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2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小
高组A卷）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）计算：19×0.125+281× ﹣12.5＝ ．
2．（10分）农谚“逢冬数九”讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二
九，…，冬至那天是一九的第一天，2012年12月21日是冬至，那么2013年的元旦是
九的第 天．
3．（10分）某些整数分别被 ， ， ， 除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是 ，
， ， ，则满足条件且大于1的最小整数是 ．
4．（10分）如图，在边长为12厘米的正方形ABCD中，以AB为底边作腰长为10厘米的等腰
三角形PAB．则三角形PAC的面积等于 平方厘米．
5．（10分）有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每
人5个还剩12个．那么这筐苹果至少有 个．
6．（10分）两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中，小积木的
粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点．如果大积木的棱长为3，
则这个立体图形的表面积为 ．
7．（10分）设n是小于50的自然数，那么使得4n+5和7n+6有大于1的公约数的所有n的可
能值之和为 ．
第1页（共11页）8．（10分）由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体，则立体的表面上（包括地面）
所有黑点的总数至少是 ．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于3、4、5和6的算
式．
10．（10分）小明与小华同在小六（1）班，该班学生人数介于20和30之间，且每个人的出生
日期均不相同．小明说：“本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”，小华说：“本班
比我大的人数是比我小的人数的三倍”．问这个班有多少名学生？
11．（10分）小虎周末到公园划船，九点从租船处出发，计划不超过十一点回到租船处．已知，
租船处在河的中游，河道笔直，河水流速1.5千米/小时，每划船半小时，小虎就要休息十
分钟让船顺水漂流． 船在静水中的速度是3 千米/小时；问：小虎的船最远可以离租船处
多少千米？
12．（10分）由四个相同的小正方形拼成如图，能否将连续的24个自然数分别放在图中所示
的24个黑点处（每处放一个，每个数只使用一次），使得图中所有正方形边上所放的数之
和都相等？若能，请给出一个例子，请说明理由．
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）用八个如图所示的2×1的小长方形可以拼成一个4×4的正方形，若一个拼成的正
方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同．问：
在所有可能拼成的正方形图形中，上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相邻
的图形有多少种？
14．（15分）不为零的自然数n既是2010个数字和相同的自然数之和，也是2012个数字和相
同的自然数之和，还是2013个数字和相同的自然数之和，那么n最小是多少？
第2页（共11页）2013 年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试
卷（小高组 A 卷）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）计算：19×0.125+281× ﹣12.5＝ 2 5 ．
【分析】根据乘法分配律进行简算即可．
【解答】解：根据题意可得：
19×0.125+281× ﹣12.5，
＝19×0.125+281×0.125﹣100×0.125，
＝（19+281﹣100）×0.125，
＝200×0.125，
