文档内容
计算-公式类计算-平方差公式-1 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
平方差公式 B 1.熟悉平方差公式 少考
2.能够灵活应用平方差公式进行计
算。
知识提要
平方差公式
平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
精选例题
平方差公式
1. 计算：(105×95+103×97)-(107×93+101×99)= ．
【答案】 16
【分析】
原式 =(1002-52+1002-32 )-(1002-72+1002-12 )
¿ =50-25-9
¿ ¿
2. 计算：102-92+82-72+62-52+42-32+22-12 = ．
【答案】 55
【分析】
原式= (10+9)×(10-9)+(8+7)×(8-7)+(6+5)×(6-5)+
10+9+8+7+6+5+4+3+2+1¿=¿55.¿
¿ ¿3. 如图，从边长为 a 的正方形内去掉一个边长为 b 的小正方形，然后将剩余部分拼成一个
长方形，上述操作所能验证的公式是 ．
【答案】 (a+b)(a-b)=a2-b2
【分析】 如图，左图中阴影部分的面积为 a2-b2，右图中阴影部分的面积为
(a+b)(a-b)，而两图中阴影部分的面积应该是相等的，故验证的公式为
(a+b)(a-b)=a2-b2（反过来写也可）．
4. a、b 代表任意数字，若 (a+b)×(a-b)=a×a-b×b，这个公式在数学上称为平方差公
式．根据公式，你来巧算下列各题吧．
（1）98×102 = ．（2）67×73 = ．
（3）64×28 = ．（4）2×29×3×31 = ．
【答案】 （1）9996；（2）4891；（3）1792；（4）5394
【分析】 （1）
98×102 =(100-2)×(100+2)
¿ =10000-4
¿ ¿
（2）
67×73 =(70-3)×(70+3)
¿ =4900-9
¿ ¿
（3）
64×28 =2×32×28
¿ =2×(30×30-2×2)
¿ ¿
（4）
2×29×3×31 =2×3×(30-1)×(30+1)
¿ =5400-6
¿ ¿5. 计算 12-32+52-72+92-112 ⋯-472+492 = ．
【答案】 1249
原式 =492-472+452-432 ⋯+52-32+12
【分析】 ¿ =(3+49)×24+1
¿ ¿
(22+42+62+⋯+1002)-(12+32+52+⋯+992)
6. 计算： = ．
13+23+33+⋯+1003
1
【答案】
5050
【分析】
(100+99)×(100-99)+(98+97)×(98-97)+⋯+(2+1)×(2-1)
原式 =
(1+2+3+⋯+100) 2
1
¿ =
(1+2+3+⋯+100)
¿ ¿
7. 利用平方差公式巧算：
（1）1332-332= ．2692-312= ．
（2）89×91= ．152×148= ．
【答案】 （1）16600；71400；（2）8099；22496
【分析】 （1）1332-332=(133+33)×(133-33)=16600；
2692-312=(269+31)×(269-31)=71400；
（2）89×91=(90+1)×(90-1)=902-12=8099；
154×148=(150+2)×(150-2)=1502-22=22496．
8. 将一个边长为整数的大正方形分成 97 个边长都是整数的小正方形，若其中 96 个小正方
形的边长是 1，则大正方形的边长是 ．
【答案】 25 或 14 或 11 或 10．
【分析】 设大正方形的边长为 a，分成的边长不是1的小正方形的边长为 b，则有
a2=b2+96，那么，(a+b)(a-b)=96，由于 a+b 与 a-b 奇偶性相同，而乘积为偶数，所
以 a+b 与 a-b 均为偶数，且 a+b>a-b，可能的情况包括：{a-b=2 {a-b=4 {a-b=6 {a-b=8
,
a+b=48 a+b=24 a+b=16 a+b=12
分别解得大正方形的边长 a 为 25 或 14 或 11 或 10．
9. 计算：[2007-(8.5×8.5-1.5×1.5)÷10]÷160-0.3= ．
【答案】 12.2
原式 =[2007-(8.5+1.5)×(8.5-1.5)÷10]÷160-0.3
【分析】
¿ =12.2
10. 有一串数 1，4，9，16，25，36，⋯，它们是按一定规律排列的，那么其中第 1990 个
数与第 1991 个数相差 ．
【答案】 3981
【分析】 这串数中第 1990 个数是 19902，而第 1991 个数是 19912，它们相差
19912-19902 =(1991+1990)×(1991-1990)
¿ =3981.
