文档内容
计算-公式类计算-平方差公式-2 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
多元一次方程（组） B 1.了解什么是多元一次方程（组） 少考
2.会解多元一次方程组
知识提要
多元一次方程（组）
概念
如果方程组中含有 3 个或 3 个以上未知数，并且未知数的次数都是 1，那么这样的方程
组叫做多元一次方程组。
基本解法
消元
精选例题
多元一次方程（组）
1. 甲、乙、丙、丁四人参加了一次考试．甲、乙的成绩和比丙、丁的成绩和高 17 分．甲比
乙低 4 分，丙比丁高 5 分．四人中最高分比最低分高 分．
【答案】 13
【分析】 根据题意可得
(甲+乙)-(丙＋丁)=17,
甲=乙-4,
丙=丁+5,
则整理可得
乙-丁=(17+4+5)÷2=13.2. 有 5 个自然数（允许有相等的），从其中任意选取 4 个数求和，可以而且只能得到 44，
45，46，47，那么，原来的 5 个自然数分别是 ．
【答案】 13，12，11，11，10
【分析】 设这 5 个自然数分别为 a、b、c、d、e，设 m=a+b+c+d+e，从其中
任意选取 4 个数求和分别为 m-a、m-b、m-c、m-d、m-e．
当这 5 个数各不相同时，应该有 5 个不同的和，而题目当中只能得到 4 个不同的和，说明
这 5 个数中有两个是相等的．
假设 a>b>c>d（e 为重复的数），
则
m-a=44
{
m-b=45
m-c=46
m-d=47
m-e=x
（其中 x 的可能取值为 44、45、46、47）
将 5 个式子相加，可得
5m-(a+b+c+d+e)=44+45+46+47+x
即
4m=182+x
解之得，
x=46,m=57
所以 a=13，b=12，c=e=11，d=10．
3. 解方程组 $\left\{\begin{gathered} 2x + y + z = 7 \hfill \\ x + 2y + z = 8 \hfill \\ x + y + 2z = 9
\hfill \\ \end{gathered} \right.$
【答案】 $\left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ y =\dfrac{1}{3} \hfill \\ z = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
【分析】 \[ \left\{ \begin{gathered} 2x + y + z = 7 \cdots ① \hfill\\ x + 2y + z = 8 \cdots ②
\hfill\\ x + y + 2z = 9 \cdots ③ \hfill\\ \end{gathered} \right. \]① - ② 整理得：
y-x=1⋯④,
将 ② 扩大 2 倍与 ③ 相减，整理得
3 y+x=7⋯⑤,
④ - ⑤，得：
(y-x)+(3 y+x)=8,
整理得
4 y=8,y=2
代入方程组可得原方程组的解为：\[ \left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill\\ y = 2 \hfill\\ z = 3 \hfill\\
\end{gathered} \right. \]{
3x-4z=7
4. 解方程组 2x+3 y-z=9 .（x,y,z 为正整数）
5x-9 y-7z=8
{x=5
【答案】 y=7
z=2
【分析】 观察 x,y,z 的系数发现，第二个式子与第三个式子中 y 的系数是 3 倍
关系，所以将第二个式子扩大 3 倍与第三个式子相减得到：
3(2x+3 y-z)+(5x-9 y-7z)=3×9+8,
去括号整理得
11x-10z=35,
与第一个式子整理得
{ 3x-4z=7
,
11x-10z=35
若想消掉 z，，因为 [4,10]=20，所以第一个方程应该扩大 5 倍，第二个式子应该扩大 2
倍，又因为 z 的系数符号相同，所以应该用减消元，计算结果如下：
2(11x-10z)-5(3x-4z)=2×35-5×7,
{x=5
去括号整理得 7x=35，x=5，所以方程解为 y=7.
