武汉高中数学最值钱的5个思维模型,老师上课从不讲!

我是范老师，常年做高中数学教学。

这两天开学，我整理新高一、高二学生的学习情况，又想到一个挺现实的问题。

高中数学里，有些孩子公式背得不少，题也刷了不少，一换条件还是不会。还有一批孩子，题量未必特别大，但看到一道陌生题，很快就知道该往哪个方向试。

我根据这么多年的教学来看，差别往往就在几个思维模型上。

这些东西课堂上其实一直在用，只不过老师赶进度、讲例题时，很少专门停下来告诉学生：你刚才用的，其实是一套可以迁移到几十道题里的思考方式。

认知心理学里有一个很重要的观点，人解决新问题时，会调用脑子里已有的结构。高中数学学到最后，真正值钱的，就是这些结构。

第一种，先分类，再动笔

高中数学里一出现参数，我第一反应通常不是算，而是问一句：这个参数变化以后，题目会不会变样？

比如二次函数f(x)=x²-2ax+1，在区间[0，2]上求最小值。

有些学生马上求导、配方，算到后面越来越乱。其实先看顶点横坐标x=a。a≤0，最小值在左端点；0<a<2，最小值在顶点；a≥2，最小值跑到右端点。

一道题瞬间变成三种情况。

所以我经常跟学生讲，分类讨论不是最后实在没办法了才分类，而是看到参数、绝对值、根的个数、奇偶性这些字眼，就应该主动判断有没有分类的必要。

第二种，式子算不动，就画出来

数形结合这个词，学生从初中就会背，真正到了高中，却经常只是嘴上会。

比如一道题问方程有几个解。纯粹在代数式里移项、平方、化简，有时能算半页。换个角度，把等号两边分别看成两个函数，问题就变成两条图像有几个交点。

函数零点、方程根的个数、参数范围、不等式，包括很多导数综合题，本质上都可以这么看。

我判断一个学生函数学得好不好，有时候就看一点：他算不下去的时候，会不会主动画图。

会画图的人，脑子里多了一个观察问题的角度。

第三种，把不会的东西变成熟悉的

这个能力，我认为到了高二以后特别重要。

例如数列里出现：aₙ₊₁=2aₙ+1 有些孩子盯着这个递推式一直推，a₂、a₃、a₄全算出来，还是不知道通项怎么求。

但如果发现那个+1很碍事，就可以尝试给数列重新组合。令bₙ=aₙ+1，那么：bₙ₊₁=2bₙ  一下就变成熟悉的等比数列。

这就是高中数学里很重要的化归。

三角函数把复杂角变成熟悉角，立体几何把空间问题转成向量，解析几何把图形关系变成坐标计算，背后都是一件事：我现在不会做，能不能先把它变成我会做的东西。

第四种，方程和函数要来回切

我带学生时，经常发现一个问题。

学函数的时候只想着函数，学方程的时候只想着解方程，这两个知识在脑子里是分开的。

实际上，高中数学大量难题都在二者之间来回切换。

方程f(x)=0有几个实根，可以看函数y=f(x)和x轴有几个交点；方程f(x)=g(x)，可以研究函数h(x)=f(x)-g(x)的零点。

所以碰到根的个数、零点、交点、参数取值，我都会让学生多问一句：这个代数问题，能不能翻译成函数问题？

一旦能翻译，单调性、最值、图像、导数这些工具全都能接进来。

第五种，先找边界，再研究中间

参数题最容易把学生算崩。

其实很多参数问题，我首先看的不是中间情况，而是边界。

比如题目出现恒成立、存在某个x成立、至少有两个解，真正决定参数范围的，往往就是那个刚刚成立、刚刚相切、刚刚取得最值的位置。

这也是我讲参数题时特别强调的一件事：不要一上来就在所有可能里乱算，先找临界状态。

临界点一找到，范围往往就有方向了。

这套思路在函数、导数、不等式、圆锥曲线里都非常常见，高考综合题尤其喜欢这么考。

真正的差距，是看到题以后先想什么

各位，高中数学到了后面，公式数量其实是有限的，真正让学生拉开差距的，是同样看到一道题，有人脑子里只有一句我做没做过，有人已经开始判断：

要不要分类？

能不能画图？

能不能换一个量？

能不能转成函数？

边界在哪里？

这五句话，我觉得比单纯记住五十道题更值钱。

所以我带学生，题目讲完以后很少停在答案上。我会继续追一句，这道题你到底用了哪一种思维？换个条件以后，这套办法还在不在？

学生能够回答这个问题，才说明这一道题没有白做。

我是范老师，孩子数学差，想抓一抓，点这里，与你同行~

高中数学真正开始往上走以后，拼的越来越不是谁记得多，而是谁能把见过的题，慢慢整理成自己脑子里的方法。

题可以千变万化，但思考问题的路，其实就那么几条。

把这些路走熟了，孩子遇到陌生题的时候，手里才真正有东西。