11. 如果 (2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，那么 a+b 的值是 ．
【答案】 ±4
【分析】 因为 (2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，所以 [2(a+b)] 2-12=63，所以
a+b=±4．
12. 计算：11×19+12×18+13×17+14×16= ．
【答案】 870
【分析】 本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式．
原式 =(152-42)+(152-32)+(152-22)+(152-12)
¿ =900-30
¿ ¿
13.
已知：a2-b2=(a+b)(a-b)，
计算：1002-992+982-972+962+⋯+42-32+22-12 = ．【答案】 5050
【分析】
原式= (100+99)×(100-99)+⋯+(4+3)×(4-3)+
100+99+⋯⋯+3+2+1¿=¿5050.¿
¿ ¿
24682008
14. 计算： = ．
123420062-12342005×12342007
【答案】 24682008
24682008
【分析】
原式= =24682008．
123420062-(12342006-1)×(12342006+1)
15. 利用平方差的公式想想，20 的平方是 ，399 能写成哪两个连续奇数的
乘积： ，那 3599 能写成 ．
【答案】 400；19×21；59×61
【分析】 202=400；
399=400-1=202-12=21×19；
3599=3600-1=602-12=59×61．
16. 计算：1234567×1234567-1234566×1234568= ．
【答案】 1
【分析】
原式 =12345672-(1234567-1)×(1234567+1)
¿ =1.
17. 计算：[(55×45-37×43)-(3×221+1)]÷22= ．
【答案】 10
【分析】
原式= [(50+5)(50-5)-(40-3)(40+3)-664]÷22
= [2475-1591-664]÷22
= [2475-2255]÷22
= 220÷22
= 1018. 如图，在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形（a>b），把剩下的部分拼
成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式 ．
【答案】 (a+b)(a-b)=a2-b2
【分析】 左图中阴影部分的面积为 a2-b2，右图中阴影部分的面积为
1
(2b+2a)(a-b)=(a+b)(a-b)，故验证了公式 (a+b)(a-b)=a2-b2（反过来写也可）．
2
19. 计算：4999×5001= ．
【答案】 24999999
原式 =(5000-1)×(5000+1)
【分析】
¿ =24999999
1 1 1 1 1 1
20.
计算：(1- )×(1- )×(1- )×(1- )×⋯×(1- )×(1- )=
22 32 42 52 482 492
．
25
【答案】
49
1 1 1 1 3 1 1 1 2 4
【分析】 1- =(1- )×(1+ )= × ，1- =(1- )×(1+ )= × ，⋯⋯
22 2 2 2 2 32 3 3 3 3
1 3 2 4 48 50 1 50 25
所以，原式= × × × ×⋯× × = × = ．
2 2 3 3 49 49 2 49 49
21. 观察下列各式，你会发现什么规律？
3×5＝15，而 15=42-1，
5×7＝35，而 35＝62-1，⋯
11×13=143，而 143=122-1
将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来 ．
【答案】 (n-1)(n+1)=n2-1
【分析】 观察第一个算式，15=16-1，可知这个算式中的 4=(3+5)÷2
后面每个算式都具有这个规律，所以可以猜想这个算式的规律为：(n-1)(n+1)=n2-1
22. 计算：1×15+2×14+3×13+4×12+5×11+6×10+7×9+8×8= ．
【答案】 372
【分析】
原式 =(8-7)×(8+7)+(8-6)×(8+6)+(8-5)×(8+5)+(8-4)×(8+4)+(8-3)×(8+3)+(8-2)×(8+2)+(8-1)×(8+1)+8×8
¿
=82×8-(12+22+32+42+52+62+72
)
¿ =372
(22+42+62+⋯+1002)-(12+32+52+⋯+992)
23. 计算： = ．
1+2+3+⋯+100
【答案】 1
【分析】
1002-992+982-972+⋯+22-12
原式 =
1+2+3+⋯+100
100+99+98+97+⋯+2+1
¿ =
1+2+3+⋯+100
¿ ¿
24. 计算：123456.62-123456.5×123456.7= ．
【答案】 0.01
原式 =123456.62-(123456.6-0.1)×(123456.6+0.1)
【分析】
¿ =0.01
25. 计算：20×20-19×19+18×18-17×17+⋯+2×2-1×1 = ．
【答案】 210【分析】 利用平方差公式：20×20-19×19=(20+19)×(20-19)=20+19，
18×18-17×17=18+17，⋯，2×2-1×1=2+1．
于是，
原式 =20+19+18+17+⋯+2+1
¿ =210.
