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2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小
高组C卷）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）计算： + ＝ ．
2．（10分）在右边的算式中，每个汉字代表0至9这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数
字、不同汉字代表不同数字．则“数学竞赛”所代表的四位数是 ．
3．（10分）如图，在直角三角形ABC中，点F在AB上且 AF＝2FB，四边形EBCD是平行四
边形，那么FD：EF为 ．
4．（10分）如图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图，上面
标出了若干个点．一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面．如果蚂蚁
向上爬行的速度为每秒2厘米，向下爬行的速度为每秒3厘米．水平爬行速为每秒4厘米．
则蚂蚁至少爬行了 秒．
5．（10分）设 a，b，c，d，e 均是自然数，并且 a＜b＜c＜d＜e，a+2b+3c+4d+5e＝300，则 a+b
的最大值为 ．
6．（10分）现有甲、乙、丙三个容量相同的水池．一台A型水泵单独向甲水池注水，一台B型
水泵单独向乙水池注水，一台A型和一台B型水泵一起向丙水池注水．已知注满乙水池比
第1页（共13页）注满丙水池所需时间多4个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多5个小时，则注满
丙水池的三分之二需要 个小时．
7．（10分）用八块棱长为1cm的小正方块堆成一立体，其俯视图如右图所示，问共有
种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）．
8．（10分）如图，在三角形ABC中，AF＝2BF，CE＝3AE，CD＝4BD．连接CF交DE于P点，
求 的值 ．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）有三个农场在一条公路边，分别在如图所示的A，B和C处．A处农场年产小麦50
吨，B处农场年产小麦10吨，C处农场年产小麦60吨．要在这条公路边修建一个仓库收买
这些小麦．假设运费从A到C方向是每吨每千米1.5 元，C到A方向是每吨每千米1元．
问仓库应该建在何处才能使运费最低？
10．（10分）把 ， ，…， ， 中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以
2014为分母的所有分数的和是多少？
11．（10分）上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见图的（a），（b）和（c）．现有 5 块一
颗星，2块两颗星和1块三颗星的积木，如果用若干个这些积木组成一个五颗星的长条，
那么一共有多少种不同的摆放方式？（如图（d）是其中一种摆放方式）．
12．（10分）某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数．
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）如图，圆周上均匀地标出十个点．将1～10这十个自然数分别放到这十个点上．
第2页（共13页）用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把1～10分成两组．对每种
摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式．对于每种分组都有一个两组数和的乘积，记
五个积中最小的值为K．问所有的摆放中，K最大为多少？
14．（15分）将每个最简分数 （其中m，n 互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如
下：
（1）将1染成红色； （2）相差为1的两个数颜色不同，（3）不为1的数与其倒数颜色不同．
问： 和 分别染成什么颜色？
第3页（共13页）2014 年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试
卷（小高组 C 卷）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）计算： + ＝ 1 ．
