文档内容
计算-公式类计算-平方差公式-0 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
平方差公式 B 1.熟悉平方差公式 少考
2.能够灵活应用平方差公式进行计
算。
知识提要
平方差公式
平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
精选例题
平方差公式
24682008
1. 计算： = ．
123420062-12342005×12342007
【答案】 24682008
24682008
【分析】
原式= =24682008．
123420062-(12342006-1)×(12342006+1)
2. 将一个边长为整数的大正方形分成 97 个边长都是整数的小正方形，若其中 96 个小正方
形的边长是 1，则大正方形的边长是 ．
【答案】 25 或 14 或 11 或 10．
【分析】 设大正方形的边长为 a，分成的边长不是1的小正方形的边长为 b，则有
a2=b2+96，那么，(a+b)(a-b)=96，由于 a+b 与 a-b 奇偶性相同，而乘积为偶数，所
以 a+b 与 a-b 均为偶数，且 a+b>a-b，可能的情况包括：
{a-b=2 {a-b=4 {a-b=6 {a-b=8
,
a+b=48 a+b=24 a+b=16 a+b=12分别解得大正方形的边长 a 为 25 或 14 或 11 或 10．
3. 利用平方差公式巧算：
（1）1332-332= ．2692-312= ．
（2）89×91= ．152×148= ．
【答案】 （1）16600；71400；（2）8099；22496
【分析】 （1）1332-332=(133+33)×(133-33)=16600；
2692-312=(269+31)×(269-31)=71400；
（2）89×91=(90+1)×(90-1)=902-12=8099；
154×148=(150+2)×(150-2)=1502-22=22496．
4. a、b 代表任意数字，若 (a+b)×(a-b)=a×a-b×b，这个公式在数学上称为平方差公
式．根据公式，你来巧算下列各题吧．
（1）98×102 = ．（2）67×73 = ．
（3）64×28 = ．（4）2×29×3×31 = ．
【答案】 （1）9996；（2）4891；（3）1792；（4）5394
【分析】 （1）
98×102 =(100-2)×(100+2)
¿ =10000-4
¿ ¿
（2）
67×73 =(70-3)×(70+3)
¿ =4900-9
¿ ¿
（3）
64×28 =2×32×28
¿ =2×(30×30-2×2)
¿ ¿
（4）
2×29×3×31 =2×3×(30-1)×(30+1)
¿ =5400-6
¿ ¿
(22+42+62+⋯+1002)-(12+32+52+⋯+992)
5. 计算： = ．
13+23+33+⋯+1003
1
【答案】
5050【分析】
(100+99)×(100-99)+(98+97)×(98-97)+⋯+(2+1)×(2-1)
原式 =
(1+2+3+⋯+100) 2
1
¿ =
(1+2+3+⋯+100)
¿ ¿
6. 如图，从边长为 a 的正方形内去掉一个边长为 b 的小正方形，然后将剩余部分拼成一个
长方形，上述操作所能验证的公式是 ．
【答案】 (a+b)(a-b)=a2-b2
【分析】 如图，左图中阴影部分的面积为 a2-b2，右图中阴影部分的面积为
(a+b)(a-b)，而两图中阴影部分的面积应该是相等的，故验证的公式为
(a+b)(a-b)=a2-b2（反过来写也可）．
7. 计算 12-32+52-72+92-112 ⋯-472+492 = ．
【答案】 1249
原式 =492-472+452-432 ⋯+52-32+12
【分析】 ¿ =(3+49)×24+1
¿ ¿
8. 计算：102-92+82-72+62-52+42-32+22-12 = ．
【答案】 55【分析】
原式= (10+9)×(10-9)+(8+7)×(8-7)+(6+5)×(6-5)+
10+9+8+7+6+5+4+3+2+1¿=¿55.¿
¿ ¿
9. 计算：4999×5001= ．
【答案】 24999999
原式 =(5000-1)×(5000+1)
【分析】
¿ =24999999
10. 计算：(105×95+103×97)-(107×93+101×99)= ．
【答案】 16
【分析】
原式 =(1002-52+1002-32 )-(1002-72+1002-12 )
¿ =50-25-9
¿ ¿
11. 如果 (2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，那么 a+b 的值是 ．
【答案】 ±4
【分析】 因为 (2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，所以 [2(a+b)] 2-12=63，所以
a+b=±4．
1 1 1 1 1 1
12.
