文档内容
第 17 讲 计算综合一
内容概述
了解等比数列的基本概念，学会利用错位相减的方法进行求和；灵活使用各种方法简化
较复杂的分散算式；具有一定综合性的“定义新运算”问题；较复杂的数列与数表问题．
典型问题
兴趣篇
1．计算
答案：511
解析：设S=1+2+4+8+16+32+64+128+256
则2S=2+4+8+16+32+64+128+256+512
那么S=2S-S=512-1=511
答案：1
解析：设S=
则S=++++++++
S=S-S=1-=
所以S=2×=1
2．计算
答案：1092
解析：设S=3+32+33+34+35+36
则3S=32+33+34+35+36+37
2S=3S-S=37-3=2184
所以S=2184÷2=1092
3．计算
答案：
解析：分子化简为1995×（1+10001+100010001）
分母化简为2009×（1+10001+100010001）
分子分母同时约去1+10001+100010001
原式==
4．计算
答案：126
解析：原式=（40+1）×+（50+2）×+（60+3）×
=40×+×+50×+×+60×+×
=30+1+40+2+50+3=126
5．计算
答案：1703
解析：原式=（1+100）×100÷2-（3+99）×33÷2×2+（+-）×33+
=5050-3366+19+
=1703
6．规定新运算“*”为：a*b=3 × a – 2 × b.
（1）计算： （2）已知 ，求x
（1）答案：1
解析：原式= *(3×-2×)
=*(-)
=*
=3×-2×
=1
（2）答案：1
解析：*(x×)=
所以3×-2×(x×)=
所以x*=（3×-）÷2=
所以3×x-2×=
所以x=（+2×）÷3=1
7．图17-1中除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均
数，例如：2.75是2.5和3的平均数，请问：第100行中的各数之和是多少？
答案：204
解析：各行的和构成一个等差数列：6，8，10，12，14……第100个数为6+（100-1）
×2=204，即第100行个数之和为204
8．有这样一列数，前两个数分别是0和1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和：
0，l，l，2，3，5，8，13，21，34，…，请问：这个数列的第1000个数除以8所得的余数
是多少？
答案：2
解析：这一列数除以8的余数分别为：0、1、1、2、3、5、0、5、5、2、7、1、0、1、1、
2、3、5、0、5、5、2、7、1……，每12个循环一次，1000÷12=83……4，所以这个数列的
第1000个数除以8所得的余数是2。
9．观察下面的数阵：根据前五行数所表达的规律，求：
(1)这个数在由上至下的第几行？在这一行中，它是由左向右的第几个？
(2)第28行第19个数是什么？
（1）答案：第99行，第67个
解析：通过观察，每一行的分数，它的分子与分母的和与所在行数的差是1。例如：
第1行的分数，分数的分子与分母的和为2；
第2行的分数，每个分数的分子与分母的和为3；
第3行的分数，每个分数的分子与分母的和为4；
……
所以，应该在第33+67-1=99行，第99行的所有分数的分子从99开始倒序，分子33所在
的位置应该是第99-33+1=67个。
（2）答案：
解析：第28行的分数的分子从左到右是从 28开始倒序的，第19个数的分子是28-
19+1=10，在利用分子与分母的和等于行数加一，求得分母应该是 28+1-10=19，所以第28
行第19个分数是。
10．观察数列 求
(1)数列中第150项；(2)数列中前300项的和．
（1）答案：
解析：分子和分母都是有规律的，把这些分数按分母大小分组如下:
( ),(,,),(,,,,),(,,,,,,)……
第一组1项，第二组3项，第三组5项，……要求第150项是多少，就得知道第150项是
第几组第几个数。由于1+3+5+……+21+23=122=144，所以150是在有25个数的那一
组中的第150-144=6个数。而第13组有25个数，所以第150项是第13组第6个数，
是。
（2）答案：156
