文档内容
2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷
（小中组B 卷）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）计算：2016×2016﹣2015×2016＝ ．
2．（10分）计算：1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20＝ ．
3．（10分） 如图，用一条线段把一个周长是30cm的长方形分割成一个正方形和一个小的长
方形．如果小长方形的周长是16cm，则原来长方形的面积是 cm2．
4．（10分）某月里，星期五、星期六和星期日各有5天，那么该月的第1日是星期 ．
5．（10分）从 1、3、5、7、9 这 5 个数中选出 4 个不同的数填入下面 4 个方格中，使式子成
立：□+□＞□×□．两种填法，如果应用加法交换律和乘法交换律后，式子相同，则认为是
相同填法，则共有 种不同的填法．
6．（10分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向匀速行进，在距A地 60 千米处相遇．
相遇后，两车继续行进，分别到达B，A后，立即原路返回，在距B地50 千米处再次相遇．
则A，B两地的路程是 千米．
7．（10分）黑板上先写下一串数：1，2，3，…，50，每次都擦去最前面的 4 个，并在这串数的最
后再写上擦去的4个数的和，得到新的一串数，再做同样的操作，直到黑板上剩下的数不
足4个．问：
（1）最后黑板上剩下的这些数的和是 ；
（2）最后 1 个所写的数是 ．
8．（10分）一个整数有2016 位，将这个整数的各位数字相加，再将得到的整数的各位数字相
加，则最后的这个和数可能的最大值是 ．
二、简答题（每小题5分，共20分，要求写出简要过程）
9．（5分）某商店搞了一次钢笔促销活动，促销办法是：顾客买的钢笔中，每 2 支送 1只小熊
玩具，不足2支不送．卖出1支钢笔的利润是7元，1只小熊玩具的进价是2元，这次促销
活动共赚了2011元，该商店此次促销共卖出多少支钢笔？
10．（5分）如图是一个三角形纸片折叠后的平面图形，折痕为DE，已知：∠B＝74°，∠A＝
第1页（共8页）70°，∠CEB＝20°，那么∠ADC等于多少度？
11．（5分）将自然数1，2，3，4，从小到大无间隔地排列起来，得到：1234567891011121314，这
串数码中，当偶数数码首次连续出现5个时，其中的第一个（偶）数码所在位置从左数是第
多少位？
12．（5分）从 1 到 200 这 200 个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有
2个数的和是5的倍数？
第2页（共8页）2016 年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛
试卷（小中组 B 卷）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）计算：2016×2016﹣2015×2016＝ 201 6 ．
【分析】加法左右两边的算式中都有相同的因数2016，可以根据乘法分配律简算．
【解答】解：2016×2016﹣2015×2016
＝2016×（2016﹣2015）
＝2016×1
＝2016
故答案为：2016．
2．（10分）计算：1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20＝ 14 4 ．
【分析】通过观察发现，运用加法交换律与结合律把前后两数组合可以得出整21，共7对，
即（1+20）+（2+19）+（4+17）+（5+16）+（7+14）+（8+13）+（10+11），计算即可．
【解答】解：1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20
＝（1+20）+（2+19）+（4+17）+（5+16）+（7+14）+（8+13）+（10+11），
＝21×7
＝147
故答案为：147．
3．（10分） 如图，用一条线段把一个周长是30cm的长方形分割成一个正方形和一个小的长
方形．如果小长方形的周长是16cm，则原来长方形的面积是 5 6 cm2．
