每日一题第2847题(2026年全国高中数学联赛江西预赛填空7)

思路简析‍‍‍

今天的题目是今年的高联江西预赛的填空题的第7题，难度中等。

题干中给出了一个分式，要使这个分式最终的值为整数，分式是一个二次除以一次的形式，那么先分离常数，分完之后得到3m+23+49/(m-1)，所以这里肯定先考虑m为整数的时候，只需要m-1能整除49就行，那就只能取±1，±7和±49。

当m不是整数，又是有理数的时候，肯定要设为p/q的形式，其中p,q为整数且互质，然后代入化简得到23+3p/q+49q/(p-q)，这里要注意在通分的时候不要直接通分，直接通分后分母会有p^2,pq,q^2，没法分解，所以要对最后的49q/(p-q)先分离常数把分子变成49p，这样和前面的分式就可以提公因式，这样在分析整除性的时候就很简单一些。

通分之后因为p,q互质，所以q一定是3p+46q的因子，那么q就一定是3p的因子，也就一定是3的因子，又不能是1，所以只能是3，确定了p的值之后，代入回去重新分离整理一下，就得到了49p/(p-3)，那么就只能是p-3是49的因子了，这样p的取值也就出来了。