z=2
5. 五个整数任选四个，求出它们的平均值，然后再求这个数和余下一个数的和，这样可以得
3 3 1 1
到 5 个数 7 、10、10 、12 、15 ，则原来五个整数分别为？
4 4 4 4
【答案】 1、4、5、7、11
【分析】 $\left\{ \begin{gathered}
\dfrac{{a + b +c + d}}{4} + e = 7\dfrac{3}{4} \hfill \\
\dfrac{{a + b +c + e}}{4} + d = 10 \hfill \\
\dfrac{{a + b +d + e}}{4} + c = 10\dfrac{3}{4} \hfill \\
\dfrac{{a + c +d + e}}{4} + b = 12\dfrac{1}{4} \hfill \\
\dfrac{{b + c +d + e}}{4} + a = 15\dfrac{1}{4} \hfill \\
\end{gathered} \right.$ 解得：$\left\{\begin{gathered}
a = 11 \hfill\\
b = 7 \hfill\\
c = 5 \hfill\\
d = 4 \hfill\\
e = 1 \hfill\\
\end{gathered} \right.$
6. 解方程组 $\left\{ \begin{gathered} 3x - 4z = 7 \hfill \\ 2x + 3y - z = 9 \hfill \\ 5x - 9y - 7z = 8 \hfill
\\ \end{gathered} \right.$【答案】 $\left\{ \begin{gathered} x = 5 \hfill \\ y = \dfrac{1}{3} \hfill \\ z = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
【分析】 观察 x,y,z 的系数发现，第二个式子与第三个式子中的 y 的系数是 3
倍关系，所以将第二个式子扩大 3 倍与第三个式子相加得到：
3(2x+3 y-z)+(5x-9 y-7z)=3×9+8,
去括号整理得
11x-10z=35,
与第一个式子整理得：\[ \left\{ \begin{gathered} 3x - 4z = 7\hfill \\ 11x - 10z =35 \hfill \\
\end{gathered} \right. \]把 z 的系数统一，可化为：\[ \left\{ \begin{gathered} 15x - 20z =35 \hfill
\\ 22x - 20z =70 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]两式相减得：7x=35，x=5，代入计算 y,z，可
得原方程组的解为：\[ \left\{ \begin{gathered} x = 5 \hfill\\ y =\dfrac{1}{3} \hfill \\ z = 2 \hfill\\
\end{gathered} \right. \]
7. 有甲、乙、丙、丁 4 个人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为 29，23，
21 和17，这 4 人中最大年龄与最小年龄的差是多少？
【答案】 18 岁
【分析】 设甲、乙、丙、丁 4 个人的年龄分别为 a、b、c、d，那么有：
$\left\{\begin{gathered}
\dfrac{{a + b + c}}{3} + d = 29 \hfill \\
\dfrac{{b + c + d}}{3} + a = 23 \hfill \\
\dfrac{{a + c + d}}{3} + b = 21 \hfill \\
\dfrac{{a + b + d}}{3} + c = 17 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
把四个式子加起来得到：a+b+c+d=45（1）
再将上面方程组里面的每个式子 ×3 后与（1）式相减分别得到：
a=12，b=9，c=3，d=21，所以年龄最大与最小的差值为 21-3=18 岁
答：这 4 人中最大年龄与最小年龄的差是 18 岁．
8. 解方程组 $\left\{\begin{gathered} x - y + z = 1 \hfill \\ y - z + u = 2 \hfill \\ z - u + v = 5 \hfill \\ u
- v + x = 2 \hfill \\ v - x + y = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