【分析】由大长方形到小长方形周长减少了：30﹣16＝14（厘米），相当于减少了两条正方
形的边长，所以正方形的边长是：14÷2＝7（厘米），也就是原来长方形的宽是7厘米；那么
原来长方形的长为：16÷2﹣7+7＝8（厘米），面积是：8×7＝56cm2．
【解答】解：根据分析可得，
第3页（共8页）30﹣16＝14（厘米），
正方形的边长：14÷2＝7（厘米），
原来长方形长：16÷2﹣7+7＝8（厘米），
面积：8×7＝56（平方厘米）；
答：原来长方形的面积是56cm2．
故答案为：56．
4．（10分）某月里，星期五、星期六和星期日各有5天，那么该月的第1日是星期 五 ．
【分析】首先根据1个月最多有31天，可得：1个月最多有4个星期零3天；然后根据该月
星期五、星期六和星期日各有5天，可得：该月的第1日是星期五，据此解答即可．
【解答】解：因为31÷7＝4（个）…3（天），
所以1个月最多有4个星期零3天，
因为该月星期五、星期六和星期日各有5天，
所以该月的第1日是星期五．
答：该月的第1日是星期五．
故答案为：五．
5．（10分）从 1、3、5、7、9 这 5 个数中选出 4 个不同的数填入下面 4 个方格中，使式子成
立：□+□＞□×□．两种填法，如果应用加法交换律和乘法交换律后，式子相同，则认为是
相同填法，则共有 1 2 种不同的填法．
【分析】按题意，可以分类讨论，两个数的和大于两个数的乘积，而两个数的和最大为7+9
＝16，可从7+9开始分类讨论，最后算得总的填法．
【解答】解：根据分析，两个数的和大于两个数的乘积，而两个数的和最大为7+9＝16，
两数之和为7+9时，则不等式右边有1×3、1×5、3×5三种填法；
①两数之和为5+9时，则不等式右边有1×3、1×7两种填法；
②两数之和为3+9时，则不等式右边有1×5、1×7两种填法；
③两数之和为1+9时，则不等式右边有0种填法；
④两数之和为5+7时，则不等式右边有1×3、1×9两种填法；
⑤两数之和为3+7时，则不等式右边有1×5、1×9两种填法；
⑥两数之和为1+7时，则不等式右边有0种填法；
⑦两数之和为3+5时，则不等式右边有1×7一种填法；
⑧两数之和为1+5时，则不等式右边有0种填法；
⑨两数之和为1+3时，则不等式右边有0种填法；
⑩
第4页（共8页）综上，共有：3+2+2+0+2+2+0+1+0+0＝12．
故答案是：12．
6．（10分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向匀速行进，在距A地 60 千米处相遇．
相遇后，两车继续行进，分别到达B，A后，立即原路返回，在距B地50 千米处再次相遇．
则A，B两地的路程是 13 0 千米．
【分析】可以利用相遇时距离之比等于速度之比，列出关系式，可设AB两地间的距离为S，
第一次相遇时，甲走了60千米，而乙走了S﹣60千米，第二次相遇，甲又走了S﹣60+50千
米，乙又走了60+S﹣50千米，从而可以求出S的值．
【解答】解：根据分析，设AB两地间的距离为S，第一次相遇时，甲走了60千米，而乙走了
S﹣60千米，
第二次相遇，甲又走了S﹣60+50千米，乙又走了60+S﹣50千米，
则： ，
解得：S＝130．
故答案是：130．
7．（10分）黑板上先写下一串数：1，2，3，…，50，每次都擦去最前面的 4 个，并在这串数的最
后再写上擦去的4个数的和，得到新的一串数，再做同样的操作，直到黑板上剩下的数不
足4个．问：
（1）最后黑板上剩下的这些数的和是 127 5 ；
（2）最后 1 个所写的数是 75 5 ．
【分析】按题意，每次擦去的4个数之和都写在后面，擦到最后只剩下49和50，但后面均
为四个数的和，个数为12个，加上49和50两个数，共14个数，再继续循环，这次首先擦
掉的是49和50及1+2+3+4的和，及5+6+7+8的和，依此继续下去，最后只剩下，4组数的
和，即：25+26+27+28，29+30+31+32，
33+34+35+36，37+38+39+40，此时这一组数的和为一个数，故最后剩下的数为这4组数的
和，即：25+26+27+28+29+30+31+32+33+34+35+36+37+38+39+40＝520，而最后一个写的
数，可通过总数算得．
【解答】解：根据分析，每次擦去的4个数之和都写在后面，擦到最后只剩下49和50，但后
面均为四个数的和，
个数为12个，加上49和50两个数，共14个数，再继续循环，