计算：(1- )×(1- )×(1- )×(1- )×⋯×(1- )×(1- )=
22 32 42 52 482 492
．
25
【答案】
49
1 1 1 1 3 1 1 1 2 4
【分析】 1- =(1- )×(1+ )= × ，1- =(1- )×(1+ )= × ，⋯⋯
22 2 2 2 2 32 3 3 3 3
1 3 2 4 48 50 1 50 25
所以，原式= × × × ×⋯× × = × = ．
2 2 3 3 49 49 2 49 49
13. 计算：[2007-(8.5×8.5-1.5×1.5)÷10]÷160-0.3= ．
【答案】 12.2原式 =[2007-(8.5+1.5)×(8.5-1.5)÷10]÷160-0.3
【分析】
¿ =12.2
14. 计算：50×50+49×51+48×52+47×53+46×54= ．
【答案】 12470
【分析】
原式= 502+(50-1)×(50+1)+(50-2)×(50+2)+
502+502-12+502-12+502-22+502-32+502-42 ¿=¿5×2500-(1+4+9+16)¿=¿12500-30¿=¿12470.¿
¿ ¿
15. 计算：1234567×1234567-1234566×1234568= ．
【答案】 1
【分析】
原式 =12345672-(1234567-1)×(1234567+1)
¿ =1.
16. 计算：3.1415×252-3.1415×152= ．
【答案】 1256.6
原式 =3.1415×(25+15)×(25-15)
【分析】
¿ ¿
2008+2007×2009 2009+2008×2010
17. 计算： + = ．
2008×2009-1 2009×2010-1
【答案】 2
【分析】
2008+(2008-1)×(2008+1) 2009+(2009-1)×(2009+1)
原式 = +
2008×(2008+1)-1 2009×(2009+1)-1
¿ =2
18. 如图，在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形（a>b），把剩下的部分拼
成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式 ．【答案】 (a+b)(a-b)=a2-b2
【分析】 左图中阴影部分的面积为 a2-b2，右图中阴影部分的面积为
1
(2b+2a)(a-b)=(a+b)(a-b)，故验证了公式 (a+b)(a-b)=a2-b2（反过来写也可）．
2
19.
已知：a2-b2=(a+b)(a-b)，
计算：1002-992+982-972+962+⋯+42-32+22-12 = ．
【答案】 5050
【分析】
原式= (100+99)×(100-99)+⋯+(4+3)×(4-3)+
100+99+⋯⋯+3+2+1¿=¿5050.¿
¿ ¿
20. 计算：1×15+2×14+3×13+4×12+5×11+6×10+7×9+8×8= ．
【答案】 372
【分析】
原式 =(8-7)×(8+7)+(8-6)×(8+6)+(8-5)×(8+5)+(8-4)×(8+4)+(8-3)×(8+3)+(8-2)×(8+2)+(8-1)×(8+1)+8×8
¿
=82×8-(12+22+32+42+52+62+72
)
¿ =372
21. ⑴ (31415926) 2-31415925×31415927= ；
⑵ 12342+87662+2468×8766= ．
【答案】 ⑴ 1；⑵ 100000000
【分析】 ⑴观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，
设 a=31415926，原式=a2-(a-1)(a+1)=a2-(a2-1)=1;
⑵
原式 =12342+87662+2×1234×8766
¿
=100002
¿ ¿
(22+42+62+⋯+1002)-(12+32+52+⋯+992)
22. 计算： = ．
1+2+3+⋯+100
【答案】 1
【分析】
1002-992+982-972+⋯+22-12
原式 =
1+2+3+⋯+100
100+99+98+97+⋯+2+1
¿ =
1+2+3+⋯+100
¿ ¿
23. 有一串数 1，4，9，16，25，36，⋯，它们是按一定规律排列的，那么其中第 1990 个
数与第 1991 个数相差 ．
【答案】 3981
【分析】 这串数中第 1990 个数是 19902，而第 1991 个数是 19912，它们相差
19912-19902 =(1991+1990)×(1991-1990)
¿ =3981.
