2的方程为S2:y2 + / = +（力一4严，或（z — 4）2 = 4y2 + 4z2.
3 Q
（n）方法一 S]与s2之间的体积等于一个底面半径为号，高为3的锥体体积斗兀与部
?7T「2 q Q T
分椭球体体积V之差，其中V = — （4 — 2 ）dj? = —7T ,故所求体积为〒兀 7T = 7C.
4 J1 4 4 4
方法二 所求的体积为V=V] -v2,
其中 V\ = 7r [ +（工—4）2 dj?=為（2 — 4）3 I
J1 4 12 I 1 4
匕=』3（1 —pcLz =¥£（4—小山=乎，9 71 5tc
故V
T T = 7T-
方法点评：本题需要熟练掌握空间解析几何的方法及定积分的几何应用.
(18)【证明】(I )令(pCx) = —/(a) — ---- (a- — a),显然卩(工)在上
b 一 a
连续，在(a ,b)内可导.
又(p(a) =(p (b) = 0,所以由罗尔定理9存在g G (°*)9使得忙(£)=0.
S,
w
而 n 二* 所以八a ［士 =°,即
b — a b — a
/(6) — f(a) = — a).
(H )取2 C (0,5),因为/&)在［0,5］上连续，在(0,5)内可导，所以由拉格朗日中值定理,
存在g 6 (0,工)，使得/a)-/(0)=尸(£)工，即水")—= f ®,两边取极限得
応心二竺十心).
工-»°+ 无 工->()+
因为 limy'Q) = A,所以 lim/7e)= lim/(^) =A.
工_()+
JT-*-0^ €-►()+
于是 lim 心)—八 0)= lim/(e)=A,即 /；(0) =A.
工-*。+ 攵 工-*•()+
(19)［解］P =----------------------r， Q=------------ y ---------， R— N
s
(^2+j/2+z2)7 (jc2 y2 + )2 (x2 y2 z2 ) 2
3_ 3
c 1
(J?2 + y2 + z2)2 —x • —(^2 y2 + ^2)2 •
ap 2 y 2 十I n 2 — qL x2
~T"
3jc {jc2 +y2 +z2Y
2 +宀/厂
3Q x2 + z2 — 2j/2 SR x2 + y2 一 2z2
dy 2+'+/)* dZ (^2+j,2+z2)F
令£：工2 +)2 =1,取外侧，且设工与U围成的区域为0,
由高斯公式得
x dydz y Az dr + n da* dy _ (*3P £Q ££
du = 0,
(d+ y + F Q "djc 3 y dz
工+石
故© x dydz ydzdr + zdr dj/ x dy dz -ydz dr + z dj? dy
3_ 3_
2 (x2 + y2 + / ) 2 (x2+y2+z2r
# 工 djy c!n + jy dz dx + n dr dy
=3 JJJ dv = 4兀・
x2+y2+z2<l
方法点评：计算对坐标的曲面积分时，先可以考虑有无项可以代替.若P，Q，R连续可偏
导，则可以考虑使用高斯公式，若曲面不封闭可以补充曲面.（20）【解】
1 1
1 -1 -1 -1 1 0
-1 -1 -1 2
(I )由(A [ "= -1 1 1 1 0 C , 1 — 1 1 —A 1 1
2 T 0 1 —
' 0 -4 -2 -2 2 ¥
0 0 0 0
0 0 0 o ,
得S （铝 为任意常数）.
1 _ 1 _ 1 1 -1 1 2 2 0
A2 -1 1 1 -1 1 1 -2 -2 0
0 -4 -2 0 -4 -2 4 4 0
1
/ 2 2 0 】 1 0
2
由（A?丨 § 1）= 一2 -2 0 得
0 0 0 0
' 4 4 0 -2/
、0 0 0 0
(k2 、k 为任意常数）.
3
（U ）方法一
丄
-1 kz o 0
1 k2 1 b
2
-2 ki 怡3 -2 怡3
j.
I H 0,
得线性无关.