26. 计算：1002-992+982-972+⋯+22-12= ．
【答案】 5050
【分析】
原式= (100+99)×(100-99)+(98+97)×(98-97)+⋯+
100+99+98+97+⋯+2+1¿=¿5050.¿
¿ ¿
2008+2007×2009 2009+2008×2010
27. 计算： + = ．
2008×2009-1 2009×2010-1
【答案】 2
【分析】
2008+(2008-1)×(2008+1) 2009+(2009-1)×(2009+1)
原式 = +
2008×(2008+1)-1 2009×(2009+1)-1
¿ =2
28. 计算：2009×2009-2008×2008= ．
【答案】 4017
【分析】 方法一：
原式 =2009×(2008+1)-(2009-1)×2008
¿ =2009+2008
¿ ¿
方法二：
原式 =20092-20082
¿ =4017×1
¿ ¿
1 1
29. 算式 (63- )÷(1- ) 的计算结果是 ．
63 63
【答案】 64
【分析】原式= (632-1)÷(63-1)
= (63-1)×(63+1)÷(63-1)
= 64
30. 计算：(205×195+202×198)-(207×193+203×197)= ．
【答案】 29
【分析】
原式 =(2002-52+2002-22 )-(2002-72+2002-32 )
¿ =49+9-25-4
¿ ¿
31. 计算：(12+32+52+⋯+992+1012)-(22+42+62+⋯+1002)= ．
【答案】 5151
【分析】
原式 =12+32-22+52-42+⋯+1012-1002
¿ =5151
32. 计算：3.1415×252-3.1415×152= ．
【答案】 1256.6
原式 =3.1415×(25+15)×(25-15)
【分析】
¿ ¿
33. 算式 67×67-34×34+67+34 的计算结果是 ．
【答案】 3434
【分析】
原式= (67+34)×(67-34)+101
= 101×33+101
= 101×34
= 3434
(22+42+62+⋯+1002 )-(12+32+52+⋯+992
)
34. 计算： = ．
1+2+3+⋯+10+9+⋯+2+1【答案】 50.5
【分析】
22-12+42-32+62-52+⋯+1002-992
原式 =
1+2+3+⋯+10+9+⋯+2+1
¿ =50.5
35. 能不能找到一个自然数，它加上 10，减去 10 之后都是完全平方数？
【答案】 26
【分析】 设加上 10 后的数是 A2，减去 10 后的数是 B2；那么根据平方差公式
A2-B2=(A+B)(A-B)=20.
因为 (A+B) 和 (A-B) 是同奇偶的所以 20 也应该拆成 2 个同奇偶性的数的乘积．因此
{A+B=10 {A=6
(A+B)(A-B)=10×2⇒ ⇒ .
A-B=2 B=4
所以这个数是 36-10=26．
36. 两个完全平方数的差为 51，且这两个完全平方数之间没有其他的完全平方数，求这两个数？
【答案】 676，625
【分析】 设较大的平方数为 B2，较小的平方数为 A2，B2-A2=51，因为两个完全
平方数之间无其他完全平方数，所以 B-A=1，则 51 只能分解为 1×51；
{B+A=51
;
B-A=1
解得
{B=26
.
A=25
这两个数分别为 262=676；252=625．
37. 计算：(2+1)(22+1)(24+1)⋯(232+1)+1．
【答案】 264
【分析】
原式 =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)⋯(232+1)+1
¿ ¿
38. 计算：（1）552-452；（2）632-372．【答案】 （1）1000；（2）2600．
【分析】 （1）原式=(55+45)×(55-45)=100×10=1000；
（2）原式=(63+37)×(63-37)=100×26=2600．
39.
计算：(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)．
364-1
【答案】
2
【分析】 设 S=(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)，两边乘以 (3-1)，
得
(3-1)S =(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
¿ =⋯
¿ ¿
1 364-1
所以 S= (364-1)，即 (3+1)(32+1)⋯(332+1)= ．
2 2
40. 已知 a2-b2=27，a、b 是正整数，求 a、b 的值．
【答案】 14、13 或 6、3．
【分析】
(a+b)(a-b)
1×27¿=¿3×9.¿
¿
{a+b=27
,
a-b=1
所以
a=(27+1)÷2=14,
b=27-14=13.
或者
{a+b=9
,
a-b=3
所以
a=(9+3)÷2=6,
b=9-6=3.41. 求积 A 的个位数字：A=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)．
【答案】 5
【分析】
A =(2-1)(2+1)(22+1)⋯(264+1)
¿
=2128-1.
