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2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小
高组D卷）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）如图，边长为12米的正方形池塘周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一根木桩，
且AB＝BC＝CD＝3米，现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上，为了使羊在
草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在 处的木桩上．
2．（10分）在所有是20的倍数的自然数中，不超过3000并且是14的倍数的数之和是
．
3．（10分）从1～8这八个自然数中，任取三个数，其中没有连续自然数的取法有 种．
4．（10分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹
红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这
个剪影的面积为 平方厘米．
5．（10分）如果 ﹣ ＜ 成立，则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为
．
6．（10分）如图，三个圆交出七个部分．将整数1～7分别填到七个部分中，要求每个圆内的
四个数字的和都相等．那么和的最大值是 ．
第1页（共13页）7．（10分）学校组织482人去郊游，租用42座大巴和20座中巴两种汽车．如果要求每人一座
且每座一人，则有 种租车方案．
8．（10分）长为 4 的线段AB上有一动点C，等腰三角形ACD和等腰三角形BEC在过AB的
直线同侧，AD＝DC，CE＝EB，则线段DE的长度最小为 ．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）把n个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含
正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形
纸片一边的中点上．如图给出了n＝6时所有的不同放置方法，那么n＝8 时有多少种不
同放置方法？
10．（10分）有一个杯子装满了浓度为15%的盐水，有大、中、小铁球各一个，它们的体积比为
10：5：3，首先将小球沉入盐水杯中，结果盐水溢出10%，取出小球，其次把中球沉入盐水
杯中，又将它取出，接着将大球沉入盐水杯中后取出，最后在杯中倒入纯水至杯满为止，
此时杯中盐水的浓度是多少？
11．（10分）清明节同学们乘车去烈士陵园扫墓，如果汽车行驶1个小时后将车速提高五分之
一，就可以比预定时间提前10分钟赶到；如果该车先按原速行驶60千米，再将速度提高
三分之一，就可以比预定时间提前20分钟赶到．那么从学校到烈士陵园有多少千米？
12．（10分）如图，在三角形ABC中，AF＝2BF，CE＝3AE，CD＝2BD，连接CF交DE于P点，
求 的值．
第2页（共13页）三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）从连续自然数1，2，3，…，2014中取出n个数，使这n个数满足：任意取其中两个
数，不会有一个数是另一个数的7倍．试求n的最大值，并说明理由．
14．（15分）在右边的算式中，字母a，b，c，d和“□”代表十个数字0到9中的一个，其中a，
b，c，d四个字母代表□□□□不同的数字，求a，b，c，d代表的数字之和．
第3页（共13页）2014 年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试
卷（小高组 D 卷）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）如图，边长为12米的正方形池塘周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一根木桩，
且AB＝BC＝CD＝3米，现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上，为了使羊在
草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在 B 处的木桩上．
【分析】分别把A、B、C、D这四个点为圆心的扇形面积算出来，再进行比较即可选择出正
确答案．
【解答】解： S ＝ ×42+× ×（4﹣3）2＝8.25 （平方米）；
A
① π π π
S ＝ ×42＝12 （平方米）；
B
② π π
S ＝ ×42+ × ×（4﹣3）2＝8.25 （平方米）；
C
③ π π π
S ＝ ×42＝8 （平方米），
D
④ π π
＜8.25 ＜12 ，
π所以为了π使羊π在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在B处的木桩上．
故答案为：B．
2．（10分）在所有是20的倍数的自然数中，不超过3000并且是14的倍数的数之和是
32340 ．