方法二
设
怡1§1+怡2§2+&3§3=0 ①
① 两边左乘A得紅AL +紅+匕血3 =0,由A§】=0得
怡2§1+怡3人§3=0 ②
② 两边左乘A得孔A迖3 =0,即&3§】=0.
由/ H0得孔=0,代入②得匕=0,再代入①得& =0,
故线性无关.方法点评：本题第一问考查非齐次线性方程组，属于基础知识范畴.
第二问考查向量组的无关性，判断向量组线性相关性一般有如下重要思路：
(1) 利用向量组相关性定义证明；
(2) 利用向量组相关性性质证明.本题向量组的个数与向量组的维数相等，则向量组线性
无关的充分必要条件是该向量组构成的行列式不等于零.
la 0 1 \
(21)【解】(I )二次型的矩阵A = a -1 ,
h —1 a
入一a 0 -1
由丨入―A丨= 0 A — a 1 =(A — a )［入—(a + 1)］［入—(a — 2)］ = 0 9
—1 1 A 一 a + 1
得A的特征值为A ! =a，入2 =a + 1 U 3 = a —2.
Z1 °\
0
(U)方法一 由于/'的规范形为砒+北，所以A合同于0 1 0，其秩为2,于是
0 o'
| A |=入1入 2入 3 = 0,故 a = 0 或 a = — 1 或 a — 2.
当a=0时，入1=0,入2=1’入3= — 2,此时f的规范形为y \ — y\，不合题意；
当a = — 1时，入1 = — 1,入2 — 0 ,A 3 = — 3,此时f的规范形为一y \ —北，不合题意;
当a = 2时，入1 = 2,入2 = 3,入3 = 0,此时f的规范形为+ y\.
综上可知，a =2.
方法二 由于/的规范形为云+允，所以A的特征值有2个为正数，1个为零,
因为 a — 2Va Va+1,所以 a=2.
cj xq
6X6 4
(22)［解】(I)P{X=1 丨 =
(I)2 9
(n )由题意知(X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2).
32 1 、 C； X C； X C； 1
P{X=0,Y = 0}=計亍 P{X=0,Y = l} = ―#——=亍
、22 1 , 、 C； X C； 1
P{X =0,Y = 2}=疋=石，P{X=l,Y = 0}=—----=—,
6 9 6 6
P {X — 1 ,Y = 1} — = -^，P{X=l,Y = 2}=0,
© W®
6 9
_1 X 1 _ 1
P{X =2,Y=0}
=62 =36
p{x =2,y = 1} =o, p{x =2,y = 2} =o,y
X
0 1 2
1 1 1
0 —
4 3 9
1 1
1 0
6 9
1
2 0 0
36
方法点评：求二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布，首先求（X,Y）的可能取值，再求可
能取值的概率.
*8 r+oo
(23)【解】(I )E(X)= jc/Cjc )dj? =Jo A 2 x 2 e_A-r dr
_2 °+°° (入工)2e_Az d(Ajc )= 入 JC z2e"dz=rr(3)=r
_T
0
— ? ?
故X = — 9即j ==为入的矩估计量.
（n）设g，工 …，工”（厂＞ o,z =1,2,…，”）为样本观测值，则似然函数为
2,
化
—A £ x .
L(j?i ,x2 ,x„ ；A ) = A2ne i=1 口厂，
i = l
In L =2z?ln A —入另，+ 工 In 工,,
i=l 1=1
由屯学=字_ £工，=0,得入的最大似然估计量为A2=£.
dA X
A - = 1
方法点评：参数的矩估计即通过总体的矩与样本相应阶的矩相等求出参数的估计量.
参数的极大似然估计有如下两种情形：
（1） 总体X为离散型
第一步，求似然函数L（0） =P{X] =xl}P{X2 =g}・・・P{X” =工”}；
J
第二步，由—In L（0） =0得参数6的极大似然估计.
at）
（2） 总体X为连续型
第一步，求似然函数l（0）=y（G ；0）心2；0”・心” ；0）；
第二步，由吕In L（0） =0得参数e的极大似然估计.