24. 计算：11×19+12×18+13×17+14×16= ．
【答案】 870
【分析】 本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式．
原式 =(152-42)+(152-32)+(152-22)+(152-12)
¿ =900-30
¿ ¿
25. 计算：(205×195+202×198)-(207×193+203×197)= ．
【答案】 29
【分析】原式 =(2002-52+2002-22 )-(2002-72+2002-32 )
¿ =49+9-25-4
¿ ¿
26. 计算：2009×2009-2008×2008= ．
【答案】 4017
【分析】 方法一：
原式 =2009×(2008+1)-(2009-1)×2008
¿ =2009+2008
¿ ¿
方法二：
原式 =20092-20082
¿ =4017×1
¿ ¿
19 12
27. 算式 (19×19-12×12)÷[ - ] ．
12 19
【答案】 228
【分析】
19 12
(19×19-12×12)÷[ 12 - 19 ] (192-122 )÷ 192-122 ¿=¿(192-122 )÷ 12×19 ¿=¿12×19¿=¿228¿
12×19 192-122
¿
28. 利用平方差的公式想想，20 的平方是 ，399 能写成哪两个连续奇数的
乘积： ，那 3599 能写成 ．
【答案】 400；19×21；59×61
【分析】 202=400；
399=400-1=202-12=21×19；
3599=3600-1=602-12=59×61．
29. 计算：1002-992+982-972+⋯+22-12= ．
【答案】 5050
【分析】
原式= (100+99)×(100-99)+(98+97)×(98-97)+⋯+
100+99+98+97+⋯+2+1¿=¿5050.¿
¿ ¿30. 计算：33.8752-
(31) 2
= ．
8
【答案】 1132.5
原式 =33.8752-3.8752
【分析】 ¿ =37.75×30
¿ ¿
31. 计算：1×2×3+2×3×4+3×4×5+⋯+8×9×10= ．
【答案】 1980
【分析】
原式 =2×(22-1)+3×(32-1)+4×(42-1)+⋯+9×(92-1)
¿ =(1+2+3+⋯+9) 2-1-(2+3+4+⋯+9)
¿ =1980.
32. 计算：(12+32+52+⋯+992+1012)-(22+42+62+⋯+1002)= ．
【答案】 5151
【分析】
原式 =12+32-22+52-42+⋯+1012-1002
¿ =5151
33. 观察下列各式，你会发现什么规律？
3×5＝15，而 15=42-1，
5×7＝35，而 35＝62-1，
⋯
11×13=143，而 143=122-1
将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来 ．
【答案】 (n-1)(n+1)=n2-1
【分析】 观察第一个算式，15=16-1，可知这个算式中的 4=(3+5)÷2
后面每个算式都具有这个规律，所以可以猜想这个算式的规律为：(n-1)(n+1)=n2-134. 2009×2009-2008×2008= ．
【答案】 4017
【分析】 方法一：
原式 =2009×(2008+1)-(2009-1)×2008
¿ =2009+2008
¿ ¿
方法二：
原式 =20092-20082
¿ =4017×1
¿ ¿
35. 计算：20×20-19×19+18×18-17×17+⋯+2×2-1×1 = ．
【答案】 210
【分析】 利用平方差公式：20×20-19×19=(20+19)×(20-19)=20+19，
18×18-17×17=18+17，⋯，2×2-1×1=2+1．
于是，
原式 =20+19+18+17+⋯+2+1
¿ =210.
36. 计算：11×29+12×28+⋯+19×21= ．
【答案】 3315
【分析】
原式 =(202-92)+(202-82)+⋯+(202-12)
1
¿ =3600- ×9×10×19
6
¿ ¿
37. 计算：1×3+2×4+3×5+⋯9×11= ．
【答案】 375
【分析】
原式 =(2-1)(2+1)+(3-1)(3+1)+⋯+(10-1)(10+1)
¿
=(22+32+⋯+102)-9
10×11×21
¿ = -10
6
¿ ¿38. 计算：[(55×45-37×43)-(3×221+1)]÷22= ．
【答案】 10
【分析】
原式= [(50+5)(50-5)-(40-3)(40+3)-664]÷22
= [2475-1591-664]÷22
= [2475-2255]÷22
= 220÷22
= 10
1 1 1 1 1 1 1
39. 计算： + + + + + + = ．
3 15 35 63 99 143 195
7
【答案】
15
【分析】 分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：
3=22-1=1×3，15=42-1=3×5，⋯⋯，195=142-1=13×15，
所以
1 1 1 1 1 1 1
原式 = + + + + + +
1×3 3×5 5×7 7×9 9×11 11×13 13×15
1 (1 1 )
¿ = × -
2 1 15
¿ ¿
40. 算式 67×67-34×34+67+34 的计算结果是 ．
【答案】 3434
【分析】
原式= (67+34)×(67-34)+101
= 101×33+101
= 101×34
= 3434
12 22 32 502
41. 计算： + + +⋯+ = ．
