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2024-2025 学年广东省广州中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，每小题只有一个选项符合题目要求，共计30分．）
1. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有 4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子
摆成的图案是中心对称的是（ ）
A. B. C. D.
3. 的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与 的位置关系是
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
4. 用配方法解一元二次方程 ，配方后得到的方程是（ ）
A. B. C. D.
5. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图， 、 是 上的两个点， 是直径，若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在 中， ，将 绕点A按逆时针方向旋转得到 ，若 点的对应
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学科网（北京）股份有限公司点 恰好落在 边上，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，有一张长 ，宽 的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠
成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 ，求剪去的小正方形的边长．设
剪去的小正方形的边长是 ，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
9. 若二次函数 的图象经过 ， ， ， 四点，则
， ， 的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在 中， ， ，将 绕点C顺时针旋转 得到 ，则线
段 的长的最小值是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分．）
11. 点 关于原点成中心对称的点的坐标为_______．
12. 已知一元二次方程 的两根为 ，则 ______．
13. 如图，在 中， 为 直径， ， ，则 ________ ．
14. 二次函数y=x2﹣3x+k的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是_____．
15. 在 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，
连接 ，则 的长是 __________．
16. 如图，已知二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在
第一象限内的一点，过点P作直线 的平行线，交x轴于点M．若点P从点C出发，沿着抛物线运动到
点B，则点M经过的路程为 ___________________．
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学科网（北京）股份有限公司二、解音题（共9小题，共计72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
17. 解一元二次方程： ．
18. 如图，点O为 的角平分线上一点， 于D，以O为圆心． 为半径作 ，求证：
与 相切．
19. 如图，在 中， ， ，将 绕点A逆时针旋转，得到
的
，点B 对应点 恰好落在线段 上，求证： ．
20. 抛物线 与x轴的公共点是 ， ．
的
（1）求这条抛物线 解析式；
（2）当 时，自变量x的取值范围为_______．
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学科网（北京）股份有限公司21. 如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足为 ， 为弧 上一点，且弧
弧 ，连接 交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
22. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为a，β，且 ，求m的值．
23. 如图， 中， ， 是由 绕点 按逆时针方向旋转得到的，连接 、
相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ．试用含 的代数式表示 ，并说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司24. 已知直线 经过点 ，与抛物线 的对称轴交于点 ．
（1）求 ， 的值；
的
（2）抛物线 与 轴交于 且 ，若 ，求 取值
范围；
（3）当 时，抛物线 与直线 有且只有一个公共点，直接写出 的取值范
围．
25. 如图，在矩形 中，点 、 分别是边 、 上的点，连接 、 、 ， 是
等边三角形，记 的面积为 的面积为 ， 的面积为 ．
（1）如图 ，已知 ，当 时，
①求 的值；
②求 的值；
（2）如图 ，已知 ， ，且 ，试求 和 的长．拿到题目后，小
彬、姚昕联．同学和数学老师展开了讨论，他们的对话如下：
小彬：这道题目肯定要用到旋转，得到全等，再设参、推导、计算化简等；
昕聪：这道题目的条件有些多余，比如 就可以不要
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学科网（北京）股份有限公司老师：你们两位同学说的都正确．
请你按照昕聪的说法进行分析、解答，试求 和 的长．
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