文档内容
第 12 讲 枚举法二
内容概述
巩固字典排列的方法；使用树形图的方法解决更复杂的计数问题；熟练掌握分类枚举的方法。典型
问题
兴趣篇
1. 有一些三位数的各位数字都不是 0，且各位数字之和为 6，这样的三位数共有多少个？
2. 汤姆、杰瑞和得鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病，医生发现他们一共有 8 颗蛀牙，他们三人可
能分别有几颗蛀牙？
3. 老师让小明写出 3 个非零的自然数，且 3 个数的和是 9，如果数相同、顺序不算同一种写法，例如 1+2+6、
2+1+6 还有 6+1+2 都算是同一种写法。请问：小明共有多少种不同的写法？
4. 生物老师让大家观察蚂蚁的习性。第二天小悦在小区的广场上发现了 12 只黑蚂蚁，这 12 只蚂蚁恰好
凑成了 3 堆，每堆至少有 2 只。请问：这 3 堆蚂蚁可能各有几只？
5. 一个三位数，每一位上的数字都是 1、2、3 中的某一个，并且相邻的两个数字相同，一共有多少个满足
条件的三位数？
6. 如图 12-1，一只小蚂蚁要从一个正四面体的顶点 A 出发，沿着这个正四面体的棱依次走遍 4 个顶点
再回到顶点 A。请问：这只小蚂蚁一共有多少种不同的走法？
7. 5 块六边形的地毯拼成了图 12-2 中的形状，每块地毯上都有一个编号。现在阿奇站在 1 号地毯上，他想
要走到 5 号地毯上，如果阿奇每次都只能走到和他相邻的地毯上（两个六边形如果有公共边就称为相邻），
并且只能向右边走，例如 1→2→3→5 就是一种可能的走法。请问：阿奇一共有多少种不同的走法？
8. 在图 12-3 中，一共能找出多少个长方形（包括正方形）？
9. 如果只能用 1 元、2 元、5 元的纸币付款，那么要买价格是 13 元的东西，一共有多少种不同的付款办法？
（不考虑找钱的情况）
10. 有一类小于 1000 的自然数，每个数由若干个 1 和若干个 2 组成，并且在每个数中，1 的个数比 2
的个数多，这样的数一共有多少个？拓展篇
1. 小悦、冬冬、阿奇三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中发现了 5 件宝物，这三个人可能分别找到了几件宝
物？
2. 小悦、冬冬和阿奇三个人一起吃完了一盘薯条，这盘薯条总共有 20 根，并且每个人吃的薯条都比 5
根多。请问：每个人可能吃了几根薯条？
3. 老师要求每个同学写出 3 个自然数，并且要求这 3 个数的和是 8。如果两个同学写出的的 3 个自然数
相同，只是顺序不一样，就算是同一种写法。试问：同学们最多能给出多少种不同的写法？
4. 费叔叔准备去打羽毛球，他拿了 3 个一模一样的球桶，每个球桶最多能装 8 个羽毛球，他数了一下，
发现 3 个球桶里面一共有 16 个羽毛球。请问：3 个球桶里面有可能分别有几个羽毛球？
5. 商店里有 12 种不同的签字笔，价格分别是 1，2，3，4，„„，11，12 元。小悦准备买 3 支不同价格
的签字笔，并且希望恰好花掉 15 元。请问：小悦一共有多少种不同的买法？
6. 费叔叔提着一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码，只记得密码是一个三位数。这个三位数的个位
数比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比 5 大的数字。请问：费叔叔最多只需要试多少次就
肯定能打开这个公文包？
7. 常昊与古力两人进行围棋赛，谁先胜三局谁就会取得比赛的胜利。如果最后常昊获胜了，那么比赛的进
程有多少种可能？
8. 从图 12-4 的左下角的 A 点走到右上角的 B 点，如果要求只能向上或者向右走，一共有多少种不同的
走法？如果要求只要不走重复的路线就可以，那么从 A 点走到 B 点一共有多少种不同的走法？
9. 妈妈买来了 7 个鸡蛋，每天至少吃 2 个，吃完为止，如果天数不限，可能的吃法一共有多少种？
10. 老师拿来三块木板，上面分别写着数字 1、2、3。小悦可以用这些木板拼出多少个不贩数？
11. 午餐的时候，食堂给同学们准备了苹果、香蕉和桔子这三种水果，每种都有很多个，冬冬想要挑 3
个水果吃。请问：冬冬一共有多少种选择？
12. (1)如图 12-5（a），方格纸的黑点位置上有一只小蚂蚁，它沿着方格纸上的横线和竖线爬行，方格纸
上每一小段的长度都是 1 厘米。试问：小蚂蚁爬了 2 厘米之后，可能在哪些位置？把可能的位置在图上
标出来。
（2）如图 12-5（b），方格纸上每一小段的长度也是 1 厘米，黑点的位置上有一只小蚂蚁，如果它爬了 3
厘米之后，恰好在黑线上。请问：这只小蚂蚁爬行的路线一共有多少种不同的可能？超越篇
1. 小悦买了一些大福娃和小福娃，一共不到 10 个，且两种福娃的个数不一样多，请问：两种福娃的个
数可能有多少种不同的情况？
2. 三条边的边长均为整数，且最长边的边长是 8 厘米，这样的三角形共有多少种？
3. 有 19 本书，分成 5 份，如果每份至少有一本书，且每份的本数都不相同，一共有多少种分法？
4. 在 NBA 总决赛中，由洛杉矶湖人队对底特律活塞队，比赛采用 7 场 4 胜制，每胜一场会获得 1 分的
积分。最终湖人队获得了胜利，双方的积分是 4：2，并且在整个比赛过程中，湖人队的积分从来没有落后过。
问：比赛过程中的胜负情况共有多少种可能？
5. 甲、乙、丙三个人传球，第一次传球是由甲开始，将球传给乙或丙„„经过 4 次传球后，球正好回到甲
手中，那么一共有多少种不同的传球方式？
6. 如图 12-6，现在要从图中的 A 点走到 B 点，如果每个点最多只能经过一次，那么一共有多少种不同
的走法？
7. （1）刚开学时，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的座位表如图 12-7 所示。一段时间后，他们觉得每天坐
同样的位置太无聊，每人都想要换到与原来的座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？
（2）甲、乙、丙、丁、戊、已六位同学的座位如图 12-8 所示，如果每人都要换座位，而且每人都要换
到与原来座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？8. 如图 12-9，一只蚂蚁从 A 点出发，沿着八面体的棱行进，要求恰好经过每个顶点
各一次，一共有多少种不同的走法？
