文档内容
计算-公式类计算-完全平方公式-0 星
题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
完全平方公式 B 1.熟悉完全平方公式 少考
2.能够运用完全平方公式进行计
算。
知识提要
完全平方公式
完全平方公式
(a+b) 2=a2+2ab+b2
(a-b) 2=a2-2ab+b2
精选例题
完全平方公式
1. 填空：
⑴ a2+b2=(a+b) 2- ；
⑵ a2+b2=(a-b) 2+ ；
1
⑶ a2+b2= [ + ]；
2
⑷ (a-b) 2=(a+b) 2- ；
⑸ ab= = = ．
【答案】 见解析．
【分析】 ⑴ 2ab；
⑵ 2ab；
1
⑶
a2+b2= [(a+b) 2+(a-b) 2]
；
2⑷ 4ab；
1 1 1
⑸ [(a+b) 2-a2-b2]， [a2+b2-(a-b) 2]， [(a+b) 2-(a-b) 2]．
2 2 4
2. 设 a，b 为有理数，且 a+b=20，设 a2+b2 的最小值为 m，ab 的最大值为 n，则
m+n= ．
【答案】 300
(a+b) 2+(a-b) 2 1
【分析】 a2+b2= = [202+(a-b) 2]，
2 2
(a+b) 2-(a-b) 2 1
因为 (a-b) 2 ⩾0，所以 a2+b2 最小值 m=200；ab= = [400-(a-b) 2]，
4 4
所以 ab 的最大值 n=100，故 m+n=300．
3. 已知 a+b=3，a2b+ab2=-30，则 a2-ab+b2+11= ．
【答案】 50
【分析】 a2b+ab2=ab(a+b)=3ab=-30，所以 ab=-10，
a2-ab+b2+11=(a+b) 2-3ab+11=50．
4. 如图所示的几何图形可以表示的公式是 ．
【答案】 (a+b) 2=a2+2ab+b2
【分析】 如图，整个大正方形的面积为 (a+b) 2，而四个小图形的面积之和为
a2+2ab+b2，因此验证的公式为：(a+b) 2=a2+2ab+b2．
5. 若 (x+2) 2+(x-3) 2=13，则 (x+2)(3-x)= ．
【答案】 6【分析】
(x+2) 2+(x-3) 2 =(x+2) 2+(3-x) 2
¿ =25-2(x+2)(3-x)
¿ ¿
所以 2(x+2)(3-x)=12，(x+2)(3-x)=6．
6. 如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出
一个关于 a、b 的恒等式 ．
【答案】 见解析．
【分析】 (a-b) 2=(a+b) 2-4ab 或 4ab=(a+b) 2-(a-b) 2．
7. 37×37+2×63×37+63×63= ．
【答案】 10000
【分析】 原式=(37+63) 2=1002=10000．
8. 计算：
（1）(31415926) 2-31415925×31415927= ；
（2）12342+87662+2468×8766= ．
【答案】 （1）1；（2）100000000
【分析】 （1）观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，设
a=31415926，
原式 =a2-(a-1)(a+1)
¿ =1;
（2）原式 =12342+87662+2×1234×8766
¿
=100002
¿ ¿
9. ⑴ (31415926) 2-31415925×31415927= ；
⑵ 12342+87662+2468×8766= ．
【答案】 ⑴ 1；⑵ 100000000
【分析】 ⑴观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，
设 a=31415926，
原式=a2-(a-1)(a+1)=a2-(a2-1)=1;
⑵
原式 =12342+87662+2×1234×8766
¿
=100002
¿ ¿
20102
10. 计算： =
2009×2011+1
【答案】 1
【分析】 设 a=2009，
(a+1) 2 a2+2a+1
原式= = =1
a(a+2)+1 a2+2a+1
11. 计算：314×31.4+628×68.6+68.6×686= ．
【答案】 100000
【分析】
原式 =10×(31.42+2×31.4×68.6+68.62 )
¿
=10×1002
¿ ¿
本题利用到完全平方和公式 a2+2ab+b2=(a+b) 2．
12. 计算 (2014×2014+2012)-2013×2013= ．
【答案】 6039
【分析】 方法一：找规律 32+1-22=6、42+2-32=9、52+3-42=12、
62+4-52=15⋯ 规律找到了，
(n+1) 2+(n-1)-n2=3n,2014×2014+2012-2013×2013=3×2013=6039.