【分析】在所有20的倍数中不超过2014并且是14的倍数最小是140，最大是2940，共21
个，然后根据“高斯求和”的方法解答．
【解答】解：20＝2×2×5
第4页（共13页）14＝2×7
20和14的最小公倍数是：2×2×5×7＝140
3000÷140≈21.4
140×21＝2940
所以在所有20的倍数中不超过3000并且是14的倍数最小是140，最大是2940，共21个，
（140+2940）×21÷2
＝3080×21÷2
＝32340．
答：在所有是20的倍数的自然数中，不超过3000并且是14的倍数的数之和是32340．
故答案为：32340．
3．（10分）从1～8这八个自然数中，任取三个数，其中没有连续自然数的取法有 2 0 种．
【分析】首先取3个所有的方法有 ＝56种
连续的有两个连续另外一个不连续，如果这两个连续的数在两端，是12或78，则各有5种
不同的方法，
如：124，125，126，127，128，
如果这两个两个数在中间，是23、34、45、56、67，则各有4种不同的方法，
如：235，236，237，238；
这样一共有5×2+5×4种方法；
三个连续的有123，234，345，456，567，678，6种情况；
用总种数减去有连续自然数的种数，就是符合要求的数．
【解答】解： ＝ ＝56（种）
有两个连续数的可能是：
5×2+5×4＝30（种）
有三个连续的数的可能有6种：
56﹣30﹣6＝20（种）
答：没有连续自然数取法为20种．
故答案为：20．
4．（10分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹
红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这
个剪影的面积为 5 6 平方厘米．
第5页（共13页）【分析】按题意，可以将图中剪影分割成若干部分，然后标出每部分的面积，利用剪切和拼
接的性质求得每部分的面积，最后求和．
【解答】解：根据分析，如图，将剪影分割，
通过分割和格点面积公式可得小马剪影的总面积
＝0.5+3+16+2+1+2.5+3+0.5+1.5+12+3+2+0.5+3+0.5+1+2+1.5+0.5＝56（平方厘米）
故答案是：56．
5．（10分）如果 ﹣ ＜ 成立，则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为
393 ．
【 分 析 】 将 不 等 式 ﹣ ＜ 的 左 右 通 分 ， 分 母 变 成 55×□ ， 即
，则5×○×□﹣385＜44×□，即5×○×□﹣44×□＜385，□×
（5×○﹣44）＜385，当5×○和44约接近时，□的值越大，所以○＝9时，□的值最大；据此
第6页（共13页）解答即可．
【解答】解：将不等式 ﹣ ＜ 的左右通分，
即， ，
则，5×○×□﹣385＜44×□，
即，5×○×□﹣44×□＜385，
□×（5×○﹣44）＜385，
当5×○和44约接近时，□的值越大，
所以○＝9时，□的值最大，
□×（5×9﹣44）＜385
□＜385
□最大是384，
所以，当○＝9，□＝384时，两数之和最大，
即，○+□＝9+384＝393．
答：“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为393．
故答案为：393．
6．（10分）如图，三个圆交出七个部分．将整数1～7分别填到七个部分中，要求每个圆内的
四个数字的和都相等．那么和的最大值是 1 9 ．
【分析】因为使得每个圆内的四个数字的和都相等，且和最大值时，7最大，就把7写在最
中间，还剩的3个较大数字6、5、4，填在两圆公共的部分，最后剩下的1、2、3；1与7、6、5
结合；2与7、6、4结合；3与7、5、4结合，那么每个圆内的四个数字的和都是19，据此解答
即可．
【解答】解：根据分析可得，
所以和的最大值是 19．
第7页（共13页）故答案为：19．
7．（10分）学校组织482人去郊游，租用42座大巴和20座中巴两种汽车．如果要求每人一座
且每座一人，则有 2 种租车方案．
【分析】设42座大巴x辆，20座中巴y辆，依题意有：
42x+20y＝482，求方程的整数解，即得答案．
【解答】设42座大巴x辆，20座中巴y辆，依题意有：
42x+20y＝482，两边除以2有：21x+10y＝241
10y个位数字是0，所以21x的个位数字是1，x只能取1或11，x＝1时，y＝22；x＝11时，y
＝1．
所以有2种租车方案．
达：有2钟租车方案．
8．（10分）长为 4 的线段AB上有一动点C，等腰三角形ACD和等腰三角形BEC在过AB的
直线同侧，AD＝DC，CE＝EB，则线段DE的长度最小为 2 ．
【分析】根据题意画出图1，此时要使DE的长最短，就要调整两个等腰三角形的高度，当
两个等腰三角形一样高的时候DE之间的长度才最小，如图2
【解答】解：
因为等腰三角形是轴对称图形，所以可以将图2沿两条高对折，不难得出DE的长度实际
上是AB的一半
4÷2＝2
故此题填2．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）把n个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含
正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形
