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专练 32 数列求和
授课提示：对应学生用书67页
[基础强化]
一、选择题
1．若数列{a}的通项公式为a＝2n＋2n－1，则数列{a}的前n项和为( )
n n n
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2
答案：C
解析：S＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝＋＝2n＋1－2＋n2.
n
2．等差数列{a}的公差为2，若a，a，a 成等比数列，则{a}的前n项和S＝( )
n 2 4 8 n n
A．n(n＋1) B．n(n－1)
C． D．
答案：A
解析：∵a，a，a 成等比数列，∴a＝aa，
2 4 8 2 8
∴(a＋3d)2＝(a＋d)(a＋7d)，得a＝d＝2，
1 1 1 1
∴S＝na＋d＝n(n＋1).
n 1
3．数列1，，，…，，…的前n项和为( )
A． B．
C． D．
答案：B
解析：∵＝＝2，
∴S＝2
n
＝2＝.
4．数列的前2 018项的和为( )
A．＋1 B．－1
C．＋1 D．－1
答案：D
解析：∵＝－，
∴S ＝－1＋－＋…＋－＝－1．
2 018
5．已知数列{a}满足a ＋(－1)n＋1a＝2，则其前100项和为( )
n n＋1 n
A．250 B．200
C．150 D．100
答案：D
解析：当n＝2k－1时，a ＋a ＝2，∴{a}的前100项和S ＝(a ＋a)＋(a ＋a)＋…
2k 2k－1 n 100 1 2 3 4
＋(a ＋a )＝50×2＝100，故选D.
99 100
6．已知数列{a}满足：a ＝a －a (n≥2，n∈N*)，a ＝1，a ＝2，S 为数列{a}的
n n＋1 n n－1 1 2 n n
前n项和，则S ＝( )
2 018
A．3 B．2
C．1 D．0
答案：A
解析：∵a ＝a－a ，a＝1，a＝2，
n＋1 n n－1 1 2
∴a ＝1，a ＝－1，a ＝－2，a ＝－1，a ＝1，a ＝2，…，故数列{a}是周期为6的周
3 4 5 6 7 8 n
期数列，且每连续6项的和为0，故S ＝336×0＋a ＋a ＝a＋a＝3.故选A.
2 018 2 017 2 018 1 2
7．若数列{a}的通项公式为a＝2n＋1，令b＝，则数列{b}的前n项和T 为( )
n n n n n
A．
B．－
C．
D．－答案：B
解析：因为a＋a＋…＋a＝＝n(n＋2)，所以b＝＝，故T＝＝－，故选B.
1 2 n n n
8．已知数列{a}中，a＝a＝1，a ＝则数列{a}的前20项和为( )
n 1 2 n＋2 n
A．1 121 B．1 122
C．1 123 D．1 124
答案：C
解析：由题意可知，数列{a }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a }是首项为
2n 2n－1
1，公差为2的等差数列，故数列{a}的前20项和为＋10×1＋×2＝1 123.选C.
n
9．(多选)[2024·河北省六校联考]等差数列{a}的前n项和记为S，若a＞0，S ＝S ，
n n 1 10 20
则( )
A．公差d＜0
B．a ＜0
16
C．S≤S
n 15
D．当且仅当S＜0时n≥32
n
答案：ABC
解析：因为 S ＝S ，所以a ＋a ＋…＋a ＋a ＝5(a ＋a )＝0，又a ＞0，所以a
10 20 11 12 19 20 15 16 1 15
＞0，a ＜0，所以d＜0，S≤S ，故ABC正确；因为S ＝＝31a ＜0，故D错误．故选
16 n 15 31 16
ABC.
二、填空题
10．设S 为等差数列{a}的前n项和，已知a＋a＋a ＝6，则S＝________．
n n 1 3 11 9
答案：18
解析：设等差数列{a}的公差为d.∵a＋a＋a ＝6，
n 1 3 11
∴3a＋12d＝6，即a＋4d＝2，∴a＝2，∴S＝＝＝18.