1×3 3×5 5×7 99×10163
【答案】 12
101
【分析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据
平方差公式分别变为 22-1，42-1，62-1，⋯，1002-1，可以发现如果分母都加上 1，那
么恰好都是分子的 4 倍，所以可以先将原式乘以 4 后进行计算，得出结果后除以 4 就得到
原式的值了．
1 ( 22 42 62 1002 )
原式= × + + +⋯+
4 22-1 42-1 62-1 1002-1
1 ( 1 1 1 1 ) 1 [ 1 ( 1 1 1 1 1 1 1 )] 1 [ 1 ( 1 )] 1 50 63
1
× 50+ + + +⋯+ ¿=¿ × 50+ × 1- + - + - +⋯+ - ¿=¿ × 50+ × 1- ¿=¿ ×50 ¿=¿12 .¿
= × 4 1×3 3×5 5×7 99×101 4 2 3 3 5 5 7 99 101 4 2 101 4 101 101
4
¿ ¿
1 1
42. 算式 (63- )÷(1- ) 的计算结果是 ．
63 63
【答案】 64
【分析】
原式= (632-1)÷(63-1)
= (63-1)×(63+1)÷(63-1)
= 64
43. 计算 12-22+32-42+52-62+⋯+172-182+192= ．
【答案】 190
【分析】 这个题目重新整理得：
12+(32-22 )+(52-42 )+(72-62 )⋯+(192-182
)
1+(3+2)(3-2)+(5+4)(5-4)+⋯+(19+18)(19-18)¿=¿1+3+2+5+4+⋯+19+18¿=¿1+2+3+4+⋯+17+18+19¿=¿20×9+10¿=¿190.¿
¿
1 1
44. 一根铁丝，第 1 次截去总长度的 ，第 2 次截去剩余长度的 ，第 3 次截去剩余长
22 32
1 1
度的 ⋯ 第 2008 次截去剩余长度的 ，此时该铁丝还剩 2010 厘米，那么该铁丝
42 20092
原长为 厘米．
【答案】 4018
【分析】 设铁丝的原长度为 a 厘米，则根据题意可知：( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
a 1- × 1- × 1- ×⋯× 1- =2010,
22 32 42 20092
( 1) ( 1) ( 1 ) ( 1 )
a× 1+ × 1- ×⋯× 1+ × 1- =2010,
2 2 2009 2009
(3 4 2010) (1 2 2008) 1005
a× × ×⋯× × × ×⋯× =2010，a× =2010，a=4018．
2 3 2009 2 3 2009 2009
45. 计算：
（1）(31415926) 2-31415925×31415927= ；
（2）12342+87662+2468×8766= ．
【答案】 （1）1；（2）100000000
【分析】 （1）观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，设
a=31415926，
原式 =a2-(a-1)(a+1)
¿ =1;
（2）
原式 =12342+87662+2×1234×8766
¿
=100002
¿ ¿
46. 计算：101×99-100×98+99×97-98×96+⋯+5×3-4×2 = ．
【答案】 5047
原式 =1002-1-992+1+982-1-972+⋯+42-1-32+1
【分析】 ¿ =100+99+98+97+⋯+4+3
¿ =5047.
47. 看规律 13=12，13+23=32，13+23+33=62，⋯，试求 63+73+⋯+143 = ．
【答案】 10800
【分析】
原式 =(13+23+⋯+143)-(13+23+⋯+53)
¿
=1052-152
¿ =90×120
¿ ¿48. 计算：123456.62-123456.5×123456.7= ．
【答案】 0.01
原式 =123456.62-(123456.6-0.1)×(123456.6+0.1)
【分析】
¿ =0.01
12+32 22+42 32+52 982+1002
49. 计算： + + +⋯+ = ．
22-1 32-1 42-1 992-1
4751
【答案】 198
4950
12+32 10 22+42 20 32+52 34
【分析】 = ， = ， = ，⋯
22-1 3 32-1 8 42-1 15
10 4 20 4 34 4
由于 =2 ， =2 ， =2 ，
3 3 8 8 15 15
可见
4 4 4 4
原式 =2 +2 +2 +⋯+2
22-1 32-1 42-1 992-1
1 ( 1 1 1 1 1 1 1 )
¿ =196+4× × 1- + - + - +⋯+ -
2 3 2 4 3 5 98 100
199
¿ =196+3-2×
9900
¿ ¿
50. 计算：12-22+32-42+⋯+20052-20062+20072= ．
【答案】 2015028
【分析】
原式= 20072-20062+⋯+52-42+32-22+12
1
= (2007-2006)×(2007+2006)+(2005-2004)×2007+2006+2005+2004+⋯+3+2+1¿=¿ ×(2007+1)×2007¿=¿2015028.¿
2
¿ ¿
3 4 5 12
51. 计算： + + +⋯+ =
1×2×4×5 2×3×5×6 3×4×6×7 10×11×13×14
．
75
【答案】
616【分析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是 5 个连续自然