2n 各位数字的循环 4 个一周期，周期为：2、4、8、6，128÷4=32，所以 2128 个位为 6，
故 2128-1 个位为 5．（另解：5 的奇数倍个位一定是 5）．
42. 一个数减去 100 是一个完全平方数，减去 63 也是一个完全平方数，问这个数是多少？
【答案】 424
【分析】 设这个数减去 63 为 A2，减去 100 为 B2，则
A2-B2=(A+B)(A-B)=100-63=37=37×1,
可知 A+B=37，且 A-B=1，所以 A=19，B=18，这样这个数为 182+100=424．
43. 计算：⑴ (x+3)(x-3)(x2+9)；⑵ (2a+3b)(4a+5b)(2a-3b)(5b-4a)；
【答案】 见解析．
【分析】 ⑴ (x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=x4-81；
⑵
原式 =(4a2-9b2 )(25b2-16a2 )
¿
=-64a4+244a2b2-225b4.
44. 计算：(a-b)(a+b)(a2+b2 )(a4+b4 )．
【答案】 a8-b8
【分析】
原式 =(a2-b2 )(a2+b2 )(a4+b4 )
¿
=a8-b8.
45. 运用平方差公式计算：
1 1
⑴
(x2y- )(x2y+
)；
2 2
⑵ (-4a-1)(-4a+1)；⑶ (am+bn )(am-bn )．
【答案】 见解析．
【分析】 ⑴
( x2y- 1)( x2y+ 1) =(x2y) 2- (1) 2 =x4 y2- 1
；
2 2 2 4
⑵ (-4a-1)(-4a+1)=(-4a) 2-12=16a2-1；
⑶ (am+bn )(am-bn )=(am ) 2-(bn ) 2=a2m-b2n．
46. 一个正整数加上 132 和 231 后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？
【答案】 2269 或 93
【分析】 设该正整数为 a，根据题意得 a+132=m2,a+231=n2 两式相减得
(n+m)(n-m)=99 因为 99=99×1=33×3=11×9 所以 n+m=99,n-m=1 或
n+m=33,n-m=3 或 n+m=11,n-m=9 解得 n=50,m=49 或 n=18,m=15 或
n=10,m=1，但是 n=10,m=1 不符合正整数的条件，因此 a=492-132=2269，或者
152-132=93，所以这个正整数为 2269 或 93．
47. 计算：
（1）(-2x+3 y) 2；
（2）(a-2b)(2b-a)；
（3）(a2+ab+b2 )(a2-ab+b2 )；
（4）(2x- y+2)(y-2x+2)．
【答案】 （1）4x2-12xy+9 y2；
（2）-a2+4ab-4b2；
（3）a4+a2b2+b4；
（4）4-4x2+4xy- y2
【分析】 （1）原式=(2x-3 y) 2=4x2-12xy+9 y2；
（2）
原式 =-(a-2b) 2
¿
=-a2+4ab-4b2;
（3）
原式 =[(a2+b2 )+ab][(a2+b2 )-ab]
¿ ¿
（4）
原式 =[2+(2x- y)][2-(2x- y)]
¿
=4-4x2+4xy- y2.2005×2007 2006×2008 2007×2009
48. 已知 a= ，b= ，c= ，比较三者大小．
2006 2007 2008
【答案】 a19932-19922
即 19972+19922>19962+19932，两个白色正方形的面积大．
62. 利用平方差公式简化计算：
⑴ 59.8×60.2；
⑵ 102×98；
⑶ 123462-12345×12347；
1 14
⑷ 1 × ．
15 15
124
【答案】 ⑴ 3599.96；⑵ 9996；⑶ 1；⑷
125
【分析】 ⑴ 59.8×60.2=(60-0.2)(60+0.2)=602-0.22=3599.96；
⑵ 102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=9996；
⑶ 123462-12345×12347=123462-(12346-1)(12346+1)=123462-(123462-12 )=1;
1 14 ( 1 )( 1 ) 1 124
⑷ 1 × = 1+ 1- =1- = ．
15 15 15 15 125 12563. 能否找到这么一个数，它加上 24，和减去 30 所得的两个数都是完全平方数？
【答案】 不能
【分析】 假设能找到，设这两个完全平方数分别为 A2、B2，那么这两个完全平方数
的差为 54=(A+B)(A-B)，由于 (A+B) 和 (A-B) 的奇偶性质相同，所以
(A+B)(A-B) 不是 4 的倍数，就是奇数，不可能是像 54 这样是偶数但不是 4 的倍数．
所以 54 不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．
64. 计算：
⑴ (x- y) 2-(x+ y)(x- y)；
( 3 1 )(3 1 )
