第二章 习题（2）

我们继续。

分析：这道题目看起来很复杂，但是其实就是在考察怎么去证明三线共点。

由于这里面所有的元素都是对称的，所以我们就要考虑对称的证明方法：在这一章节里是 蒙日定理，当然还有在下一章出现的 塞瓦定理。事实上这两种都可以，只是想法不同。

• 先看 蒙日定理 的思路：
  也就是说我们要找三个圆，使得它们的根轴正好是直线 ， 和 。

  这个直接找肯定是比较困难的，但是我们要思考一下，首先这三个圆肯定不会是很难找的 （我们要有十足的信心 hhh），其次垂直平分线有可能在暗示圆或者圆心，而那个垂直条件结合我们要找的根轴，容易联想到可能是在暗示 “垂直于连心线的公共弦” 这样的想法。这样就容易找到三个圆了。

• 再看 塞瓦定理 的思路：
  （提前剧透一下） 一般有角元和边元两种形式，这里显然 “去导角的正弦比例” 这件事会比 “去导边的比例” 更轻松。最后我们只需要通过很多垂足带来的共圆进行角度的转化即可。

证明：

【法一】：

考虑如图的三个分别以 ，， 为圆心的圆，则 ， 和  三条直线都过圆两两之间的一个交点，还垂直于连心线，因此是这三个圆两两之间的根轴，那么由 蒙日定理，这三线共点。

【法二】：

显然有图中所示的两组共圆，那么

同理其他。

所以由 塞瓦定理：

所以由 塞瓦逆定理，他们三线共点。

证明：记如图两个交点为 ，。

我们显然有

所以

而

所以

从而

所以得到

因此

所以我们有

因而由 蒙日定理，考虑三个圆 ，，，他们三者两两的根轴共线。

此即 ，， 三线共点。

注 1：这题最核心的构型就是 “平行” 和 “共圆” 的互相转化。在这道题中，其实我们顺便也证明了 Reim 定理，它就是描述共圆和平行关系的一个定理，如果读者感兴趣可以自行查阅。

这种 “Reim 构型” 其实在竞赛题目中非常常见，请大家牢记！

注 2：这题非常非常容易伪证！基本上如果你觉得这题做起来很容易，或者是大体思路和我完全不一样，那么有很大概率是伪证了，这是因为在证明的时候，如果不小心，很有可能在证明过程中默认了这三线共点！

举个例子，如果设最后那个交点为 ，如果你是通过证明  和  来说明  的话，那么就是伪证了，这是因为  只能是两个直线的交点，但上述证明过程默认了这是三个直线的交点。

因此请大家一定要注意做这种题目的时候，一定要搞清楚自己是怎么样刻画这个交点的，切忌落入循环论证的陷阱！

证明：注意到

所以

而且  就是这个圆的圆心！

从而  就应该是  的中点。

所以这样就易得

分析：这道题目里面一定要迅速识别一个基本构型，也就是书上的 引理 2.11，也就是把  延长出去应该和  交在它的中点上。

有了这个之后，就可以利用平行把这个相等的关系转化走了，最后只需证明 。

而最后，这一点只需要简单通过相等证明即可！

证明：延长  与  交于 ，那么

所以

而由于 ，所以

而我们注意到

同理

所以

因此  垂直平分 ，从而也有

再结合 ，就可以得到 。

证明：我们显然有

所以点  到  和  的距离相等。

而我们同理也有点  还落在另外三个角的角平分线上，因此  到四边形  的四条边的距离相等。

也就是说，存在一个圆同时与这四条边相切，此即四边形  拥有内切圆，是一个 “圆外切四边形”。

那么运用 Pitot 定理（ 习题 2.25 ）可得，它的对边之和相等，即 。