解析：先确定第300项在哪一组：1+3+5+……+31+33=172=289,300-289=11，所以第300
项是第18组的第11个数，即。所以前300项的和为：1+2+3+4+……+16+17+++……
+=156
拓展篇
1．如图17-2，有一个边长为81厘米的等边三角形，将它每条边都三等分，以中间那一份
为边向外作等边三角形，得到图17-3.由图17-3通过同样方法又得到图17-4.如果再由图17-
4通过同样方法得到一个新的图形，试问：这个新的图形的周长是多少？答案：576厘米
解析：通过观察可知，每个图形的周长比上一个图形周长增加了原来的，即是上一个图形
周长的倍，所以第四幅图形的周长应为：81×3×××=576（厘米）
2．计算：
答案：255
解析：设S=1+2+22+23+24+25+26+27
则2S=2+22+23+24+25+26+27+28
那么S=2S-S=28-1=255
答案：1
解析：设S=1+++++++
则S=+++++++
那么S=1-=，S=÷=1
3．某工厂生产一种新型的乒乓球，第一天生产出了若干个，接下来每天的产量恰好是前一
天的1.5倍，且每天都生产整数个乒乓球，请问：第一周的总产量至少是多少？
答案：2059个
解析：设第一天生产a个乒乓球，那么第二天生产a个，第三天生产a个,……第七天生产a
个，a代表的个数至少和26相等，才能保证每天生产的乒乓球个数为整数。那么每天的生
产量分别为：26=64个、64×=96个、96×=144个、144×=216个、216×=324个、324×=486
个、486×=729个，总数为2059个。
4．计算：
答案：
解析：原式=
=
=
5．计算：
答案：
解析：通过提取公因数，原式=÷（+）
=÷（+1）
=×=
6．对于任意的两个自然数a和b，规定新运算“ ”为：
求x的值。
答案：2
解析：设x 3=y，原式=y×（y+1）×（y+2）=15600=24×3×52×13=24×25×26
则y=24，即x 3= x×（x+1）×（x+2）=24=23×3=2×3×4，所以x=2
7．定义新运算aΩb为a与b之间(包含a、b)所有与a奇偶性相同的自然数的平均数，例如：
7Ω14=(7+9+11 +13) ÷4=10，18Ω10=(18+16+14+12+10) ÷ 5=14.
(1)计算：10Ω19；
(2)在算式口Ω(19Ω99)= 80的方框中填入恰当的自然数后可使等式成立，请问：所填的数
是什么？
（1）答案：14
解析：10Ω19=（10+12+14+16+18）÷5=14
（2）答案：100或101
解 析 ： 7Ω14=(7+9+11+13) ÷4=10 ， 可 以 转 化 成 7Ω14= （ 7+13 ） ÷2=10 ，
18Ω10=(18+16+14+12+10) ÷ 5=14，可以转化成18Ω10=（18+10）÷2=14，即求a、b两数
之间最大和最小两个奇（偶）数的平均值。由此如下解题：
19Ω99=（19+99）÷2=59，假设“口”中填入的是x，当x为奇数时，xΩ59=(x+59)÷2=80，
x=101；当x为偶数时，xΩ59=(x+60)÷2=80，x=100
8．1至2008这2008个自然数的所有数字之和是多少？
答案：28054
解析：在一位数和两位数的前面补0变成三位数，不会影响最终计算结果。首先考虑从0
到999这1000个数（从0开始等于从1开始，也不影响最终结果），从000到999这1000
个数总共3000个数字，0~9这10个数字出现的次数相同，都各自出现了3000÷10=300次，
所以数位和=（0+1+2+3+4+5+6+7+8+9）×300=13500，同理 1000~1999 的数字之和就是
1000 个 1 加上 000~999 的数字和，即 1000+13500=14500，2000~2008 的数字和为
2×9+（1+2+3+4+5+6+7+8）=54，因此，11至2008这2008个自然数的所有数字之和为；
13500+14500+54=28054。
9．有一串数如下：1，2，4，7，11，16，…．它的规律是：由1开始，依次加1，加2，
加3，…，逐个产生这串数，直到第50个数为止，求第50个数除以3的余数．
答案：2
