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专题 22 动力学中的临界和极值问题
授课提示：对应学生用书31页
1.
如图所示，质量为M＝2.5 kg的一只长方体形空铁箱在水平拉力 F作用下沿水平面向
右匀加速直线运动，铁箱与水平面间的动摩擦因数μ ＝0.3.这时铁箱内一个质量为m＝0.5
1
kg的木块恰好能静止在后壁上．木块与铁箱内壁间的动摩擦因数μ ＝0.25.设最大静摩擦力
2
等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2.下列说法正确的是( )
A．木块受到的摩擦力大小为f＝2.5 N
1
B．木块对铁箱压力的大小N＝15 N
C．铁箱与地面的摩擦力为f＝7.5 N
2
D．水平拉力大小F＝129 N
答案：D
解析：木块恰好能静止在后壁上，在竖直方向由平衡条件得木块受到的摩擦力大小为
f ＝mg＝0.5×10 N＝5 N，A错误；由滑动摩擦力公式可知木块对铁箱压力的大小为 N＝＝
1
N＝20 N，B错误；铁箱与地面的摩擦力为f ＝μ(M＋m)g＝0.3×(2.5＋0.5)×10 N＝9 N，C
2 1
错误；对木块在水平方向上由牛顿第二定律得N＝ma，对整体由牛顿第二定律得F－f ＝
2
(M＋m)a，解得F＝129 N，D正确．
2.
如图所示，一只杯子固定在水平桌面上，将一块薄纸板盖在杯口上并在纸板上放一枚
鸡蛋，现用水平向右的拉力将纸板快速抽出，鸡蛋(水平移动距离很小，几乎看不到)落入
杯中，这就是惯性演示实验．已知鸡蛋(可视为质点)中心离纸板左端的距离为d，鸡蛋和纸
板的质量分别为m和2m，所有接触面的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，若鸡蛋移动
的距离不超过就能保证实验成功，则所需拉力的最小值为( )
A．3μmg B．6μmg C．12μmg D．26μmg
答案：D
解析：滑板模型，所以对鸡蛋有＝at2，μmg＝ma ，对纸板有d＋＝at2，F －3μmg－
1 1 2 min
μmg＝2ma ，联立解得F ＝26μmg，D项正确．
2 min
3.(多选)如图所示，一劲度系数为100 N/m的轻质弹簧，上端固定，下端连着一质量为
0.1 kg的物块A，A放在质量为0.2 kg的托盘B上．初始时系统在竖直向上的力F作用下静
止，此时弹簧被压缩了1 cm.现改变力F的大小，使托盘B以2 m/s2的加速度匀加速下降．
取重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的
是( )
A．物块A刚向下运动的瞬间，弹簧的弹力大小为1 N
B．物块A与托盘B刚要分离时，弹簧的弹力大小为1 N
C．从物块A开始运动到与托盘B分离的时间为2×10－2 s
D．从物块A开始运动到与托盘B分离的时间为6×10－2 s
答案：AD
解析：开始时弹簧的压缩量为1 cm，所以弹簧的弹力F ＝kx ＝1 N，A正确；A、B刚
1 1
要分离时，B对A的弹力为零，由牛顿第二定律得mg－F＝ma，解得F＝0.8 N，B错误；
2 2
由F ＝kx 得此时弹簧的伸长量x ＝0.8 cm，从开始运动到A、B分离做匀加速直线运动，x
2 2 2 1
＋x＝at2，解得t＝6×10－2 s，C错误，D正确．
2
4．(多选)如图甲所示，为测定物体冲上粗糙斜面能达到的最大位移 x与斜面倾角θ的
关系，将某一物体每次以不变的初速率v 沿足够长的斜面向上推出，调节斜面与水平方向
0
的夹角θ，实验测得x与斜面倾角θ的关系如图乙所示，重力加速度取g＝10 m/s2.根据图像
可求出( )
A．物体的初速度是6 m/s
B．物体与斜面间的动摩擦因数μ为0.75
C．当斜面倾角θ＝45°时，物体在斜面上能达到的位移最小
D．物体在斜面上能达到的位移x的最小值是1.44 m
答案：ABD
解析：当θ＝90°时，加速度等于g，由运动学规律得v＝2gx，结合图像信息解得v＝6
0
m/s，A正确；当θ＝0时，有v＝2μgx，解得μ＝0.75，B正确；斜面的倾角为θ时，有v＝
2(g sin θ＋μg cos θ)x，整理得
x＝＝，
由μ＝tan α，α＝37°，可得当θ＝53°时，
位移x有最小值x ＝＝1.44 m，
min
C错误，D正确．
5.[2024·贵州省贵阳市月考]倾角为θ＝30°的光滑斜面上固定一轻弹簧，弹簧上端1、2两
物体处于静止状态，1物体一端与弹簧固结，如图所示．已知1物体质量m ＝2 kg，2物体
1
质量m＝4 kg，弹簧劲度系数k＝200 N/m.
2
现给2物体施加一个方向沿斜面向上的力 F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运
动，已知在前0.5 s时间内，F为变力，0.5 s以后F为恒力．取g＝10 m/s2，求力F的最大
值与最小值．
答案：F ＝ N F ＝ N
min max
解析：设刚开始弹簧压缩量为x
0
(m＋m)g sin θ＝kx
1 2 0
在前0.5 s时间内，F为变力，在0.5 s时，1对2的作用力为0，设弹簧型变量为x.
1
由牛顿第二定律可知kx－mg sin θ＝ma
1 1 1
在前0.5 s内，做匀加速直线运动的距离为x－x.
0 1
所以有x－x＝at2
0 1
解得a＝ m/s2
(1)当物体1，2开始运动时拉力最小，对1，2整体此时有F ＝(m＋m)a＝ N
min 1 2
(2)当物体1，2分离时拉力最大，对2此时有F －mg sin θ＝ma
max 2 2
解得F ＝ N
max
