湖南省吴波小学数学名师工作室2026年·第9期 - 拷贝 - 拷贝

     《田忌赛马》是人教版四年级上册“数学广角——优化”单元的例3，旨在让学生经历“列举策略—对比分析—找到最优”的过程，初步体会对策论思想。在我的教学设计中，核心环节是让学生以“军师”身份小组合作，列举田忌三匹马对阵齐王的所有6种出场策略，并判断每种策略的胜负。

　　曾教授在讲座中问了一个问题：“学生列举完6种策略之后，你的课堂还能带给他们什么？” 这个追问让我心头一震。

　　回想我的课堂：学生列出6种策略后，我很快就把表格呈现在黑板上，指着第⑤种策略说——“大家看，六种策略中田忌能赢的只有这一种，就是故事里孙膑出的那个主意。”然后追问“为什么只有这一种能赢”，引导学生总结出“以弱换强、扬长避短”的策略本质。

　　表面上看，探究过程完整、结论清晰。但曾教授的话让我反思：学生真的经历了“发现”的过程吗？还是只是在我的引导下“验证”了一个已知的答案？

　　问题出在哪里？出在学生从一开始就知道“田忌赢了”——故事是熟悉的，结局是已知的。当他们拿着探究记录单去“列举策略”时，心里其实已经有了答案：找孙膑那一招就行了。所谓的“六种策略只有一种能赢”，对他们来说不是“发现”，而是“确认”。

　　曾教授在讲座中反复强调：真正的探究学习，应该让学生经历从“不知道”到“知道”的认知跨越，而不是从“知道”到“确认”的简单重复。对照这一标准，我的设计显然出了问题——学生看似在探究，实则是在“走过场”。

       结构化的力量

把“这一种”放进“这一类”

     那么，怎样让这个“已知结局”的故事重新变得有探究价值？

　　曾教授提到了一个重要的教学思路：不要孤立地教一个知识点，要把它放在更大的结构中去理解。受此启发，我对《田忌赛马》的教学逻辑做了重新梳理。

　　过去我只关注“找到唯一能赢的策略”这一个结论，而忽略了更重要的问题：“6种策略为什么只有1种能赢”背后的数学结构是什么？

　　齐王的出场顺序固定为“上→中→下”，田忌有6种排列方式。这6种策略的胜负结果分布是：1胜5负。这个分布本身就是一个值得探究的数学问题——为什么不是3胜3负？为什么不是2胜4负？

　　如果从“对阵关系”的角度重新审视：

　　田忌的“上等马”无论对阵齐王的哪一匹马，最多只能赢“下等马”（因为齐王的上等马比田忌的上等马强）

　　田忌的“中等马”只能赢齐王的“下等马”

　　田忌的“下等马”谁都对不赢

　　把这三条信息综合起来，学生就会发现：三匹马中，只有中等马能稳定赢一场（对齐王下等马），上等马只能赢一场（也对齐王下等马），但下等马一场都赢不了。 要想赢两场，必须让上等马和中等马分别去对齐王的中等马和下等马——而这要求下等马必须“牺牲”掉，去消耗齐王的上等马。

　　这样一来，“下等马对上等马”就不再是一个需要记住的“妙招”，而是逻辑推导的必然结论。学生不是“找到”了这个策略，而是“推出”了这个策略。

　　这种结构化视角的改变，让课堂重心从“记忆结论”转向了“理解逻辑”。

    重构与对话

曾教授线上指导

     带着北大研修的收获回到湖南，我做的第一件事就是重新设计《田忌赛马》的教学方案。我试着把自己放在“不知道答案”的学生位置，重新审视每一个教学环节——哪些环节真正促进了思考？哪些环节只是在“走流程”？经过反复修改，我把重构后的教学设计发给了曾教授，希望得到他的进一步指导。

　　令我感动又意外的是，曾教授特意抽出假期时间，通过线上会议花了整整40分钟给我逐段改稿、逐环节提意见。那40分钟里，他并没有直接告诉我“哪里不对、应该怎么改”，而是一遍遍地追问：

　　“你这里设计小组讨论，目的是什么？学生讨论完之后，他们的思维发生了什么变化？”　　“你说要让学生'经历过程'，那这个环节学生到底在经历什么？是经历操作，还是经历思考？”　　“如果有一个学生直接在课堂上说出了答案，你接下来怎么办？”

　　这些问题没有一个是关于“怎么教”的技术问题，全部指向同一个核心——“学生是怎么想的”。曾教授说：“教学设计不是写给自己看的执行方案，而是对学生思维路径的预判和规划。你每个环节都要能回答一个问题——学生走到这一步，他的脑子里正在发生什么？”

　　这40分钟的指导让我明白了一个道理：好的教学设计不是“把流程写顺”，而是“把思维想透”。 流程再流畅，如果学生的思维是停滞的，课堂就只是“走过场”；流程看似曲折，如果每一段都在推动学生的认知向前走，那就是好的设计。