解析：这一列数除以3的余数分别为：1、2、1、1、2、1、1、2、1、1、2……，从排列规
律看，从第三项开始，每3个数一个循环。（50-2）÷3=16……0，所以第50个数除以3的
余数应该是2。
10．70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于与它相邻的两个
数之和．这一行最左边的几个数是这样的：0，l，3，8，21，…．请问：这列数中除以6
余l的数有多少个？
答案：12个
解析：这一列数除以6的余数分别为：0、1、3、2、3、1、0、5、3、4、3、5、0、1、
3、2、3、1……，从排列规律看，每 12 个数一个循环，每个循环中 2 个余数为 1，
70÷12=5……10，所以这70个数除以6余1的共：2×5+2=12个。
11．观察数列 的规律，问：(1)数列中第2008项是什么？ (2)数列中前2008项的和是多少？
（1）答案：
解析：分子和分母都是有规律的，把这些分数按分母大小分组如下:
( ),( ,),( ,,)……（,,……）每组的分子都是奇数，分母是偶数，分数的个数等于分母的。
第一组2÷1=1项，第二组4÷2=2项，第三组6÷2=3项，……要求第2008项是多少，就得知
道第2008项是第几组第几个数。由于1+2+3+4+……+62=1953，所以第2008是在有63个
数的那一组中的第2008-1953=55个数。所以数列中第2008项分数的分母是63×2=126，分
子是55×2-1=109，即为。
（2）答案：1000
解析：据观察发现，第一组所有分数的和是，第二组所有分数的和是1，第三组所有分
数的和是1，……相邻组内所有分数和成等差数列，公差是。所以，数列中前 2008项的和
为：+1+1+2+2+……+30+31+（+++……++）=(+31)×62×+=976+24=1000
12．将从1开始的自然数按照如图17-5所示的规律排成数阵，数1000所在的行与列中分别
有一个最小的数，求这两个数的和．
答案：1594
解析：观察数阵可知，每奇数列的第一个数字是这个奇数的平方，每偶数行的第一个数是
这个偶数的平方。312=961,第 32 列的第一个数字是 961+1=962，962+31=993，1000-
963=7，所以 1000 在第 32 行的第 32-7=25 个位置，其所在行和列的最小数分别为：
252+25+1=601、993，其和为601+993=1594。
超越篇
1．求所有分母为360的最简真分数的和．
答案：48
解析：要求分母为360的最简分数，就要排除非最简分数。而非最简分数的分子一定是
360的约数或者是360的约数的倍数，这样的数一共有：++++++=264个，最简分数有360-
264=96个，每2个的和是1，所以总和为96÷2=48
2．有一种运算“*”，满足以下条件：
①2 * 3 = 5；②a * b = b * a；③a *（b + c）=a * b+a * c．（这里的“+”是通常的加号）请计
算：8*9．
答案：60
解 析 ： 8*9=8* （ 3+6 ） =8*3+8*6=8*3+8* （ 3+3 ） =8*3+8*3+8*3=3× （ 8*3 ）
=3×[(2+2+2+2)*3]=3×[4×（2*3）]=3×4×5=60
3．下面的数列是按某种规律排列的：1，3，4，7，11，18，29，47，… 试问：
(1)其中第300个数被6除余几？
(2)如果数列按第n组含有n个数的规律分组，成为： (1)， (3，4)，(7，11，18)，…，那
么第300组内各数之和除以6的余数是多少？
(1)答案：4
解 析 ： 用 数 列 的 每 个 数 去 除 6 ， 找 到 余 数 的 排 列 规 律 如 下 ：
1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1,0,1,1,2,3,5,2，1,3,4,1,5,0,5,5,4……，循环周期为24，300÷24=12……12，即循环12个整周期后，下一周期的第12个数即为答
案。
(2)答案：4
解析：根据和的余数等于余数的和，找到每组数之和除以 6 的余数分别为：
1,1,0,5,3,4,1,3,2,5,3,4,3,5,2,3,1,4,3,5,0,1,1,0,1,1,0,5,3,4,……通过排列规律可
