初中数学 | ＂垂直＂不是随便画的——垂线、垂线段和距离

教材定位：人教版七年级下册 · 第五章 相交线与平行线 · 5.1.2 垂线

一、垂直的定义：相交成直角

两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，就说这两条直线互相垂直。

• 记作：AB ⊥ CD，读作"AB 垂直于 CD"；
• 交点叫垂足，通常记作 O，画上直角符号"┐"；
• 推理：有一个角是直角，四个角就全是直角（对顶角相等 + 邻补角互补）。

垂直不一定是"横竖"——斜着相交，只要成 90°，就是垂直。

二、垂线的画法：过点画垂线

过直线上一点画垂线：

三角板一条直角边对齐已知直线，直角顶点对准这个点，沿另一条直角边画直线，标直角符号。

过直线外一点画垂线：

同样的方法，先把三角板平移过去，让直角边过这个点，再沿另一条边画。

画完别忘了：标直角符号"┐"——这是"垂直"的身份证。

一句话理解：垂直就是相交成 90°，画垂线必须过已知点。

三、性质一：过一点有且只有一条垂线

过一点（在直线上或直线外），有且只有一条直线与已知直线垂直。

"有且只有"两层意思：

• 有：一定能画出来（存在）；
• 只有：画不出第二条（唯一）。

这条性质是"画垂线只画一条"的理论依据。

四、垂线段最短 + 点到直线的距离

垂线段：从直线外一点向这条直线作垂线，点和垂足之间的线段叫垂线段。

• 垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
• 点到直线的距离 = 垂线段的长度——这是一个"长度"，不是一条线段。

例：从点 A 向直线 l 作垂线，垂足为 P，则 AP 是 A 到 l 上所有点中最短的；AP 的长度就是点 A 到直线 l 的距离。

在所有连线里，垂线段永远最短——这是"点到线上各点"问题里的铁律。

五、三个必踩的坑，一个都不能踩

坑一：垂直只认"横竖"

两条斜线相交成 90°，说它们不垂直 ✗

正确：只要相交成直角就是垂直，斜的也可以垂直。

坑二：距离说成"点到点的距离"

点 A 到直线 l 的距离，写成"A 到 l 上某点 B 的距离" ✗

正确：点到直线的距离必须是从这点到直线的垂线段的长度。

坑三：垂线画得"过点但不垂直"

过点画了线，但没成 90°，说画好了 ✗

正确：垂线必须过已知点，且与已知直线成直角，两个条件缺一不可。

六、例题实战：一步一步来

例1：∠AOC = 90°，AB 与 CD 互相垂直吗？

看定义：两条直线相交，有一个角是直角，就互相垂直。

解：垂直，AB ⊥ CD，O 是垂足。

例2：点 A 到直线 l 的距离是 5 cm，这句话说明什么？

翻译：距离 = 垂线段的长度。

解：A 到 l 的垂线段长为 5 cm，即垂足 P 满足 AP ⊥ l 且 AP = 5 cm。

例3：在直线 l 上找一点 P，使点 A 到 P 的距离最短

用性质：垂线段最短。

解：过 A 作 l 的垂线，垂足就是 P——此时 AP 最短。

例4：两条直线相交，∠1 = 90°，其余三个角各是多少？

垂直定义：有一个角是直角，四个角都是直角。

解：∠2 = ∠3 = ∠4 = 90°。

七、易错陷阱总盘点

八、练一练

① 判断：两条直线相交，有一个角是 90°，其余三个角也都是 90°。（对 / 错）② 过直线外一点画已知直线的垂线，能画几条？③ 点 P 到直线 l 的距离是 3 cm，P 到 l 上一点 Q 的距离可能是 2 cm 吗？④ 画图：过三角形 ABC 的顶点 A，作 BC 边上的垂线，垂足记作 D⑤ 垂线段和点到直线的距离，有什么区别？

答案放评论区，做完来对。两条直线相交，除了垂直，还有第三种"配料"——一条直线被另一条截出的角，各有各的名字。下篇：同位角、内错角、同旁内角，三线八角的"身份牌"一次认全。

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我们下期见。