数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：
32 42 52 122
原式= + + +⋯+
1×2×3×4×5 2×3×4×5×6 3×4×5×6×7 10×11×12×13×14
现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，
可以用平方差公式：
32=1×5+4，42=2×6+4，52=3×7+4⋯⋯
32 42 52 122
原式 = + + +⋯+
1×2×3×4×5 2×3×4×5×6 3×4×5×6×7 10×11×12×13×14
( 1 1 1 1 ) ( 4 4 4 4 )
¿ = + + +⋯+ + + + +⋯+
2×3×4 3×4×5 4×5×6 11×12×13 1×2×3×4×5 2×3×4×5×6 3×4×5×6×7 10×11×12×13×14
1 ( 1 1 ) ( 1 1 )
¿ = × - + -
2 2×3 12×13 1×2×3×4 11×12×13×14
1 77+1
¿ = -
8 11×12×13×14
1 1
¿ = -
8 308
¿ ¿
(22+42+62+⋯+1002 )-(12+32+52+⋯+992
)
52. 计算： = ．
1+2+3+⋯+10+9+⋯+2+1
【答案】 50.5
【分析】
22-12+42-32+62-52+⋯+1002-992
原式 =
1+2+3+⋯+10+9+⋯+2+1
¿ =50.5
2017 2017 2017 2017 2017
+ + +⋯⋯+ +
22-1 42-1 62-1 20142-1 20162-1
53. 算式 = ．
2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016
- - - - - -
1 2 4 8 16 32 64
【答案】 32
【分析】1 1 1 1
2017×( + + +⋯⋯+ )
1×3 3×5 5×7 2015×2017
原式=
1 1 1 1 1
2016×(1- - - - - )
2 4 16 32 64
1 1
2017× ×(1- )
2 2017
=
1
2016×
64
= 32
1 1 1 1 1 1
54. 计算： + + + + + = ．
32-1 52-1 72-1 92-1 112-1 132-1
3
【答案】
14
【分析】 这题是利用平方差公式进行裂项：a2-b2=(a-b)×(a+b)，
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
原式= + + + + (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 (1 1 ) 1 3
2×4 4×6 6×8 8×10 - + - + - + - + - + - ¿× ¿=¿ - × ¿=¿ .¿
2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 2 2 14 2 14
¿ ¿
55. 两个正方形的面积之差为 2016 平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，
那么满足上述条件的所有正方形共有 对．
【答案】 12
【分析】
a2-b2=(a+b)(a-b)=2016.
a+b 与 a-b 奇偶性相同，乘积是偶数，必然都是偶数，且和大于差，
2016÷4=504=22×32×7 的因数有 24 个，即 12 组不同的分拆，故有 12 组解．
32+1 52+1 72+1 19932+1 19952+1
56. 计算： + + +⋯+ + = ．
32-1 52-1 72-1 19932-1 19952-1
997
【答案】 997
1996
【分析】
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
原式= 1+ + 1+ + 1+ +⋯+ ( 2 2 2 ) (1 1 1 1 1 1 ) (1 1 ) 997
32-1 52-1 72-1 997+ + +⋯+ ¿=¿997+ - + - +⋯+ - ¿=¿997+ - ¿=¿997 .¿
2×4 4×6 1994×1996 2 4 4 6 1994 1996 2 1996 1996
¿ ¿57. 计算：（1）552-452；（2）632-372．
【答案】 （1）1000；（2）2600．
【分析】 （1）原式=(55+45)×(55-45)=100×10=1000；
（2）原式=(63+37)×(63-37)=100×26=2600．
58. 计算：(2+1)(22+1)(24+1)⋯(232+1)+1．
【答案】 264
【分析】
原式 =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)⋯(232+1)+1
¿ ¿
59. 已知 a2-b2=27，a、b 是正整数，求 a、b 的值．
【答案】 14、13 或 6、3．
【分析】
(a+b)(a-b)
1×27¿=¿3×9.¿
¿
{a+b=27
,
a-b=1
所以
a=(27+1)÷2=14,
b=27-14=13.
或者
{a+b=9
,
a-b=3
所以
a=(9+3)÷2=6,
b=9-6=3.( 1)( 1)( 1 )( 1 ) ( 1 )
60. 计算： 1+ 1+ 1+ 1+ ⋯ 1+ ．
2 4 16 256 22n
1
【答案】
2-
24n-1
【分析】
( 1)( 1)( 1)( 1 ) ( 1 )
原式 =2 1- 1+ 1+ 1+ ⋯ 1+
2 2 4 16 22n
1
¿ =2- .
