文档内容
第22讲 计数综合一
内容概述
巩固以前学过的各种方法，综合运用分类与分步思想、排列与组合公式及枚举法来解决较
复杂的计数问题；学会使用排阵法、捆绑法、插空法解决排队问题．
典型问题
兴趣篇
1．现有面值1元的钞票3张，面值5元的钞票1张，面值10元的钞票2张．如果从中取出
一些钞票(至少取1张)，可能凑出多少种不同的总钱数?
答案：23种
分析 ：根据题意，钱数的可能范围为1-28元，其中4元，9元，14元，19元，
24元是不可能出现的。
2．一本书从第1页开始编排页码，到最后一页结束时共用了1983个数码．这本书共有多
少页?
答案：697页
分析 ：根据题意，1-9页，每页1个数码；10-99页，每页2个数码；100页以
上，每页 3 个数码，1983-9×1-90×2=1794，1794÷3=598，598+90+9=697
（页）
3．费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇一起到圆明园游玩．他们四人站成一排照相，其中费叔叔
要站在最左边或者最右边，一共有多少种不同的站法?
答案：12种
分析 ：根据题意， ×2=12（种）
4．有13个球队参加篮球比赛．比赛分两个组，第一组 7个队，第二组6个队．各组内先
进行单循环赛(即每队都要与本组中其他各队比赛一场)，然后由两组的第1名再比赛一场
决定冠亚军．请问：一共需要比赛多少场?
答案：37场
分析： =37（种）
5．从5瓶不同的纯净水，2瓶不同的可乐和6瓶不同的果汁中，拿出2瓶不同类型的饮料，
共有多少种不同的选法?
答案：52种
分析： =52（种）
6．从4台不同型号的等离子电视和5台不同型号的液晶电视中任意取出3台，其中等离子
电视与液晶电视至少要各有1台，共有多少种不同的取法?
答案：70种
分析： （种）7．从1至9中取出7个不同的数，要求它们的和是36，共有多少种不同的取法?
答案：4种
分析：由于2+3+4+5+6+7+8=35，得出结果4种
8．用0、1、2、3、4这五个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数?
答案：96种
分析：4×4×3×2×1=96（种）
9．用两个1、一个2、一个3、一个4可以组成多少个不同的五位数?
答案：60个
分析： （种）
10．在所有不超过1000的自然数中，数字9一共出现了多少次?
答案：300次
分析：9在个位出现100次，在十位出现100次，在百位出现100次，100×3=300（次)
拓展篇
1．把自然数1至2008依次写成一排，得到一个多位数12345678910111213…0620072008．
请问：
(1)这个多位数一共有多少位?
(2)从左向右数，这个多位数的第2008个数字是多少?
答案：（1）6925位；（2）7
分析：（1）1-9，9 位；10-99，180 位，100-999，2700 位，1000-2008，4036 位，
9+180+2700+4036=6925（位）；（2）7
2．商场里举行抽奖活动，在一个大箱子里放着9个球．其中红色的、黄色的和绿色的球各
有3个，而且每种颜色的球都分别标有1、2、3号．顾客从箱子里摸出3个球，如果3个
球的颜色全相同或者各不相同，就可以中奖．已知这两种中奖方式分别被设定为一等奖和
二等奖，并且一等奖比二等奖少．问：到底哪种中奖方式是一等奖，哪种是二等奖呢?
答案：摸出3个颜色相同的是一等奖，摸出3个颜色各不相同的球是二等奖。
分析：颜色相同的种类是 ，颜色各不相同的种类是 。
3．工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：
(1)一共有多少种不同的抽法?
(2)抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种?
(3)抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种?
答案：（1）120种；（2）56种；（3）64种
分析：（1） （种）；（2） （种）；（3） （种）4．如图22-1，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形?
答案：80个
分析： （个）
5．6名学生和4名老师分成红、蓝两队拔河，要求每个队都是3名学生和2名老师，一共
有多少种分队的方法?
答案：120种
分析： （种）
6．10个人围成一圈，从中选出3个人．要求这3个人中恰有2人相邻，一共有多少种不同
选法?