【答案】 $\left\{ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ y = 6 \hfill \\ z = 7 \hfill \\ u = 3 \hfill \\ v =
1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
【分析】 将五个式子相加得
x+ y+z+u+v=17,
将第一与第二式子相加得：
x+u=3,
将第二与第三式子相加得：
y+v=7,
同理连续相加得到：
\[ \left\{ \begin{gathered} x + u = 3 \hfill \\ y + v = 7 \hfill \\ z + x = 7 \hfill \\ u + y = 9 \hfill \\ v + z =
8 \hfill \\ \end{gathered} \right., \]整理后解得：\[ \left\{ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ y = 6 \hfill \\
z = 7 \hfill \\ u = 3 \hfill \\ v = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]9. 求出下面不定方程组的正整数解：
$\left\{ \begin{gathered}
x + y + z =100 \qquad & ① \hfill\\
5x + 3y +\dfrac{1}{3}z = 100 \qquad & ② \hfill \\
\end{gathered} \right.$
【答案】 $\left\{\begin{gathered}
x = 4 \hfill\\
y = 18 \hfill\\
z = 78 \hfill\\
\end{gathered} \right.$ 或 $\left\{\begin{gathered}
x = 8 \hfill\\
y = 11 \hfill\\
z = 81 \hfill\\
\end{gathered} \right.$ 或 $\left\{\begin{gathered}
x = 12 \hfill\\
y = 4 \hfill\\
z = 84 \hfill\\
\end{gathered} \right.$
【分析】 不定方程组，先消去一个元．将二式扩大三倍与一式相减：$\left\
{\begin{gathered}
x + y + z &=100 \hfill \\
15x + 9y + z &=300 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow 14x + 8y = 200 \Rightarrow 7x + 4y = 100$
可以用余数性质得到，该方程有三组整数解，$\left\{\begin{gathered}
x = 4 \hfill\\
y = 18 \hfill\\
\end{gathered} \right.$ 或 $\left\{\begin{gathered}
x = 8 \hfill\\
y = 11 \hfill\\
\end{gathered} \right.$ 或 $\left\{\begin{gathered}
x = 12 \hfill\\
y = 4 \hfill\\
\end{gathered} \right.$
带入原方程组得到三组整数解：$\left\{\begin{gathered}
x = 4 \hfill\\
y = 18 \hfill\\
z = 78 \hfill\\
\end{gathered} \right.$ 或 $\left\{\begin{gathered}
x = 8 \hfill\\
y = 11 \hfill\\
z = 81 \hfill\\
\end{gathered} \right.$ 或 $\left\{\begin{gathered}
x = 12 \hfill\\
y = 4 \hfill\\
z = 84 \hfill\\
\end{gathered} \right.$10. 公鸡 1 只值钱 5 元，母鸡一只值钱 3 元，小鸡三只值钱 1 元，今有钱 100 元，买鸡
100 只，问公鸡、母鸡、小鸡各买几只？
【答案】 4、18、78 或 8、11、81 或 12、4、84．
【分析】 设买公鸡、母鸡、小鸡各 x、y、z 只，根据题意，可得方程组
{
x+ y+z=100①
1
5x+3 y+ z=100②
3
由 ②×3-①，得 14x+8 y=200，即：
200-14x 7
y= =25- x.
8 4
因为 x、y 为正整数，所以不难得出 x 应为 4 的倍数，故 x 只能为 4、8、12，
从而相应 y 的值分别为 18、11、4，相应 z 的值分别为 78、81、84．
所以，方程组的特殊解为
{x=4
y=18,
z=78
{x=8
y=11,
z=81
{x=12
y=4 .