＝25．
故答案为：25．
2．（10分）农谚“逢冬数九”讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二
九，…，冬至那天是一九的第一天，2012年12月21日是冬至，那么2013年的元旦是 二
九的第 3 天．
【分析】先求出2012年12月21日到2013年的元旦经过了多少天，再求这些天里有几个9
天，还余几天，再根据余数推算是几九第几天即可．
【解答】解：2012年12月21日到2013年的元旦共有12天，
12÷9＝1…3，
说明已经经过了1个9天，还余3天，这一天就是二九的第3天．
答：2013年的元旦是二九的第3天．
故答案为：二，3．
3．（10分）某些整数分别被 ， ， ， 除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是 ，
， ， ，则满足条件且大于1的最小整数是 31 6 ．
第3页（共11页）【分析】观察所得的商的分数部分： ， ， ， ，分子都是2，分母分别为这些分数的 ，
， ， 分子，所以只要求出3、5、7、9的最小公倍数再加1即可．
【解答】解：3、5、7、9的最小公倍数是：3×3×5×7＝315，
所以满足条件且大于1的最小整数是：315+1＝316；
故答案为：316．
4．（10分）如图，在边长为12厘米的正方形ABCD中，以AB为底边作腰长为10厘米的等腰
三角形PAB．则三角形PAC的面积等于 1 2 平方厘米．
【分析】过P点作PE⊥AB，PF⊥BC，三角形PAC的面积＝三角形PAB的面积+三角形
PBC的面积﹣三角形ABC的面积．
【解答】解：因为102﹣（12÷2）2＝64，则PE＝8，PF＝6，
所以三角形PAB的面积为：12×8÷2＝48（平方厘米），
三角形PBC的面积为：12×6÷2＝36（平方厘米），
阴影部分的面积为：48+36﹣12×12÷2，
＝84﹣72，
＝12（平方厘米）；
答：三角形PAC的面积等于12平方厘米．
故答案为：12．
5．（10分）有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每
人5个还剩12个．那么这筐苹果至少有 6 2 个．
【分析】因为11÷3，10÷4，12÷5余数都是2，因此这筐苹果的个数就是3、4、5的最小公倍数
第4页（共11页）加上2即可．
【解答】解：11÷3＝3…2，
10÷4＝2…2，
12÷5＝2…2，
3×4×5+2＝60+2＝62（个）；
答：这筐苹果至少有62个．
故答案为：62．
6．（10分）两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中，小积木的
粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点．如果大积木的棱长为3，
则这个立体图形的表面积为 7 4 ．
【分析】观察图形可知，大正方体与小正方体的相连的两个面如图所示：因为大正方体的
棱长是3，则四周的小直角三角形的直角边分别是2、1；如果把四周的四个直角三角形剪
下来，正好拼成一个边长是2的正方形，根据正方形的面积公式可得：大正方体的一个面
的面积是3×3＝9，则小正方体的一个面的面积就是9﹣2×2＝5；则这个立方体的表面积就
是大正方体的表面积与小正方体的四个面的面积之和，据此即可解答．
【解答】解：根据题干分析可得：大正方体的一个面的面积是：3×3＝9，
小正方体一个面的面积是：2×2＝4，
9﹣4＝5，
所以这个立体图形的表面积是：
9×6+5×4，
＝54+20，
＝74，
答：这个立体图形的表面积是74．
第5页（共11页）故答案为：74．
7．（10分）设n是小于50的自然数，那么使得4n+5和7n+6有大于1的公约数的所有n的可
能值之和为 9 4 ．
【分析】此题可以通过设公约数这个参数，将参数值求出，进而得出n的值．
【解答】解：设4n+5和7n+6的公约数为k，
则（4n+5）÷k为整数，（7n+6）÷k为整数，
为了作差后消去n，则左边的式子乘上7，右边的式子乘上4，结果还是都为整数，
则[7（4n+5）﹣4（7n+6）]÷k＝11÷k为整数，
因为k≠1，则11÷k为整数时k只能为11，即两代数式大于1个公约数为11，
又因为[2（4n+5）﹣（7n+6）]÷k为整数，[这里（4n+5）乘上2来作差是为了让n的系数变为
1方便筛选]
代入k＝11，有（n+4）÷11为整数
因为n＜50