答案：60种
分析： （种）
7．用0、1、2、3、4、5这六个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数?其中偶数有多
少个?
答案：300个，156个
分析：5×5×4×3=300（个）；5×4×3+2×4×4×3=156（个）
8．用l、2、3、4这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数?这些三位数的和是多
少?
答案：24个，6660
分析：4×3×2=24（个）；（1+2+3+4）×（600+60+6）=6660
9．用两个1、两个2、两个3可以组成多少个不同的六位数?
答案：90个
分析： （个）或 =90（个）
10．5名同学站成一排，在下列不同的要求下，请分别求出有多少种站法：
(1)5个人站成一排；
(2)5个人站成一排，小强必须站在中间；
(3)5个人站成一排，小强、大强必须有一人站在中间；(4)5个人站成一排，小强、大强必须站在两边；
(5)5个人站成一排，小强、大强都没有站在边上．
答案：（1）120种；（2）24种；（3）48种；（4）12种；（5）36种
分析：（1）（2）略；（3） （种）（4） （种）（5）
（种）
11．6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排．若A，B两人必须相邻，一共有多少种不
同的站法?若A、B两人不能相邻，一共有多少种不同的站法?
答案：240种；480种
分析： （种）； （种）
12．学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：
(1)如果要求男生不能相邻，一共有多少种不同的站法?
(2)如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法?
答案：144种；720种
分析： （种）； （种）
超越篇
1．有6种不同颜色的小球，请问：
(1)如果每种颜色的球都只有1个，从这些球中取出3个排成一列，共有多少种方法?
(2)如果每种颜色的球都只有1个，从这些球中取出3个装到袋中，共有多少种方法?
(3)如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出 3个排成一列，共有多少种方
法?
(4)如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出 3个装到袋中，共有多少种方
法?
答案：（1）120种；（2）20种；（3）216种；（4）56种
分析：（1） （种）；（2） （种）；（3） （种）；
（4） （种）
2．有一些四位数的4个数字分别是2个不同的奇数和2个不同的偶数，而且不含有数字
0．这样的四位数有几个?
答案：1440个
分析：（1） （个）
3．用l、2、3、4这四个数字组成四位数，至多允许有 1个数字重复两次．例如1234、
1233和2414是满足条件的，而1212、3334和3333都不满足条件．请问：一共能组成多少
个满足条件的四位数?
答案：168个分析：（1） （个）
4．四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由 2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．
请问：
(1)如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序?
(2)如果第一个和最后一个节目不能是小品，那么共有多少种不同的出场顺序?
答案：（1）144种；（2）1440种
分析：（1） （种）；（2） =1440（种）
5．在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．
而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的
排队方法?
答案：2520种
分析：根据题意，任意选出2个人，一定会有高低，所以 （种）
6．有9张同样大小的圆形纸片．其中标有数字“1”的纸片有1张；标有数字“2”的纸片
有2张；标有数字“3”的纸片有3张；标有数字“4”的纸片也有3张．把这9张圆形纸
片如图22-2所示放置在一起，要求标有相同数字的纸片不许靠在一起．请问：
(1)如果在M处放置标有数字“3”的纸片，一共有多少种不同的放置方法?
(2)如果在M处放置标有数字“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法?
答案：（1）6种；（2）12种
分析：（1）如果M放3，那么剩下的两个3必须放在最底下的左右两角，“4”必须是间
隔着放，剩下的3个选一个放1，所以 （种）；（2）同理，M放2，另一个2只
能放左，右下角，再按剩下的一个角是否放1分类，所以 （种）
7．从三个0、四个1、五个2中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数?
答案：159个
分析：三进制法（从 10000-22222），不能出现的有 10000，20000，11111，所以
8．8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间(不一定相邻)，小慧和大智不能相邻，小
光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种?
答案：2400种
分析：根据题意，先排冬冬小悦和阿奇，然后再排没出现名字的那个人，再排小光和大亮（捆绑，算一个人），最后再把小慧和大智插空排列，所以 （种）