24n-1
61. 下图中有两个黑色的正方形，两个白色的正方形．它们的面积已在图中标出（单位：平方
米）．黑色的两个正方形面积大还是白色的两个正方形面积大？请说明理由．
【答案】 两个白色正方形的面积大
【分析】 此题用到平方差公式：a2-b2=(a+b)×(a-b)
19972-19962=(1997+1996)×(1997-1996)=1997+1996=3993
19932-19922=(1993+1992)×(1993-1992)=3985
所以 19972—19962>19932-19922
即 19972+19922>19962+19932，两个白色正方形的面积大．(7 3 )(7 3 )
62. 计算：⑴ x- y x+ y ；⑵ (-3x-5 y)(-3x+5 y)．
2 4 2 4
49 9
【答案】 ⑴ x2- y2 ；⑵ 9x2-25 y2
4 16
【分析】 ⑴ 原式= (7 x ) 2 - (3 y ) 2 = 49 x2- 9 y2 ；
2 4 4 16
⑵ 原式=(-3x) 2-(5 y) 2=9x2-25 y2；
63. 计算：⑴ (x+3)(x-3)(x2+9)；⑵ (2a+3b)(4a+5b)(2a-3b)(5b-4a)；
【答案】 见解析．
【分析】 ⑴ (x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=x4-81；
⑵
原式 =(4a2-9b2 )(25b2-16a2 )
¿
=-64a4+244a2b2-225b4.
64. 能不能找到一个自然数，它加上 10，减去 10 之后都是完全平方数？
【答案】 26
【分析】 设加上 10 后的数是 A2，减去 10 后的数是 B2；那么根据平方差公式
A2-B2=(A+B)(A-B)=20.
因为 (A+B) 和 (A-B) 是同奇偶的所以 20 也应该拆成 2 个同奇偶性的数的乘积．因此
{A+B=10 {A=6
(A+B)(A-B)=10×2⇒ ⇒ .
A-B=2 B=4
所以这个数是 36-10=26．
65. 求积 A 的个位数字：A=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)．
【答案】 5
【分析】
A =(2-1)(2+1)(22+1)⋯(264+1)
¿
=2128-1.
2n 各位数字的循环 4 个一周期，周期为：2、4、8、6，128÷4=32，所以 2128 个位为 6，
故 2128-1 个位为 5．（另解：5 的奇数倍个位一定是 5）．
66. 计算：⑴ (2+1)(22+1)(24+1)⋯(22n+1)；
1 1 1 1
⑵ (1- )(1- )(1- )⋯(1- )；
22 33 42 102
⑶ 1002-992+982-972+962 ⋯+22-12；
11
【答案】 ⑴ 24n-1；⑵ ；⑶ 5050
20
【分析】 ⑴
原式 =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)⋯(22n+1)
¿
=(24-1)(24+1)⋯(22n+1)
¿
=(22n
)
2-1
¿ ¿
⑵
( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)
原式= 1- 1+ 1- 1+ 1- 1+ ⋯1 3 2 4 3 4 9 11 1 11 11
2 2 3 3 4 4 × × × × × ⋯ × ¿=¿ × ¿=¿ ;¿
2 2 3 3 4 5 10 10 2 10 20
¿ ¿
⑶
原式 =(100-99)(100+99)+(98-97)(98+97)⋯(2-1)(2+1)
1
¿ =(100+1)×100×
2
¿ ¿
67. 已知 a2-b2=133，a、b 是正整数，求 a、b 的值．
【答案】 67、66 或 13、6．
【分析】 观察算式发现 a2-b2=(a+b)(a-b) 只要把 133 写成两个数的正整数的
积．
133=1×133=19×7 再利用和差公式分别求出 a 与 b．
原式 =(a+b)(a-b)
¿ =19×7.
{a+b=133
,
a-b=1
所以
a=(133+1)÷2=67,b=67-1=66.
或者
{a+b=19
,
a-b=7
所以
a=(19+7)÷2=13,
b=19-13=6.
68. 两个完全平方数的差为 51，且这两个完全平方数之间没有其他的完全平方数，求这两个数？
【答案】 676，625
【分析】 设较大的平方数为 B2，较小的平方数为 A2，B2-A2=51，因为两个完全
平方数之间无其他完全平方数，所以 B-A=1，则 51 只能分解为 1×51；
{B+A=51
;
B-A=1
解得
{B=26
.
A=25
这两个数分别为 262=676；252=625．
69. 计算：(a-b)(a+b)(a2+b2 )(a4+b4 )．
【答案】 a8-b8
【分析】
原式 =(a2-b2 )(a2+b2 )(a4+b4 )
¿
=a8-b8.