1 1 5 9
11．设数列{a}满足 a ＝1，且 a －a ＝n＋1(n∈N*)，则数列的前10 项的和为
n 1 n＋1 n
________．
答案：
解析：∵a －a ＝n＋1，∴当n≥2时，a －a ＝2，a －a ＝3，a －a ＝4，…，a －a
n＋1 n 2 1 3 2 4 3 n n
＝n，
－1
∴a－a＝，∴a＝1＋＝(n≥2)
n 1 n
又当n＝1时a＝1符合上式，
1
∴a＝
n
∴＝＝2，
∴S ＝2＝2＝.
10
12．[2024·黑龙江省牡丹江市第二高级中学段考]若i是虚数单位，则i＋2i2＋3i3＋…＋
2 023i2 023＝________．
答案：－1 012－1 012i
解析：设S＝i＋2i2＋3i3＋…＋2 023i2 023，则iS＝i2＋2i3＋3i4＋…＋2 023i2 024，两式相减
得(1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i2 023－2 023i2 024＝－2 023i2 024＝－2 023＝－1－2 023＝－2 024，
故S＝＝＝－1 012－1 012i.
[能力提升]
13．已知数列{a}满足2a ＝a ＋a (n≥2，n∈N)，且a ＝1，a ＝9，b ＝C·a ，则
n n n＋1 n－1 1 5 n n
数列{b}的前100项的和为( )
n
A．100×299 B．100×2100
C．50×299 D．50×2101
答案：A
解析：由2a＝a ＋a 知{a}为等差数列，又a＝1，a＝a＋4d，∴d＝2，｀∴a＝1
n n＋1 n－1 n 1 5 1 n
＋(n－1)×2＝2n－1，
∴{b}的前100项的和S 满足：
n 100
S ＝Ca＋Ca＋…＋Ca ，
100 1 2 100
∴S ＝Ca ＋Ca ＋…＋Ca＝Ca ＋Ca ＋…＋Ca，
100 100 99 1 100 99 1
∴2S ＝(a＋a )(C＋C＋C＋…＋C)＝200×299，
100 1 100
∴S ＝100×299.
10014．已知数列{a}满足 2a ＋22a ＋…＋2na ＝n(n∈N*)，数列的前n 项和为 S ，则
n 1 2 n n
S·S·S·…·S ＝( )
1 2 3 10
A． B．
C． D．
答案：C
解析：∵2a＋22a＋…＋2na＝n(n∈N*)，
1 2 n
∴2a＋22a＋…＋2n－1a ＝n－1(n≥2)，
1 2 n－1
∴2na ＝1(n≥2)，当n＝1时也满足，故a ＝，故＝＝＝－，S ＝1－＋－＋…＋－＝1
n n n
－＝，
∴S·S·S·…·S ＝×××…××＝，选C.
1 2 3 10
15．设S 是数列{a}的前n项和，且a＝－1，a ＝SS ，则S＝________．
n n 1 n＋1 n n＋1 n
答案：－
解析：∵a ＝SS ＝S －S，
n＋1 n n＋1 n＋1 n
∴－＝－1，
∴数列为等差数列，
∴＝＋(n－1)×(－1)＝－n.
∴S＝－.
n
16．把一个等腰直角三角形对折一次后再展开得到的图形如图所示，则图中等腰直角
三角形(折痕所在的线段也可作为三角形的边)有3个，分别为△ABC，△ABD，△ACD，若
连续对折n次后再全部展开，得到的图形中等腰直角三角形(折痕所在的线段也可作为三角
形的边)的个数记为a，则a＝________，数列{a}的前n项和为________．
n 4 n
答案：31 2n＋2－4－n
解析：由题意得a ＝22－1，a ＝23－1，a ＝24－1，a ＝25－1＝31，所以a ＝2n＋1－
1 2 3 4 n
1，则数列{a}的前n项和为22－1＋23－1＋24－1＋…＋2n＋1－1＝22＋23＋24＋…＋2n＋1－n
n
＝－n＝2n＋2－4－n.