　　曾教授还特别提醒我，在“实力差距太大→策略无效”的极端对比环节，要给学生充分的讨论时间，“不要急着帮学生总结，让他们自己说出来，因为'说出来'本身就是思维外化和深化的过程。” 这句话我铭记在心。

“必输”的边界

  策略不是万能的

     在曾教授指导下，我对教学设计的“开源应用”环节做了关键调整。原设计中，我让学生思考：“如果齐王最弱的马都比田忌最强的马还要厉害，田忌还能赢吗？” 学生的回答是“不能”，我便顺势总结：实力差距太大时，策略就失去了作用。

　　曾教授在指导时指出：“这个极端对比很好，但要注意——它不是在否定策略的价值，而是在划定策略的边界。数学教育要让学生同时理解'策略有用'和'策略有限'，这才是完整的认知。”

　　这番话让我对这一环节做了重要调整。现在我的课堂在这一环节不再急于得出结论，而是让学生充分讨论“为什么不能赢”，再追问“那反过来，如果双方实力差不多呢？”让学生在对比中自己建构出“策略有效的前提条件”这一核心认知。

　　如果学生只学了“策略可以以弱胜强”，却没有理解“策略有效的前提是实力不能相差太大”，那他们对“对策论”的理解就是不完整的。数学不是教人盲目相信“办法总比困难多”，而是教人理性判断“什么情况下办法有用、什么情况下办法没用”。

从“讲策略”到“懂策略”

     循源数学的理念

     北大研修期间，有一句话让我记忆深刻：“名师名校长的专业成长，不能停留在'再学一些知识'，而是要重新理解自己的经验、澄清实践背后的教育逻辑”。

　　回顾《田忌赛马》这一课，我最大的收获不是学会了一个新的教学方法，而是重新理解了“教策略”和“教思维”的区别。

　　过去我的课堂，是在“讲策略”——告诉学生田忌用了什么策略、为什么这个策略能赢、生活中哪里可以用到这个策略。学生学完之后，能复述“以弱换强、扬长避短”这几个关键词，但未必真正理解为什么只有这一种策略能赢、什么条件下策略会失效。

　　而曾教授的启示让我重新回到一个更根本的问题：数学教育的源头是什么？ 这也是我近年来一直在思考并实践的“循源数学”理念的核心——回到知识的源头，回到学生的认知源头，回到数学思维的本质源头。

　　所谓“循源数学”，就是每一节课都要追问三个“源”：

　　知识之源：这个数学知识是从什么问题中生长出来的？它要解决什么根本矛盾？

　　思维之源：学生面对这个问题时，真实的第一反应是什么？他们的认知起点在哪里？

　　方法之源：解决这个问题的关键一步是怎么被“发现”的，而不仅仅是被“记住”的？

　　用“循源数学”的视角来审视《田忌赛马》，“以弱换强”这个策略不应是一个被教师“端出来”的结论，而应是学生在面对“实力弱于对方、必须想办法赢”这一真实困境时，自己从穷尽策略中“长出来”的必然选择。也只有这样，学生学到的才不是“孙膑的方法”，而是“自己的方法”。

　　循源数学还提醒我另一个重要维度：数学是教人“理性决策”的学科。 曾教授在讲座中提到，对策论本质上是一门关于“在不确定条件下如何做最优决策”的学问。四年级学生当然不用学对策论的数学模型，但“穷尽所有可能性→比较不同选择→找到最优方案→理解方案的适用条件”这一思维链条，是他们能够也应当经历的。这正是“循源数学”追求的——让每一节课都回到数学思维最本真的样态，让学生像数学家最初发现这个知识时那样去思考。

写在后面

     北大研习平台倡导“从'培训'到'陪伴'”的成长理念，强调导师与学员之间“长期而深入、平等而开放的对话关系”。虽然与曾教授仅有短短一周的课堂相遇，但他那些看似平淡却直击要害的追问，以及假期里那40分钟逐字逐句的线上指导，让我真正体会到了什么是“陪伴式成长”——不是告诉你答案，而是陪着你去追问、去反思、去重构，直到你自己“看见”那个答案。

　　《田忌赛马》我还会继续教，但不会再那样教了。我会让学生真正经历一次“不知道答案”的探究——不是从“故事结局”出发去验证，而是从“对阵规则”出发去推理。我会让他们理解：6种策略中只有1种能赢，这不是一个需要记住的结论，而是一个可以推导出来的必然。

　　这大概就是曾教授所说的——“帮助教师重新理解自己的经验，澄清实践背后的教育逻辑”。课还是那节课，但教法背后的理解变了。而这一切，源于北大燕园那个夏天的一场讲座，源于循源数学让我不断回归的教育初心，更源于曾教授在假期屏幕那头，一句一句帮我“磨”出思维深度的40分钟。