70. 一个正整数加上 132 和 231 后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？
【答案】 2269 或 93
【分析】 设该正整数为 a，根据题意得 a+132=m2,a+231=n2 两式相减得
(n+m)(n-m)=99 因为 99=99×1=33×3=11×9 所以 n+m=99,n-m=1 或
n+m=33,n-m=3 或 n+m=11,n-m=9 解得 n=50,m=49 或 n=18,m=15 或
n=10,m=1，但是 n=10,m=1 不符合正整数的条件，因此 a=492-132=2269，或者
152-132=93，所以这个正整数为 2269 或 93．71. 运用平方差公式计算：
1 1
⑴
(x2y- )(x2y+
)；
2 2
⑵ (-4a-1)(-4a+1)；
⑶ (am+bn )(am-bn )．
【答案】 见解析．
【分析】 ⑴
( x2y- 1)( x2y+ 1) =(x2y) 2- (1) 2 =x4 y2- 1
；
2 2 2 4
⑵ (-4a-1)(-4a+1)=(-4a) 2-12=16a2-1；
⑶ (am+bn )(am-bn )=(am ) 2-(bn ) 2=a2m-b2n．
72. 计算：202-192+182-172+162-152+⋯+22-1．
【答案】 210
【分析】 观察算式发现都是平方差构成，添上一个括号就可以运用公式计算．
原式 =(202-192 )+(182-172 )+(162-152 )+⋯+(22-1)
¿ =20+19+18+17+16+15+⋯+2+1
¿ =210.
73. 一个数减去 100 是一个平方数，减去 63 也是一个平方数，问这个数是多少？
【答案】 424
【分析】 设这个数减去 63 为 A2，减去 100 为 B2，则
A2-B2=(A+B)(A-B)=100-63=37=37×1，
可知 A+B=37，且 A-B=1，所以 A=19，B=18，这样这个数为
182+100=424．
74. 计算：
（1）(-2x+3 y) 2；
（2）(a-2b)(2b-a)；
（3）(a2+ab+b2 )(a2-ab+b2 )；
（4）(2x- y+2)(y-2x+2)．【答案】 （1）4x2-12xy+9 y2；
（2）-a2+4ab-4b2；
（3）a4+a2b2+b4；
（4）4-4x2+4xy- y2
【分析】 （1）原式=(2x-3 y) 2=4x2-12xy+9 y2；
（2）
原式 =-(a-2b) 2
¿
=-a2+4ab-4b2;
（3）
原式 =[(a2+b2 )+ab][(a2+b2 )-ab]
¿ ¿
（4）
原式 =[2+(2x- y)][2-(2x- y)]
¿
=4-4x2+4xy- y2.
75. 已知 324-1 可能被 20 至 30 之间的两个整数整除，求这两个整数．
【答案】 28、26
【分析】
324-1 =(312+1)(312-1)
¿
=(312+1)(36+1)×28×26.
所求二整数为 28、26．
76. 求
3×5×17×⋯×(22n-1+1)
的值．
【答案】
22n-1
【分析】 观察原式的每一项，均可写成 2n+1(n=1,2,⋯2n-1 ) 的形式，而 1=2-1，
故
原式
=3×5×17×⋯×(22n-1+1)
¿
=22n-1.
77. 利用平方差公式简化计算：
⑴ 59.8×60.2；
⑵ 102×98；
⑶ 123462-12345×12347；1 14
⑷ 1 × ．
15 15
124
【答案】 ⑴ 3599.96；⑵ 9996；⑶ 1；⑷
125
【分析】 ⑴ 59.8×60.2=(60-0.2)(60+0.2)=602-0.22=3599.96；
⑵ 102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=9996；
⑶ 123462-12345×12347=123462-(12346-1)(12346+1)=123462-(123462-12 )=1;
1 14 ( 1 )( 1 ) 1 124
⑷ 1 × = 1+ 1- =1- = ．
15 15 15 15 125 125
78. 一个数减去 100 是一个完全平方数，减去 63 也是一个完全平方数，问这个数是多少？
【答案】 424
【分析】 设这个数减去 63 为 A2，减去 100 为 B2，则
A2-B2=(A+B)(A-B)=100-63=37=37×1,
可知 A+B=37，且 A-B=1，所以 A=19，B=18，这样这个数为 182+100=424．
79. ⑴先化简后求值：[(x- y) 2+(x+ y)(x- y)]÷2x，其中 x=3，y=1.5．
⑵计算：(2x- y+2)(y-2x+2)．
【答案】 ⑴ 1.5；⑵ 4-4x2+4xy- y2
【分析】 ⑴
[(x- y) 2+(x+ y)(x- y)]÷2x (x2-2xy+ y2+x2- y2 )÷2x¿=¿(2x2-2xy)÷2x¿=¿x- y.¿
¿
又 x=3，y=1.5，故原式 =x- y=3-1.5=1.5．
法 2：
[(x- y) 2+(x+ y)(x- y)]÷2x
(x- y)⋅2x÷2x¿=¿x- y¿=¿1.5.¿
¿
⑵
原式 =[2+(2x- y)][2-(2x- y)]
¿
=4-4x2+4xy- y2.