【分析】把繁分数的分子分母中的算式分别化简，然后根据分数的基本性质解答即可．
【解答】解： +
＝ +
＝ +
＝1；
故答案为：1．
2．（10分）在右边的算式中，每个汉字代表0至9这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数
字、不同汉字代表不同数字．则“数学竞赛”所代表的四位数是 196 2 ．
【分析】（1）如果百位不退位，四位数减四位数，差的千位、百位为0，所以“数学”＝20，
再看后两位，竞赛+竞赛＝24，所以“竞赛”＝24÷2＝12，据此即可写出“数学竞赛”所
代表的四位数；如何判断是否符合题意．
（2）如果百位退位，则易得“数学”＝19，再看后两位，则竞赛+竞赛＝2024﹣1900＝124，
所以“竞赛”＝124÷2＝62，据此即可写出“数学竞赛”所代表的四位数．
【解答】解：（1）如果百位不退位，因为四位数减四位数，差的千位、百位为0，
所以“数学”＝20；
再看后两位，竞赛+竞赛＝24，
第4页（共13页）所以“竞赛”＝24÷2＝12；
所以，“数学竞赛”所代表的四位数是：2012，因为有重复的数字“2”，所以不符合题意，
要舍去．
（2）如果百位退位，则“数学”＝19，
再看后两位，则竞赛+竞赛＝2024﹣1900＝124，
所以“竞赛”＝124÷2＝62，
所以，“数学竞赛”所代表的四位数是：1962．
答：“数学竞赛”所代表的四位数1962．
故答案为：1962．
3．（10分）如图，在直角三角形ABC中，点F在AB上且 AF＝2FB，四边形EBCD是平行四
边形，那么FD：EF为 2 ： 1 ．
【分析】因为AF＝2FB，所以AF：FB＝2：1，因为四边形EBCD是平行四边形，所以
BE∥AC，所以△ADF∽△BEF，所以FD：EF＝AF：FB＝2：1，据此解答即可．
【解答】解：因为AF＝2FB，
所以AF：FB＝2：1，
因为四边形EBCD是平行四边形，
所以BE∥AC，
则∠ADF＝∠BEF，∠EFB＝∠DFA，
所以△ADF∽△BEF，
所以FD：EF＝AF：FB＝2：1，
故答案为：2：1．
4．（10分）如图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图，上面
标出了若干个点．一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面．如果蚂蚁
向上爬行的速度为每秒2厘米，向下爬行的速度为每秒3厘米．水平爬行速为每秒4厘米．
则蚂蚁至少爬行了 3 6 秒．
第5页（共13页）【分析】由图可知：先让蚂蚁向上爬一个长，然后再水平爬5个宽，再向下爬一个长，再水
平爬2个长，向上爬1个长，再水平爬5个宽，最后再乡下爬1个长即可．
【解答】解：所爬路线如图：
（5×4×2+2×12）÷4
＝64÷4
＝16（秒）
12×2÷2＝12（秒）
12×2÷3＝8（秒）
16+12+8＝36（秒）
答：蚂蚁至少爬行了36秒．
故答案为：36．
5．（10分）设 a，b，c，d，e 均是自然数，并且 a＜b＜c＜d＜e，a+2b+3c+4d+5e＝300，则 a+b
的最大值为 3 5 ．
【分析】a，b，c，d，e 均是连续的自然数也符合题意，假设分别是：1、2、3、4、5，则，
a+2b+3c+4d+5e＝55，每个数增加1，则a+2b+3c+4d+5e的和增加15；然后看（300﹣55）看
有几个15；再结合余数即可确定a、b的值．
【解答】解：如果 a，b，c，d，e 均是连续的自然数也符合题意，
假设分别是：1、2、3、4、5，
则，a+2b+3c+4d+5e
＝1+2×2+3×3+4×4+5×5
＝55
如果它们都再加上1，则总和将会增加：
1+2+3+4+5＝15
第6页（共13页）（300﹣55）÷15＝16…5
余数是5，只能加在e上，
所以，a＝1+16＝17，b＝2+16＝18，
所以，a+b 的最大值为：17+18＝35．
答：a+b 的最大值为35．
故答案为：35．
6．（10分）现有甲、乙、丙三个容量相同的水池．一台A型水泵单独向甲水池注水，一台B型
水泵单独向乙水池注水，一台A型和一台B型水泵一起向丙水池注水．已知注满乙水池比
注满丙水池所需时间多4个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多5个小时，则注满
丙水池的三分之二需要 4 个小时．
【分析】首先根据题意，设注满乙水池所需时间为x小时，则注满甲水池所需时间为x+5小