方法二：
原式 =(2013+1)×(2013+1)+2013-1-2013×2013
¿ =6039.
方法三：
原式 =2014×(2013+1)+2012-2013×2013
¿ =6039.
( 1) 2 ( 1) 2
13. 计算：⑴ (4m+n) 2；⑵ x- ；⑶ (3x-2y) 2；⑷ -4 y- ．
2 4
【答案】 见解析．
【分析】 ⑴ (4m+n) 2=(4m) 2+2×4mn+n2=16m2+8mn+n2；
1 1 1 1
⑵ (x- ) 2=x2-2x +( ) 2=x2-x+ ；
2 2 2 4
⑶ (3x-2y) 2=(3x) 2-2×3x×2y+(2y) 2=9x2-12xy+4 y2；
⑷
( 1) 2 [ ( 1)] 2
-4 y- = - 4 y+
4 4
¿ =(4 y) 2+2×4 y×
1
+
(1) 2
4 4
¿ ¿
14. 请设计一个几何图形，验证 (a-b) 2=a2-2ab+b2．
【答案】 见解析．【分析】 如图整个大正方形的面积为 a2，两个小正方形的面积分别为 (a-b) 2、b2，
另外两个长方形的面积均为 b(a-b)，故 (a-b) 2=a2-b2-2(a-b)b=a2-2ab+b2，这就
是差的完全平方公式的几何意义．
15. 已知 a+b=3，ab=12，求下列各式的值：
⑴ a2+b2；⑵ a2-ab+b2；⑶ (a-b) 2
【答案】 ⑴ 33；⑵ 45；⑶ 57
【分析】 ⑴
a2+b2 =a2+2ab+b2-2ab
¿
=32-2×(-12)
¿ ¿
⑵
a2-ab+b2 =a2+2ab+b2-3ab
¿ =45;
⑶
(a-b) 2 =a2-2ab+b2
¿ =(a+b) 2-4ab
¿ ¿
16. 计算：⑴ (-8a+11b) 2；⑵ (-2x-3 y) 2．
【答案】 见解析．
【分析】 ⑴ 原式=(11b-8a) 2=121b2-176ab+64a2；
⑵ 原式=(2x+3 y) 2=4x2+12xy+9 y2．
a2+b2
17. 已知 a(a-1)-(a2-b)=-5，求 -ab 的值．
2
25
【答案】
2
a2+b2 (a-b) 2 25
【分析】 由条件得 a-b=5， -ab= = ．
2 2 2
18. 计算：⑴ (3a2b+0.5ab2 ) 2；⑵ (11am-13bn ) 2；⑶ (2x-5)(5-2x)-(2x-5) 2．
【答案】 见解析．【分析】 ⑴ (3a2b+0.5ab2 ) 2=9a4b2+3a3b3+0.25a2b4；
⑵ (11am-13bn ) 2=121a2m-286amnn+169b2n；
⑶
(2x-5)(5-2x)-(2x-5) 2
-(2x-5) 2-(2x-5) 2 ¿=¿-2(2x-5) 2 ¿=¿-8x2+40x-50.¿
¿
19. 计算：
⑴ (x+2) 2 (x-2) 2；
⑵ (x+5 y-9)(x-5 y+9)；
⑶ (a+b+c)(a-b-c)；
1
⑷先化简，再求值：(3x+2)(3x-2)-5x(x-1)-(2x-1) 2，其中 x=- ．
3
【答案】 ⑴ x4-8x2+16；
⑵ x2-25y2+90y-81；
⑶ a2-b2-c2-2bc；
⑷ -8．
【分析】 ⑴
(x+2) 2 (x-2) 2 =[(x+2)(x-2)] 2
¿
=x4-8x2+16;
⑵
(x+5 y-9)(x-5 y+9) =x2-(5 y-9) 2
¿ =x2-25 y2+90 y-81;
⑶
原式 =[a+(b+c)][a-(b+c)]
¿
=a2-b2-c2-2bc;
⑷
(3x+2)(3x-2)-5x(x-1)-(2x-1) 2
9x2-4-5x2+5x-(4x2-4x+1)¿=¿9x-5,¿
¿
1 ( 1)
又 x=- ，故 原式=9x-5=9× - -5=-8．
3 3
20. 计算：⑴ (a+b+c) 2；⑵ (a-b-c) 2；⑶ (a-2b+3c) 2．
