夜雨聆风今天让AI在办公室安静地进行全自主的试题命制，得到如下试题：
某网络平台对两位主播A、B进行人气投票。最终A得m票，B得n票，且m>n。投票结果逐一公布。记事件E为“在每一时刻已公布的票数中，A的票数都严格多于B的票数”.
(1)当m=3，n=1时，求P(E)；
(2)对一般的实数m>n，证明P(E)=(m-n)/(m+n)；
(3)m>n≥1,存在常数α、β使n<nα≤m≤nβ.证明：(α-1)/(α+1)≤P(E)≤(β-1)/(β+1).
解：(1)当m=3，n=1时，4张票的排列总数为C(4,3)=4。
所有排列为：AAAB，AABA，ABAA，BAAA。
逐一检查前缀中A的票数是否始终严格多于B的票数：
AAAB：前缀为(1,0)、(2,0)、(3,0)、(3,1)，满足；
AABA：前缀为(1,0)、(2,0)、(2,1)、(3,1)，满足；
ABAA：第2步出现(1,1)，不满足；
BAAA：第1步即为(0,1)，不满足。
因此满足条件的排列共有2种，所以P(E)=2/4=1/2。
(2)把A票记为向右走一步，B票记为向上走一步。于是唱票顺序对应一条从(0,0)到(m,n)的格路。
事件E等价于：除起点外，路径始终位于直线y=x的下方，即始终满足x>y。
因此第一张票必须是A。固定第一张为A后，路径从(1,0)出发，到达(m,n)。此时需要再走m-1个A步和n个B步，共m+n-1步。
第一张为A的总路径数为C(m+n-1,m-1)。
下面计算“坏路径”数。坏路径是指从(1,0)出发后，在某时刻第一次触及直线y=x的路径。
设一条坏路径第一次触及y=x的时刻为T。将T之后的路径关于直线y=x作反射，则终点(m,n)变为(n,m)。由于m>n，从(1,0)到(n,m)的路径必然穿过直线y=x，因此这种反射建立了坏路径与从(1,0)到(n,m)的路径之间的一一对应。
从(1,0)到(n,m)的路径数为C(m+n-1,m)。
因为从(1,0)到(n,m)需要走n-1个A步和m个B步，共m+n-1步。
于是好路径数为C(m+n-1,m-1)-C(m+n-1,m)。
所有可能的唱票顺序总数为C(m+n,m)。
所以P(E)=[C(m+n-1,m-1)-C(m+n-1,m)]/C(m+n,m)。
利用恒等式
C(m+n-1,m-1)/C(m+n,m)=m/(m+n)，
C(m+n-1,m)/C(m+n,m)=n/(m+n)，
得P(E)=m/(m+n)-n/(m+n)=(m-n)/(m+n)。
(3)由(2)已证得P(E)=(m-n)/(m+n)。
令r=m/n>1，则P(E)=(r-1)/(r+1)。
构造函数f(r)=(r-1)/(r+1)=1-2/(r+1)。
因为f'(r)=2/(r+1)²>0，所以f(r)在(1,+∞)上单调递增。
由题设1<α≤m/n=r≤β，根据f(r)的单调性，得f(α)≤f(r)≤f(β)。
即(α-1)/(α+1)≤P(E)≤(β-1)/(β+1)。
直观意义：最终得票比m/n越大，A在唱票全过程中始终严格领先的概率越高。该不等式说明，若最终得票比介于α与β之间，则全程领先概率也介于相应的两个值之间。
重新做了一下本题：
点评：本试题和解答基本正确，但存在比较多不足。
1.试题不够严谨，没有说明“每种公布顺序等可能”这一概率前提；
2.事件E中“每一时刻已公布的票数”未排除初始时刻：初始时A、B票数均为0，不满足“A严格多于B”，应明确为“在每次公布一张票后的时刻”；
3.第(3)问引入常数α,β较为突然，未说明其直观意义，可以补充得票比例的上下界；
4.解答过程也有不严谨的地方，例如第2问没分类讨论。整道题难度不大，运算量不大，适合作为平时练习。