⑵ 2x- y- z y- z+2x ；
5 3 5 3
⑶ (a2+ab+b2 )(a2-ab+b2 )．
【答案】 ⑴ 2y2-2xy；
4 1 9
⑵ 4x2- xz+ z2- y2 ；
3 9 25
⑶ a4+a2b2+b4
【分析】 ⑴
(x- y) 2-(x+ y)(x- y)
x2-2xy+ y2-(x2- y2 )¿=¿2y2-2xy;¿
¿
⑵
( 2x- 3 5 y- 3 1 z )(3 5 y- 3 1 z+2x ) ( 2x- 1 z ) 2 - (3 y ) 2 ¿=¿4x2- 4 xz+ 1 z2- 9 y2;¿
3 5 3 9 25
¿
⑶
原式 =[(a2+b2 )+ab][(a2+b2 )-ab]
¿ ¿
65. 计算：
（1）332-322；692-672；20092-20082；
（2）31×29；19×21；302×298；
【答案】 （1）65；272；4017；（2）899；399；89996
【分析】 （1）
332-322
(33+32)×(33-32)¿=¿65;¿
¿692-672
(69+67)×(69-67)¿=¿272;¿
¿
20092-20082
(2009+2008)×(2009-2008)¿=¿4017;¿
¿
（2）
31×29 (30-1)×(30+1)¿=¿302-12 ¿=¿899;¿
¿
19×21 (20-1)×(20+1)¿=¿202-1¿=¿399.¿
¿
（2）
302×298 (300+2)×(300-2)¿=¿3002-22 ¿=¿89996.¿
¿
66. 计算：112-102+92-82+72-62+52-42+32-22+12．
【答案】 66．
原式 =(11+10)×(11-10)+(9+8)×(9-8)+⋯+(3+2)×(3-2)+1
【分析】 ．
¿ =66
67. 有一个正整数，它加上 100 后是一个完全平方数，加上 168 后也是一个完全平方数．请
问：这个正整数是多少？
【答案】 156
【分析】 设这个正整数为 n，则
n+100=b2,n+168=a2,
两式相减得
a2-b2=68,
而
a2-b2=(a+b)×(a-b),
由于 68=1×68=2×34=4×17, 由此可得
{a+b=34,
a-b=2,
解得
{a=18,
b=16,
所以 n 为 156．68. 计算：
（1）202-192+182-172+162-152+⋯+22-1；
（2）12-22+32-42+52-62+⋯+992-1002+1012．
【答案】 （1）210；（2）5151
【分析】 观察算式发现 202-192 这是平方差公式，可以用 a2-b2=(a+b)(a-b)
公式计算，这样比较简便．
原式 =(202-192 )+(182-172 )+(162-152 )+⋯+(22-1)
¿ =20+19+18+17+⋯+2+1
¿ =21×10
¿ ¿
（2）观察算式发现该题与上一题的区别是 12-22 减不开，仔细观察 1012-1002 所以用上
加法结合律重新组合一下就可以．
原式 =(1012-1002 )+(992-982 )+(972-962 )+⋯+(32-22 )+12
¿ =101+100+99+98+⋯+3+2+1
¿ =51×101
¿ ¿
69. 计算：
（1）332-302;672-652;1212-1202;
（2）99×101;56×44;307×293．
【答案】 （1）189;264;241；（2）9999;2464;89951
【分析】 （1）观察算式发现都属于平方差公式
原式 =(33+30)×(33-30)
¿ =189;
原式 =(67+65)×(67-65)
¿ =264;
原式 =(121+120)×(121-120)
¿ =241;
（2）观察算式发现 99=100-1，101=100+1，56=50+6，44=50-6，307=300+7，
293=300-7，所以可以运用平方差的逆运算．原式 =(100-1)×(100+1)
¿ =10000-1
¿ ¿
原式 =(50-6)×(50+6)
¿ =2500-36
¿ ¿
原式 =(300-7)×(300+7)
¿ =90000-49
¿ ¿
70. 计算：1002-992+982-972+962-952+⋯+22-12．
【答案】 5050．
【分析】 平方差公式，原式=100+99+98+97+⋯+3+2+1=5050．
71. 学而思运动会上，五年级的女生们准备出一个团体操的节目．现在的人数刚好排成一个方
阵（每一行人数和每一列人数相等）．后来又加入了 23 个女生，恰好还可以组成一个方阵．
那么你能算出加入 23 人之前，方阵共有多少人吗？
【答案】 121 人
【分析】 依题意，前后两次的学生总人数都是完全平方数．不妨设前者人数是 B2，
后者人数是 A2. 那么根据平方差式，A2-B2=(A+B)(A-B)=23．因为 (A+B) 和
(A-B) 是同奇偶的，所以 23 也应该拆成 2 个同奇偶性的数的乘积．因此
{A+B=23 {A=12
(A+B)(A-B)=23×1⇒ ⇒
A-B=1 B=11
则加入 23 人之前，方阵有 11×11=121 人．