时，注满丙水池所需时间为x﹣4小时，再根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别用1除
以x+5、x，求出一台A型水泵和一台B型水泵每小时各注水几分之几；然后根据：一台A
型水泵的工作效率+一台B型水泵的工作效率＝1÷注满丙水池所需时间，列出方程，求出
x的值，再用x减去4，求出注满丙水池所需时间是多少，再用它乘以 ，求出注满丙水池
的三分之二需要多少小时即可．
【解答】解：设注满乙水池所需时间为x小时，
则注满甲水池所需时间为x+5小时，注满丙水池所需时间为x﹣4小时，
+ ＝
（ + ）x（x﹣4）（x+5）＝ •x（x﹣4）（x+5）
x（x﹣4）+（x﹣4）（x+5）＝x（x+5）
2x2﹣3x﹣20＝x2+5x
x2﹣8x﹣20＝0
解得x＝10或x＝﹣2（舍去）
（10﹣4）×
＝6×
＝4（小时）
第7页（共13页）答：注满丙水池的三分之二需要4个小时．
故答案为：4．
7．（10分）用八块棱长为1cm的小正方块堆成一立体，其俯视图如右图所示，问共有 1 0
种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）．
【分析】俯视图相同，均为四个方格的正方形，共有8个小正方形，最下面一层必为四个小
方格，可以分层讨论，得出总的不同堆法，求得总数．
【解答】解：根据分析，若分为两层堆放，为4+4堆放，有1种堆法；
分为3层堆放，1+3+4时，有4种堆法，2+2+4时，有2种堆法；
分为4层堆放，4+2+1+1堆放，有2种堆法；
分为5层堆放，4+1+1+1+1堆放，有1种堆法，
综上，共有10种堆法．
故答案是：10
8．（10分）如图，在三角形ABC中，AF＝2BF，CE＝3AE，CD＝4BD．连接CF交DE于P点，
求 的值 ．
【分析】连接EF，DF，则根据风筝模型，有：S△EFC ：S△FDC ＝EP：PD，只要求出S△EFC 和
S△FDC 的比即可求出EP：PD，从已知的线段之间的比例关系，可以算出面积之比，可以求
得△EFC和△FDC分别与△ABC的面积比，从而最后求得EP：PD的值．
【解答】解：根据分析，如图，连接EF，DF，则根据风筝模型，有：S△EFC ：S△FDC ＝EP：PD
又∵AF＝2BF∴S△AFC ：S△BFC ＝AF：BF＝2：1 ， ；
⇒
同理：CE＝3AE S△EFC ：S△AEF ＝EC：AE＝3：1
⇒ ⇒
＝ ；
第8页（共13页）CD＝4BD S△CDF ：S△BDF ＝CD：BD＝4：1 ＝
⇒ ⇒
故：EP：PD＝S△EFC ：S△FDC＝ ．
故答案是： ．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）有三个农场在一条公路边，分别在如图所示的A，B和C处．A处农场年产小麦50
吨，B处农场年产小麦10吨，C处农场年产小麦60吨．要在这条公路边修建一个仓库收买
这些小麦．假设运费从A到C方向是每吨每千米1.5 元，C到A方向是每吨每千米1元．
问仓库应该建在何处才能使运费最低？
【分析】分两种情况讨论，即：（1）假设在AB之间建立仓库；（2）假设在BC之间建立仓库；
分别列出方程解答即可．
【解答】解：（1）假设在AB之间建立仓库，设到A的距离为x千米．那么总费用为：
50x×1.5+10×（500﹣x）×1+60×（1700﹣x）×1
整理得到：5x+107000
为了使这个总费用最小，
由于107000一定了，所以要让5x尽量小，
所以x＝0，即设在A点总费用最低．
（2）假设在BC之间建立仓库，设距离B点y千米处． 那么总费用为：
50（500+y）×1.5+1.5×10y+60（1200﹣y）×1
第9页（共13页）整理得到：109500+30y，
同理，y＝0，最小费用为109500，此时设在B点．
107000＜109000．
综上所以设在A点运费最低，最低费用为107000元．
答：仓库应该建在A处才能使运费最低．
10．（10分）把 ， ，…， ， 中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以
2014为分母的所有分数的和是多少？
【分析】因为2014＝2×1007＝2×19×53，分别求出2、19、53、2×19、2×53、19×53、2×19×53
的倍数有多少个，进而求出分母不是2014的个数，进而得解．
【解答】解：2014＝2×1007＝2×19×53，
2的倍数：1007个，
19的倍数：106个，
53的倍数：38个，
2×19的倍数：53个，
2×53的倍数：19个，
19×53的倍数：2个，
2×19×53的倍数：1个，
分母不是2014的共有：