z=84
所以公鸡、母鸡、小鸡应分别买 4 只、18 只、78 只或 8 只、11 只、81 只或 12
只、4 只、84 只．
11. 解方程组（1）$\left\{\begin{gathered}
\dfrac{{x +3}}{2} + \dfrac{{y + 5}}{3} = 7 \hfill \\
\dfrac{{x -4}}{3} + \dfrac{{2y - 3}}{5} = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$（2）$\left\{\begin{gathered}
2x + y + z = 7\hfill \\
x + 2y + z = 8 \hfill \\x + y + 2z = 9\hfill \\
\end{gathered} \right.(x,y,z为正整数)$
【答案】 （1）$\left\{\begin{gathered}
x =\dfrac{5}{2} \hfill \\
y =\dfrac{{31}}{4} \hfill \\
\end{gathered} \right.$；（2）$\left\{\begin{gathered}
x = 1 \hfill\\
y = 2 \hfill\\
z = 3 \hfill\\
\end{gathered} \right.$
【分析】 （1）化简方程组得：$\left\{\begin{gathered}
3x + 2y =23\;\;\;\; ① \hfill \\
5x + 6y =59\;\;\;\; ② \hfill \\
\end{gathered} \right.$
5
①×3-② 得：4x=10，x= ③
2
31
将 ③ 式代入 ① 得：y= ，
4
所以方程的解为：
$\left\{\begin{gathered}
x =\dfrac{5}{2} \hfill \\
y =\dfrac{{31}}{4} \hfill \\
\end{gathered} \right.$
（2）将一式与二式相减得 (x+2y+z)-(2x+ y+z)=8-7 去括号整理后得 y-x=1；将二
式扩大 2 倍与三式相减得 2(x+2y+z)-(x+ y+2z)=2×8-9, 去括号整理得 3 y+x=7；
最后将两式相加计算结果如下：(y-x)+(3 y+x)=1+7，整理得 4 y=8,y=4, 所以方程的
解为：$\left\{\begin{gathered}
x = 1 \hfill\\
y = 2 \hfill\\
z = 3 \hfill\\
\end{gathered} \right.$
x- y+z=1
{
y-z+u=2
12. 解方程组 z-u+v=5 .（x,y,z,u,v 为正整数）
u-v+x=2
v-x+ y=7
【答案】
x=0
{
y=6
z=7
u=3
v=1【分析】 将 5 个式子相加得 x+ y+z+u+v=17，将 1 式与 2 式相加得 x+u=3，
将 2 式与 3 式相加得 y+v=7，同理连续相加得到
x+u=3
{
y+v=7
z+x=7 ,
u+ y=9
v+z=8
整理后解为
x=0
{
y=6
z=7 .
u=3
v=1
13. 解下列三元一次方程组：$\left\{ \begin{gathered} x + y = 10 \hfill \\ y + z = 12 \hfill \\ z + x = 8
\hfill \\ \end{gathered} \right.$
【答案】 $\left\{ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ y = 7 \hfill \\ z = 5 \hfill \\ \end{gathered}
\right.$
【分析】 解：\[ \left\{ \begin{gathered} x + y = 10 \cdots ① \hfill \\ y + z = 12 \cdots ②
\hfill \\ z + x = 8 \cdots ③ \hfill \\ \end{gathered} \right. \]
② - ① 得：z-x=2 与 ③ 组成二元一次方程组
\[ \begin{cases} z - x = 2 \hfill \\ z + x = 8 \hfill \\ \end{cases} \]
可以解得：\[ \left\{ \begin{gathered} z = 5 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]
把 x=3 代入 x+ y=10，可得：y=7
所以原方程组的解为\[ \left\{ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ y = 7 \hfill \\ z = 5 \hfill \\
\end{gathered} \right. \]
14. 解方程组 $\left\{\begin{gathered}
x - y + z = 1\hfill \\
y - z + u = 2\hfill \\
z - u + v = 5\hfill \\
u - v + x = 2\hfill \\
v - x + y = 7 \hfill \\
\end{gathered} \right.(x,y,z,u,v为正整数)$
【答案】 $\left\{\begin{gathered}
x = 0 \hfill\\
y = 6 \hfill\\
z = 7 \hfill\\u = 3 \hfill\\
v = 1 \hfill\\
\end{gathered} \right.$
【分析】 将 5 个式子相加得 x+ y+z+u+v=17, 将 1 式与 2 式相加得 x+u=3,
将 2 式与 3 式相加得 y+v=7, 同理连续相加得到
$\left\{\begin{gathered}
x + u = 3\hfill \\
y + v = 7\hfill \\
z + x = 7\hfill \\
u + y = 9\hfill \\
v + z = 8\hfill \\
\end{gathered} \right.$，
整理后得
$\left\{\begin{gathered}
x = 0 \hfill\\
y = 6 \hfill\\
z = 7 \hfill\\
u = 3 \hfill\\
v = 1 \hfill\\
\end{gathered} \right.$