纸片一边的中点上．如图给出了n＝6时所有的不同放置方法，那么n＝8 时有多少种不
第8页（共13页）同放置方法？
【分析】可以分层讨论各种可能的情况，然后求和汇总，由于n＝8时，最多只能分3层放置，
故不难求得总共的不同的放置方法．
【解答】解：根据分析，分层数不同讨论：
层数为2时，7+1有6种；6+2有4种；5+3有2种；
①层数为3时，5+2+1有3种；4+3+1有2种；
②故总共只有：6+4+2+3+2＝17种．
故答案是：17．
10．（10分）有一个杯子装满了浓度为15%的盐水，有大、中、小铁球各一个，它们的体积比为
10：5：3，首先将小球沉入盐水杯中，结果盐水溢出10%，取出小球，其次把中球沉入盐水
杯中，又将它取出，接着将大球沉入盐水杯中后取出，最后在杯中倒入纯水至杯满为止，
此时杯中盐水的浓度是多少？
【分析】溢出水量实际就是大球的体积，即整杯盐水的10%× ＝ ，所以倒满水后浓度
变为 ，据此解答即可．
【解答】解：10%× ＝ ，
＝ ＝10%，
答：此时杯中盐水的浓度是10%．
11．（10分）清明节同学们乘车去烈士陵园扫墓，如果汽车行驶1个小时后将车速提高五分之
一，就可以比预定时间提前10分钟赶到；如果该车先按原速行驶60千米，再将速度提高
三分之一，就可以比预定时间提前20分钟赶到．那么从学校到烈士陵园有多少千米？
【分析】先求出行驶1个小时后的预定时间，所用的时间就是预定时间的1÷（1+ ）＝ ，
则预定时间是10÷（1﹣ ）＝60分钟，所以全程的预定时间就是1小时+60分钟＝120分
第9页（共13页）钟；再求出所用时间，所用时间就是预定时间的1÷（1+ ）＝ ，即提前120×（1﹣ ）＝30
分钟，最后求出60千米所对应的分率即1﹣ ，解答即可．
【解答】解：如果行驶1个小时后，将车速提高五分之一，则行驶1个小时后所用的时间就
是预定时间是1÷（1+ ）＝ ，
则预定时间是10÷（1﹣ ）＝60分钟，所以全程的预定时间就是1小时+60分钟＝120分
钟；
如果该车先按原速行驶60千米，再将速度提高三分之一，则所用时间就是预定时间的1÷
（1+ ）＝ ，即提前120×（1﹣ ）＝30分钟，
但实际却提前了20分钟，说明有20÷30＝ 的路程提高了速度，
60÷（1﹣ ）
＝60÷
＝180（千米），
答：从学校到烈士陵园有180千米．
12．（10分）如图，在三角形ABC中，AF＝2BF，CE＝3AE，CD＝2BD，连接CF交DE于P点，
求 的值．
第10页（共13页）【 分 析 】 如 图 ， 连 接 DF ， 根 据 已 知 推 出
△BFD≌△BAC，推出∠BDF＝∠BCA，求出DF∥CA， ＝ ，求出 ＝ ， ＝ ，根
据平行线分线段成比例定理得出即可．
【解答】解：
连接DF，
因为AF＝2BF，
CD＝2BD，
所以 ＝ ＝ ，
因为∠B＝∠B，
所以△BFD≌△BAC，
所以∠BDF＝∠BCA，
所以DF∥CA，
＝ ，
因为CE＝3AE，
所以 ＝ ，
所以 ＝ ，
第11页（共13页）因为DF∥CA，
所以 ＝ ＝ ．
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）从连续自然数1，2，3，…，2014中取出n个数，使这n个数满足：任意取其中两个
数，不会有一个数是另一个数的7倍．试求n的最大值，并说明理由．
【分析】首先将这些数分组
4个数的有5组：{1，7，49，343}，{2，14，98，686}，{3，21，147，1029}{4，28，196，1372}{5，
35，245，1715}
3个数的有{6，42，294}{8，56，392}{9，63，441}…{41，287，2009}注意第一个数跳过7、
14、21、28、35等数，共有41﹣6+1﹣5＝31组．
2个数的有{43，301}{44，308}…{286，2002}，注意跳过前面出现的数，即49、98、147、
196、245、56、63、…280等34个数，因此2个数的有286﹣43+1﹣34＝210组
【解答】解：
由分析可知：{1，7，49，343}，{2，14，98，686}，…{286，2002}共246组数里，在前五组中每
组至多能取2个，至少有10个不能取，在有3个数的组里，共至少有31个不能取，在2个
数组里至少有210个不能取，
故最多能取2014﹣10﹣31﹣210＝1763个数，在这1763个数中，
答：任取其中2个，不会有一个数是另一个数的7倍，n的最大值为1763．
14．（15分）在右边的算式中，字母a，b，c，d和“□”代表十个数字0到9中的一个，其中a，
b，c，d四个字母代表□□□□不同的数字，求a，b，c，d代表的数字之和．
【分析】首先分析四位数减去三位数的结果是个位数，那么情况是可以枚举出来的，分情
况排除即可．
【解答】解：依题意可知：
四位数﹣三位数＝2只能有2种可能，1000﹣998＝2或者1001﹣999＝2．
那么要求5+c＝9，a+4＝9．所以a＝5，c＝4．所以b+d的结果可以为10也可为11．
那么a+b+c+d的结果为19或20．
第12页（共13页）综上所述答案为19或20．
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日期：2019/5/7 10:47:08；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第13页（共13页）