1007+106+38﹣53﹣19﹣2+1＝1078（个），
不包括 ，那么共：1078﹣1＝1077（个）．
每2个和为1，分母是2014的最简分数共：
2013﹣1077＝936（个）
和为：936÷2＝468．
11．（10分）上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见图的（a），（b）和（c）．现有 5 块一
颗星，2块两颗星和1块三颗星的积木，如果用若干个这些积木组成一个五颗星的长条，
那么一共有多少种不同的摆放方式？（如图（d）是其中一种摆放方式）．
【分析】通过分析可知：分下列几种情况
第10页（共13页）5＝1+2+2，此类为3个选一个， 5＝1+1+1+1+1，此类只有1种； 5＝2+3，此类为2
①个选一个， ② ③
5＝3+1+1，此类为3个选一个； 5＝2+1+1+1，此类为，4个选一个；把这几种情况相
④加， ⑤
据此解答即可．
【解答】解： 5＝1+2+2，此类为3个选一个，有C 1＝3种；
3
5＝1+1+1+1①+1，此类只有1种；
②5＝2+3，此类为2个选一个，有C
2
1＝2种
③5＝3+1+1，此类为3个选一个，有C
3
1＝3种；
④5＝2+1+1+1，此类为4个选一个，有C
4
1＝4种；
⑤一共：3+1+2+3+4＝13种
答：一共有13种不同的摆放方式．
12．（10分）某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数．
【分析】设这个自然数减去39得到a2，减去144得到b2，由题意可得a2+39＝b2+144，化简
可得：a2﹣b2＝105，（a+b）（a﹣b）＝105，把105分解质因数，105＝3×5×7，然后把因数3、
5、7组合，可得：（a+b）、（a﹣b）有四种对应取值，然后进一步解方程组即可．
【解答】解：设这个自然数减去39得到a2，减去144得到b2，由题意可得：
a2+39＝b2+144，
即，a2﹣b2＝105，
（a+b）（a﹣b）＝105，
105＝3×5×7，
所以，（a+b）、（a﹣b）有四种对应取值：
， ， ， ，
相对应求得四组符合题意的解是：
， ， ， ，
所以这个自然数可以是：
112+39＝160，
132+39＝208，
192+39＝400，
532+39＝2848，
第11页（共13页）答：此自然数可以是160、208、400、2848．
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）如图，圆周上均匀地标出十个点．将1～10这十个自然数分别放到这十个点上．
用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把1～10分成两组．对每种
摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式．对于每种分组都有一个两组数和的乘积，记
五个积中最小的值为K．问所有的摆放中，K最大为多少？
【分析】这10个数无论怎样摆放，它们的和是不变的，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝55，分成
两组，分成的两组数的和越接近，所要求的积就越大．
【解答】解：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝55
55＝27+28
所以只要将10个数分成和是27和28的两部分，此时的积是27×28＝756
答：所有的摆放中，K最大是756．
14．（15分）将每个最简分数 （其中m，n 互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如
下：
（1）将1染成红色； （2）相差为1的两个数颜色不同，（3）不为1的数与其倒数颜色不同．
问： 和 分别染成什么颜色？
第12页（共13页）【分析】首先分析1是红色，那么2是蓝色，可得奇数是红色，偶数是蓝色，再根据不为1的
数与其倒数颜色不同倒过来即可．
【解答】解：依题意可知：
数字2和1的颜色不同，那么数字2是蓝色．根据染色规律可知奇数是红色，偶数是蓝色．
7涂的是红色，又知 与7的颜色不同，所以 是蓝色的．
2014是偶数， 就涂的是红色． 就是红色的．
综上所述． 是红色的， 是蓝色的．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 10:46:29；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第13页（共13页）