则n＝7，18，29，40．
7+18+29+40＝94．
故所有n的可能值之和为94．
故答案为：94．
8．（10分）由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体，则立体的表面上（包括地面）
所有黑点的总数至少是 5 4 ．
【分析】根据图意知，上面的正方体同下面正方体中间相连的面最大是5个黑点，下面中间
的正方体面同上面正方体和左右两个正方体三个面连接的面，最大是6，4，3个黑点，下面
左面的正方体和下面右面的正方体，同中间的正方体连接的面，最大是6个黑点，然用四
个正方体上的黑点总数，减去连接在一起看不到的黑点数，就是表面的黑点数．
【解答】解：根据以上分析得：
（1+2+3+4+5+6）×4﹣5﹣6﹣4﹣3﹣6×2，
＝21×4﹣5﹣6﹣4﹣3﹣12，
＝84﹣5﹣6﹣4﹣3﹣12，
＝54（个）．
第6页（共11页）故答案为：54．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于3、4、5和6的算
式．
【分析】因为12÷4＝3，4+4+4＝12，所以可以写成（4+4+4）÷4＝3；
因为4×（4﹣4）＝0，4﹣0＝4，所以可以写成4﹣（4﹣4）×4＝4；
因为4×5＝20，20÷4＝5，所以可以写成（4×4+4）÷4＝5；
因为2+4＝6，（4+4）÷4＝2，所以可以写成（4+4）÷4+4＝6．
【解答】解：（4+4+4）÷4＝3；
4﹣（4﹣4）×4＝4；
（4×4+4）÷4＝5；
（4+4）÷4+4＝6；
10．（10分）小明与小华同在小六（1）班，该班学生人数介于20和30之间，且每个人的出生
日期均不相同．小明说：“本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”，小华说：“本班
比我大的人数是比我小的人数的三倍”．问这个班有多少名学生？
【分析】设比小明小得学生为x人，比小华小的学生为y人，那么比小明大的学生为2x人，
所以全班学生共有N＝3x+1人，又因为比小华大的学生为3y人，所以全班学生共有N＝
4y+1人，则N﹣1既是3的倍数，又是4的倍数，因此N﹣1是3×4＝12的倍数，结合该班
学生人数介于15到30人之间，所以N﹣只能是24，所以这个班共有学生N＝24+1＝25人．
【解答】解：由分析知，设比小明小得学生为x人，比小华小的学生为y人，
那么比小明大的学生为2x人，所以全班学生共有N＝3x+1人，又因为比小华大的学生为
3y人，所以全班学生共有N＝4y+1人，则N﹣1既是3的倍数，又是4的倍数，因此N﹣1
是3×4＝12的倍数，
结合该班学生人数介于20到30人之间，所以N﹣1只能是24，
所以这个班共有学生N＝24+1＝25人．
答：这个班有25名学生．
11．（10分）小虎周末到公园划船，九点从租船处出发，计划不超过十一点回到租船处．已知，
租船处在河的中游，河道笔直，河水流速1.5千米/小时，每划船半小时，小虎就要休息十
分钟让船顺水漂流． 船在静水中的速度是3 千米/小时；问：小虎的船最远可以离租船处
多少千米？
【分析】小虎划船的全部时间是120分钟，他每划行30分钟，休息10分钟，周期为40分钟，
第7页（共11页）所以一共可以分为3个30分钟划行时间段，有3个10分钟休息；划船时，顺水的船速与
逆水的船速之比是4.5：1.5＝3：1；因为小虎要把船划离到离租船处尽可能远，他在划船的
过程中只能换一次划船的方向，而且是在尽可能远处，分为两种情况讨论，即开始向下游
划船或开始向上游划船，然后再进一步解答即可．
【解答】解：根据题意可得：分为两种情况，开始向下游划船或开始向上游划船；
我们假设开始时向下游划，若划30分钟，则向下游划（3+1.5）×0.5+1.5× ＝2.5（千米）；
①
返回时，向上游划半小时，顺水漂10分钟为一个周期，可以向上游划 （3﹣1.5）×0.5﹣1.5×
＝0.5（千米）；
在剩余的40分钟内回不了租船处．
假设开始时向下游划x（x＜30）分钟，
则在前40分钟内，他可以向下游划（3+1.5）× ﹣（3﹣1.5）× +1.5× ＝0.1x﹣0.25
（千米）
要保证能回到租船处，则要求0.1x﹣0.25≤0.5+0.75，即x≤15；
所以最多可以划（3+1.5）× ＝1.125（千米）；
开始时向上游划，由 得向上游划半小时，顺水漂10分钟为一个周期，（T＝40 分钟）；
②可以向上游划（3﹣1.5）① ×0.5﹣1.5× ＝0.5（千米）；
