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专题 65 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
授课提示：对应学生用书103页
1．如图所示，虚线上方存在垂直纸面的匀强磁场(具体方向未知)，磁感应强度大小为
B，一比荷为k的带负电粒子由虚线上的M点垂直磁场射入，经过一段时间该粒子经过N
点(图中未画出)，速度方向与虚线平行向右，忽略粒子的重力．则下列说法正确的是( )
A．磁场的方向垂直纸面向外
B．粒子由M运动到N的时间为
C．如果N点到虚线的距离为L，则粒子在磁场中圆周运动半径为2L
D．如果N点到虚线的距离为L，则粒子射入磁场的速度大小为kBL
答案：C
解析：根据题意作出粒子的运动轨迹如图所示
根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里，A错误；粒子由M运动到N时速度方向
改变了60°，所以粒子在该段时间内运动轨迹对应的圆心角为α＝60°，则粒子由M到N运
动的时间为t＝T，又粒子在磁场中的运动周期为T＝，整理得t＝，B错误；如果N点到虚
线的距离为L，根据几何关系有cos α＝，解得R＝2L，又R＝，代入数据解得v＝2kBL，
D错误，C正确．
2．[2024·安徽省合肥市期末考试]如图所示，在正方形abcd区域内有垂直纸面向里的
匀强磁场，一带正电粒子从a点沿ab方向射入磁场中，当入射速度大小小于或等于v时，
粒子在该磁场区域运动时间最长，且最长时间为 t.若其他条件均不变，当入射粒子的速度
大小为4v时，则该粒子在磁场中的运动时间为( )
A． B．
C． D．
答案：D
解析：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m，qvB＝mT，整理有r＝，T＝，从a点沿ab方向进入磁场中的粒子，在磁场中运动的最长时间为半个周期，对应的最
大半径是正方形边长的一半，即速度是v时，粒子做圆周的半径等于正方形边长的一半，
从d点射出磁场．圆心角是π，根据＝，整理有t＝，当入射速度是4v时，由上述公式可知
周期不变，半径变为原来的4倍，即是正方形边长的两倍，粒子将从bc边离开磁场，利用
几何知识可知，对应的圆心角是，由上述分析有＝，整理有t′＝＝t，D正确．
3．(多选)如图所示，在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，
一质量m＝5.0×10－8 kg、电荷量q＝1.0×10－6 C的带正电粒子以20 m/s的速度从P点沿
图示方向进入磁场，速度方向与y轴负方向之间的夹角为37°，已知OP＝40 cm，不计带
电粒子的重力，sin 37°＝0.6，若粒子不能进入x轴上方，则磁感应强度B可能的取值为(
)
A．2 T B．3 T
C．4 T D．5 T
答案：CD
解析：带电粒子恰好不能进入x轴上方时粒子的运动轨迹如图所示，由几何关系得
OP＝R＋R sin 37°，由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，联立解得B＝4 T．若粒子
不能进入x轴上方，磁感应强度需满足B≥4 T，C、D正确．
4．(多选)如图所示，P、Q为一对平行板，板长与板间距离均为d，板间区域内充满匀
强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．一质量为m、电荷量为q的粒子(重力
不计)，以水平初速度v 从P、Q两板间左侧中央沿垂直磁场方向射入，粒子打到板上，则
0
初速度v 大小可能为( )
0
A． B． C． D．
答案：BC
解析：若粒子恰好打到板左端，由几何关系可得r ＝，由洛伦兹力作为向心力关系可
1
得qBv ＝m，解得v ＝，若粒子恰好打到板右端，由几何关系可得r＝d2＋(r －)2，解得r
1 1 2 2
＝，由洛伦兹力提供向心力得qBv ＝m，解得v ＝，粒子打到板上，则初速度v大小范围
2 2是≤v≤，B、C正确．
0
5．[2024·黑龙江省肇东市期末考试]如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面
向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，AC、DE是圆的两条互相垂直的直径，质量为
m、电荷量为q的带负电粒子，从A点沿纸面与AC成45°斜向上射入磁场后，恰好从D点
离开，不计粒子受到的重力，则粒子射入磁场时的速度大小为( )
A． B．
C． D．
答案：B
解析：粒子从A点沿纸面与AC成45°斜向上射入磁场后，恰好从D点离开，可知轨
迹圆心在AD中点处，由几何关系可得r＝R，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，解得v
＝，B正确．
6．如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场．一带电粒子在P点以与x轴
正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场．已知带电粒子质量为m、
电荷量为q，OP＝a.不计重力．根据上述信息可以得出( )
A．带电粒子在磁场中运动的轨迹方程
B．带电粒子在磁场中运动的速率
C．带电粒子在磁场中运动的时间
D．该匀强磁场的磁感应强度
答案：A
解析：粒子恰好垂直于y轴射出磁场，
做两速度的垂线交点为圆心O，轨迹如图所示．
1
由几何关系可知OO ＝a tan 30°＝a，R＝＝a，因圆心的坐标(0，a)，则带电粒子在磁
1
场中运动的轨迹方程为x2＋(y－a)2＝a2，A正确；洛伦兹力提供向心力，设磁感应强度为
B，有qvB＝m，解得带电粒子在磁场中运动的速率为v＝，因轨迹圆的半径R可求出，但
磁感应强度B未知，则无法求出带电粒子在磁场中运动的速率，B、D错误；带电粒子做
圆周运动的圆心角为π，而周期为T＝＝，则带电粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝，因
磁感应强度B未知，则运动时间无法求得，C错误．7．[2024·甘肃省兰州市月考]中国环流器二号M装置(HL－2M)在成都建成并实现首次
放电，该装置通过磁场将粒子约束在小范围内实现核聚变．其简化模型如图所示，半径为
R和R的两个同心圆之间的环形区域存在与环面垂直的匀强磁场，核聚变原料氕核(H)和氘
核(H)均以相同的速率从圆心O沿半径方向射出，全部被约束在大圆形区域内．则氕核在磁
场中运动的半径最大为( )
A．R B．R
C．R D．(－1)R
答案：A
解析：依题意，氕核、氘核全部被约束在大圆形区域内，根据qvB＝m得r＝，由于二
者速度相同，根据半径与比荷的关系，可知氕核、氘核在磁场中的轨迹半径之比为 1∶2.当
氘核在磁场中运动轨迹刚好与磁场外边界相切时，氘核运动轨迹半径最大，由几何知识得
(R－r )2＝r＋R2，求得氘核的最大半径为r ＝R，氕核在磁场中运动的最大半径为r′ ＝
max max max
r ＝R，A正确．
max
8.