以发现，每24个数一个循环周期，300÷24=12……12，即循环12个整周期后，下一周期
的第12个数即为答案。
4．如图17-6所示的三角形数阵中，从第2行起，每行都是把上一行抄一遍，然后在相邻
两数之间填入它们的和，请问：第999行各数之和被7除所得的余数是多少？
答案：3
解析：我们发现这个数列每一行的第一个数字和最后一个数字都是 1，我们先来找一下每
一行各数之和的规律，假设某一行所含的数为：1、a、b、c、d、e、1，假设和为m。那么
下一行所包含的数为：1、1+a、a、a+b、b、b+c、c、c+d、d、d+e、e、e+1、1，除1之外，
每个字母都出现了三次，所以这行数的和n=3m-2，即数列中每一行的和是上一行和的3倍
减去2。由此规律算出每行的和之后，每行的和除以 7所得的余数规律如下：2、4、3、
0、5、6、2、4、3、0、5、6、2……每4个数一个循环周期，999÷6=166……3，所以第
999行各数之和被7除所得的余数是 3。
5．有一个圆，第一次用一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点上标上 1；第二次，
再将两个半圆周分别分成两个 圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的 ；第三次，
再将四个 圆周分别分成两个 圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的 ；第四次，
再将八个 圆周分别分成两个 圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的 ……如此
进行了100次．请问：最后圆周上的所有数之和是多少？
答案：3434
解析：第一次的和为：2
第二次的和为：2×（1+×2）=4
第三次的和为：4×（1+×2）=6
第四次的和为：6×（1+×2）=10
……
第100次的和为：2×（1+×2）×（1+×2）×（1+×2）×……×（1+×2）=2×××××……
××=3434
6．将非零自然数按照图17-7中的规律不断写出，发现有些数被写出多次，还有些数永远
不会出现，请问：（1）99在数表中共出现过几次？（2）最后一次位于哪里？（3）最小
的永不出现的数是多少？（1）答案：14
解析：由给出的数表我们可以观察出，每行99个连续自然数按由小到大的顺序排列，
每列从第二个数开始，每个数跟上一个数的差分别为1、2、3、4、5……，由于每行的
数按由小到大排列，所以只有每行的第一个数不大于 99时，99才会在此行出现，切出
现一次，那么我们按照每列之间的规律找到：1+1+2+3+4+……+13=92﹤99﹤
1+1+2+3+……+14=106，所以第14行的第一个数是92，第15行的第一个数是106，所
以前14行的每一行都会出现一次99，共14次。
（2）答案：第14行第8列
解析：有上题可知，99 最后一次出现在第 14 行，第 14 行第一个数是 92，99-
92+1=8，所以99最后一次应该是出现在第14行第8列。
（3）答案：5050
解析：由以上两题我们知道，每行 99个数，假设某一行的第一个数是 a，那从从a
至a+98这99个数都会出现，如果下一行的第一个数是 a+100，或大于a+100，那么
a+99这个数就永远不会出现。1+1+2+3+4+……+99+100=5051,5051-1=5050，所以最小
的永远不会出现的数是5050。
7．请写出5个不同的最简分数，分子都是2，而且这5个分数组成一个等差数列．
答案：、、、、
解析：设这5个分数的分母分别是a、b、c、d、e，通分之后应该是2a、2b、2c、2d、2e
的形式。由于是最简分数，且分子为2，所以a、b、c、d、e这5个分母都不可能是偶数，
而且构成一个等差数列，此时分母应为 a、b、c、d、e这5个数的最小公倍数，以1、3、
5、7、9来举例，[1,3,5,7,9]=315,这5个分数分别为：、、、、，化简即得、、、、
8．规定运算“Ω”对任意的 x、y、z 都满足 y Ω x = 5，x Ω (yΩz)=(xΩy) + z – 5，试求
2009Ω1949.
题目错误