假设向上游划2×40+x（x≤30）分钟，则可以向上游划2×0.5+（3﹣1.5）× ＝1+ ；
余下时间可以向下游划 （3+1.5）× +1.5× ＝2.5﹣ x；
要保证能回到租船处，则要求1+ ≤2.5﹣ x，解得x≤15；
所以最多可以离开租船处 1+ ＝1.375（千米）；
比较两种情况，最多可以离开租船处1.375 千米．
答：小虎的船最远可以离租船处1.375千米．
12．（10分）由四个相同的小正方形拼成如图，能否将连续的24个自然数分别放在图中所示
的24个黑点处（每处放一个，每个数只使用一次），使得图中所有正方形边上所放的数之
第8页（共11页）和都相等？若能，请给出一个例子，请说明理由．
【分析】不能．设放的最小自然数为a，则放的最小自然数为a+23．得到这24个自然数的
和为A＝12（2a+23）．假设可能，设每个正方形边上所放的数之和为S．因为共有5个正方
形，这些和的和为5S．因为每个数在这些和中出现两次，所以5S＝2A．记最小的16个数的
和为B，则B＝8（2a+15）．再分两种情况讨论：（1）B≤S；（2）B＞S即可求解．
【解答】解：不能．
设放的最小自然数为a，则放的最大自然数为a+23．
这24个自然数的和为A＝12（2a+23）．
假设可能，设每个正方形边上所放的数之和为S．
因为共有5个正方形，这些和的和为5S．
因为每个数在这些和中出现两次，
所以5S＝2A．
记最小的16个数的和为B，则B＝8（2a+15）．
分两种情况讨论：
（1）若B≤S，则
S＝ A＝ （2a+23）≥8（2a+15），
9.6a+110.4≥16a+120，
不存在自然数a使得不等式成立．
（2）若B＞S也是不可能的，
因为此时不可能选择最大正方形边上的16个数使这16个数的和等于S．
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）用八个如图所示的2×1的小长方形可以拼成一个4×4的正方形，若一个拼成的正
方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同．问：
在所有可能拼成的正方形图形中，上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相邻
的图形有多少种？
第9页（共11页）【分析】用右图 代替题目中的2×1小长方形，因为题目所给的小长方形的上下不对称，
所以同一个小长方形在拼成的上下对称的正方形中，不会既在上半部分也在下半部分，这
样，就可以只考虑上半部分的不同情形，据此画图分析解解答．
【解答】解：（1）相邻的空白格在第一行的最左边或最右边，因为要排除旋转相同的，所以
只考虑相邻空白格在最右边的情况，有下图所示的两种情况：
，
（2）相邻的空白格在第一行中间，去掉旋转重合的，有下图所示3种情况：
答：在所有可能拼成的正方形图形中，上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格
相邻的图形有5种．
14．（15分）不为零的自然数n既是2010个数字和相同的自然数之和，也是2012个数字和相
同的自然数之和，还是2013个数字和相同的自然数之和，那么n最小是多少？
【分析】根据要求写出满足条件的最小n值即可．
【解答】解：根据题意有n＝2010A＝2012B＝2013C．能把数字和和数联系起来的数是能被
3或9整除的数．明白一个结论，求一个数能否被3或9整除，将这个数按数位截成若干个
数或拆成若干个数，若若干个数的和能被3或9整除，则这个数能被3或9整除．例：求
12346789101112…2013能否被9整除，只需求1+2+…+2013的和能否被9整除．
显然2010，2013都是3的倍数，则n是3的倍数，2012B是3的倍数．根据非零自然数，B
最小为3，则n最小为6036．
检验：x+y＝2010，3x+12y＝6036，x＝2008，y＝2（数字和也可以为2）
c+d＝2013，10c+d＝6036，c＝447，d＝1566（数字和等于2和3没有可能）
6036＝2012×3＝2008×3+12×2＝10×447+1566×1，
第10页（共11页）总数n最小值为6036．
答：n最小是6036．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 10:55:54；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第11页（共11页）