【答案】 见解析．
【分析】 ⑴ 原式=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
⑵ 原式=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc；⑶ 原式=a2+2b3+3c2-4ab+6ac-18bc．
21. 已知实数 a、b 满足 (a+b) 2=1，(a-b) 2=25，求 a2+b2+ab 的值．
【答案】 7
(a+b) 2+(a-b) 2 (a+b) 2-(a-b) 2
【分析】 a2+b2= =13，ab= =-6，
2 4
a2+b2+ab=7．
22. 计算：
（1）(-2x+3 y) 2；
（2）(a-2b)(2b-a)；
（3）(a2+ab+b2 )(a2-ab+b2 )；
（4）(2x- y+2)(y-2x+2)．
【答案】 （1）4x2-12xy+9 y2；
（2）-a2+4ab-4b2；
（3）a4+a2b2+b4；
（4）4-4x2+4xy- y2
【分析】 （1）原式=(2x-3 y) 2=4x2-12xy+9 y2；
（2）
原式 =-(a-2b) 2
¿
=-a2+4ab-4b2;
（3）
原式 =[(a2+b2 )+ab][(a2+b2 )-ab]
¿ ¿
（4）
原式 =[2+(2x- y)][2-(2x- y)]
¿
=4-4x2+4xy- y2.
23. ⑴先化简后求值：[(x- y) 2+(x+ y)(x- y)]÷2x，其中 x=3，y=1.5．
⑵计算：(2x- y+2)(y-2x+2)．
【答案】 ⑴ 1.5；⑵ 4-4x2+4xy- y2
【分析】 ⑴[(x- y) 2+(x+ y)(x- y)]÷2x (x2-2xy+ y2+x2- y2 )÷2x¿=¿(2x2-2xy)÷2x¿=¿x- y.¿
¿
又 x=3，y=1.5，故原式 =x- y=3-1.5=1.5．
法 2：
[(x- y) 2+(x+ y)(x- y)]÷2x
(x- y)⋅2x÷2x¿=¿x- y¿=¿1.5.¿
¿
⑵
原式 =[2+(2x- y)][2-(2x- y)]
¿
=4-4x2+4xy- y2.
24. 计算：
⑴ (x- y) 2-(x+ y)(x- y)；
( 3 1 )(3 1 )
⑵ 2x- y- z y- z+2x ；
5 3 5 3
⑶ (a2+ab+b2 )(a2-ab+b2 )．
【答案】 ⑴ 2y2-2xy；
4 1 9
⑵ 4x2- xz+ z2- y2 ；
3 9 25
⑶ a4+a2b2+b4
【分析】 ⑴
(x- y) 2-(x+ y)(x- y)
x2-2xy+ y2-(x2- y2 )¿=¿2y2-2xy;¿
¿
⑵
( 2x- 3 5 y- 3 1 z )(3 5 y- 3 1 z+2x ) ( 2x- 1 z ) 2 - (3 y ) 2 ¿=¿4x2- 4 xz+ 1 z2- 9 y2;¿
3 5 3 9 25
¿
⑶
原式 =[(a2+b2 )+ab][(a2+b2 )-ab]
¿ ¿
25.
[ ( 82 112 ) ( 8 11) ] [ ( 8 11) (1 1 ) 2]
+ - + ÷ 1+ + × - .
112 82 11 8 11 8 8 11
【答案】 888
【分析】 方法一：设 x= ，则
11
1 1
x2+ -x-
x2 x
原式 =
( 1) ( 1) 1
1+x+ × x-2+ ×
x x 88
¿ =88.
8 11 82 112 82 112
方法二：设 x= + ，那么 x2= + +2，所以 + =x2-2．
11 8 112 82 112 82
而
(1 1 ) 2 1 1 2
- = + -
8 11 82 112 8×11
1
¿ =(x-2)× .
88
这样原式转化为
x2-x-2 x2-x-2
= ×88=88.
1 x2-x-2
(1+x)(x-2)×
88