(多选)如图所示，两方向相反，磁感应强度大小均为 B的匀强磁场被边长为L的等边
三角形ABC边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点 A处由一质子源，
能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质
子比荷＝，则质子的速度可能为( )
A． B． C． D．
答案：ABD
解析：质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示
所有圆弧所对圆心角均为60°，所以质子运动半径为r＝(n＝1，2，3，…)，质子在磁
场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得 qvB＝m，解得v＝＝(n＝1，2，3，…)，
故A、B、D正确，C错误．9.
(多选)如图所示，三个半径均为R的圆形区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，圆形区域两两相切，圆心
分别为O 、O 、O ，三个圆形区域内均存在垂直纸面的匀强磁场，其中区域Ⅰ、Ⅲ内存在
1 2 3
垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度均为 B ，一粒子以速度v 沿OO 方向从区域Ⅰ边
0 0 1 3
界进入磁场，通过三个区域后沿OO 方向从区域Ⅲ边界射出，已知粒子电量为q，质量为
1 3
m，不考虑重力，则以下说法正确的是( )
A．区域Ⅱ磁场方向垂直纸面向里
B．区域Ⅱ磁感应强度大小为3B
0
C．粒子从进入磁场到离开磁场所用时间为
D．粒子在区域Ⅱ中轨道半径是在区域Ⅰ中轨道半径的3倍
答案：BC
解析：根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示．
粒子沿OO 方向从区域I边界进入磁场，通过三个区域后沿OO 方向从区域Ⅲ边界射
1 3 1 3
出，根据左手定则，可知区域Ⅱ磁感应强度方向垂直纸面向外，A项错误；三圆心构成等
边三角形，可知粒子在区域Ⅰ、Ⅲ内各转过60°角，由几何关系得tan 30°＝，在区域Ⅱ转
过120°角，由几何关系有tan 60°＝，解得＝＝3，D项错误；由洛伦兹力提供向心力得轨
道半径r＝，所以＝＝3，即B＝3B ，B项正确；粒子在区域Ⅰ、Ⅲ中的运动周期相等，T
0 1
＝，粒子在区域Ⅱ中的周期T ＝＝，粒子从进入磁场到离开磁场所用时间t＝2＋＝，C项
2
正确．
10．[2024·河南省开封市模拟]虚线OM和虚线ON之间的夹角为30°，如图所示，虚线
OM上方存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场．一带负电的粒子沿纸面以大小为 v的速度
从O点右侧距离为L的A点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角．已知该粒子在磁场
中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场，不计重力．则粒子在磁
场中做圆周运动的半径为( )A． B．
C．2L D．3L
答案：A
解析：轨迹与 ON 相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由于 O′A＝O′D＝r，故
△AO′D为等边三角形，则∠O′DA＝60°，而∠MON＝30°，则∠OCD＝90°，故CO′D为一直
线，则OD＝＝4r＝L＋r，解得r＝，A正确，B、C、D错误．
11．[2024·浙江省台州市月考]如图所示，在圆心为O、半径为R的半圆形区域内有垂
直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场．一系列带正电的粒子以不同的速率从O点
沿垂直于磁场方向且与ON成30°角方向射入磁场．已知带电粒子的电荷量为q，质量为
m，重力不计，不考虑带电粒子间的相互作用力．
(1)求带电粒子能从半圆形磁场边界的圆弧部分射出，粒子速率应满足的条件；
(2)若带电粒子恰好从P点射出磁场，求带电粒子的速率及其在磁场中的运动时间；
(3)若带电粒子通过磁场区域后速度方向偏转了30°，求带电粒子的速率．
答案：(1)v> (2) (3)
解析：(1)如图所示，带电粒子做圆周运动的轨迹与半圆形磁场边界相切时恰不从磁场
圆弧部分边界射出，设此时粒子速度大小为v，轨道半径为r，根据几何知识，有r＝
1 1 1
根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m
1
解得v＝
1
所以带电粒子速率应满足的条件是v>
(2)如图所示，带电粒子恰好从P点离开磁场时，设粒子速度大小为v ，轨道半径为r
2 2
根据几何知识，有r·＝
2
根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m
2
解得v＝
2
带电粒子做圆周运动转过的圆心角为，带电粒子做圆周运动的周期
T＝＝
带电粒子在磁场中的运动时间t＝T＝
(3)带电粒子通过磁场区域后速度方向偏转了 30°，设此带电粒子的速度大小为v ，轨
3
道半径为r，根据正弦定理，有＝
3
根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m
3解得v＝.
3