80. 三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为 80，第二大的数减
去最小的数的差为 60，求这三个数．
【答案】 分别为 12、8、2．【分析】 设这三个数从大到小分别为 A2、B2、C2，那么有 (A+B)(A-B)=80，
(A+C)(A-C)=140，因为 140=2×2×5×7，A+C、A-C 同奇同偶，所以有
A+C=14，A-C=10 或 A+C=70，A-C=2，分别解得 A=12，C=2 和 A=36，
C=34，对于后者没有满足条件的 B，所以 A 只能等于 12，C=2，继而求得 B=8，所以
这三个数分别为 12、8、2．
81.
计算：(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)．
364-1
【答案】
2
【分析】 设 S=(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)，两边乘以 (3-1)，
得
(3-1)S =(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
¿ =⋯
¿ ¿
1 364-1
所以 S= (364-1)，即 (3+1)(32+1)⋯(332+1)= ．
2 2
82. 296-1 有可能被 60 到 70 之间的两个整数整除，试求出这两个数．
【答案】 63、65
【分析】
296-1 =(248-1)(248+1)
¿
=63×65×(212+1)(224+1)(248+1),
这两个数是 63 和 65．
83. 能否找到这么一个数，它加上 24，和减去 30 所得的两个数都是完全平方数？
【答案】 不能
【分析】 假设能找到，设这两个完全平方数分别为 A2、B2，那么这两个完全平方数
的差为 54=(A+B)(A-B)，由于 (A+B) 和 (A-B) 的奇偶性质相同，所以
(A+B)(A-B) 不是 4 的倍数，就是奇数，不可能是像 54 这样是偶数但不是 4 的倍数．
所以 54 不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．
84. 已知实数 a、b 满足 (a+b) 2=1，(a-b) 2=25，求 a2+b2+ab 的值．
【答案】 7(a+b) 2+(a-b) 2 (a+b) 2-(a-b) 2
【分析】 a2+b2= =13，ab= =-6，
2 4
a2+b2+ab=7．
85. 如果三个正整数 a、b、c 满足 a2+b2=c2，则称这三个数构成一个勾股数组 (a,b,c)．
与 5 有关的勾股数组有两组：(3,4,5) 和 (5,12,13)，请问：与 13 有关的勾股数组有哪些？
【答案】 (5,12,13)、(13,84,85)
【分析】 当 c=13 时，则很显然 (5,12,13) 是一组勾股数．当 a=13 时，则
132+b2=169+b2=c2
即
c2-b2=(c+b)×(c-b)=169×1
由此可得
{c+b=169
c-b=1
解得
{c=85
b=84
因此 (13,84,85) 也是一组勾股数．
86. 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如 16=52-32，
16 就是一个“智慧数”．请问：从 1 开始的自然数列中，第 2008 个“智慧数”是多少？
【答案】 2680
【分析】 通过尝试可以发现如下规律：
相邻两个平方数的差为 3,5,7,9,11⋯ 即除 1 外，所有的奇数均为“智慧数”．
相邻两个奇数的平方差与相邻两个偶数的平方差为 8,12,16,20,24,28… 即除 4 之外，所有
4 的倍数的数是“智慧数”．
所以 1∼2000 的“智慧数”有 2000÷2+2000÷4-2=1498(个)．
1∼2500 的“智慧数”有 2500÷2+2500÷4-2=1873(个)．
1∼2700 的“智慧数”有 2700÷2+2700÷4-2=2023(个)．
因此第 2008 个“智慧数”为 2680．
87. 计算：667×668×669-666×668×670
【答案】 2004
【分析】 综合题目，先提取公因数，然后使用平方差公式逆用
原式 =668×(667×669-666×670)
¿ =668×(4-1)
¿ ¿88. 计算：102-92+82-72+62-52+⋯+22-1．
【答案】 55
【分析】
102-92+82-72+62-52+⋯+22-1
(102-92 )+(82-72 )+(62-52 )+⋯+(22-1)¿=¿(10-9)×(10+9)+(8-7)×(8+7)+(6-5)×(6+5)+⋯+(2-1)×(2+1)¿=¿10+9+8+7+6+5+⋯+2+1¿=¿(1+10)×10÷2¿=¿55.¿
¿
2005×2007 2006×2008 2007×2009
89. 已知 a= ，b= ，c= ，比较三者大小．
2006 2007 2008
【答案】 a