这次首先擦掉的是49和50及1+2+3+4的和，及5+6+7+8的和，依此继续下去，
第5页（共8页）最后只剩下，4组数的和，即：25+26+27+28＝106，29+30+31+32＝122，
33+34+35+36＝138，37+38+39+40＝154，而四组数的和为：106+122+138+154＝520，
当黑板上只剩下：41+42+43+44＝170；45+46+47+48＝186；49+50+1+2+3+4+5+6+7+8＝
135；
9+10+11+12+…+24＝264；25+26+27+28+…+40＝520；
即按顺序排为：170、186、135、264、520五个数，此时最后写的数应是：170+186+135+264
＝755．
故最后只剩下两个数：520和755，最后黑板上剩下的这些数的和是；520+755＝1275，
故答案是：1275；755．
8．（10分）一个整数有2016 位，将这个整数的各位数字相加，再将得到的整数的各位数字相
加，则最后的这个和数可能的最大值是 3 6 ．
【分析】当这个2016位的整数的每个数字都为9时，这个数的数字和最大，为9×2016＝
18144，所以任何2016位数的数字和都不大于18144，再分析这个不大于18144的数的数
字和．
【解答】解：2016位数的数字和最大的情况是： ，最大数字和为：9×2016＝18144，
问题变成分析一个小于等于18144的数的数字和的最大值，
首先考虑17999，9999，
可知：9999的数字和最大为36．
故本题答案为：36．
二、简答题（每小题5分，共20分，要求写出简要过程）
9．（5分）某商店搞了一次钢笔促销活动，促销办法是：顾客买的钢笔中，每 2 支送 1只小熊
玩具，不足2支不送．卖出1支钢笔的利润是7元，1只小熊玩具的进价是2元，这次促销
活动共赚了2011元，该商店此次促销共卖出多少支钢笔？
【分析】按题意，卖出1支钢笔的利润是7元，1只小熊玩具的进价是2元，每 2 支送 1只
小熊玩具，利润为2×7﹣2＝12元，可设有x个人买了两支钢笔，则利润为12x，而促销活
动赚了2011元，可知，除了买两支钢笔的顾客，还有只买一支钢笔的顾客，可设y人，可列
关系式，分情况讨论求解．
【解答】解：根据分析，每 2 支送 1只小熊玩具，利润为2×7﹣2＝12元，
设有x个人买了两支钢笔，则利润为12x，只买一支钢笔的顾客y人，利润为7y，
故有：12x+7y＝2011，因x，y均为非负整数，解得：
x＝167，y＝1，此时促销共卖出的钢笔总数为：2x+y＝2×167+1＝335（支）；
第6页（共8页）故答案是：335支．
10．（5分）如图是一个三角形纸片折叠后的平面图形，折痕为DE，已知：∠B＝74°，∠A＝
70°，∠CEB＝20°，那么∠ADC等于多少度？
【分析】可以利用三角形的外角和以及四边形的内角和，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣
74°﹣ 70° ＝ 36° ， ∠ COE ＝ 180°﹣ ∠ C﹣ ∠ CEO ＝ 180°﹣ 36°﹣ 20° ＝ 124° ， 又
∵ ∠ OED+∠ ODE ＝ ∠ COE ＝ 124° ， 根 据 四 边 形 内 角 和 得 知 ：
∠OED+∠ODE+∠CDA+∠A+∠B＝360°，最后求得∠ADC的度数．
【解答】解：根据分析，如图，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣74°﹣70°＝36°，
∠COE＝180°﹣∠C﹣∠CEO＝180°﹣36°﹣20°＝124°，
又∵∠OED+∠ODE＝∠COE＝124°，根据四边形内角和得知：
∠OED+∠ODE+∠CDA+∠A+∠B＝360°，
∴∠CDA＝360°﹣∠COE﹣∠A﹣∠B＝360°﹣124°﹣74°﹣70＝92°
故答案是：92°
11．（5分）将自然数1，2，3，4，从小到大无间隔地排列起来，得到：1234567891011121314，这
串数码中，当偶数数码首次连续出现5个时，其中的第一个（偶）数码所在位置从左数是第
多少位？
【分析】首先按照位数进行分析，可知2位数不满足题意三位数中100﹣199也是不满足题
意的，继续推理即可．
【解答】解：依题意可知：
首先分析如果是2位数那么不能连续出现5个偶数，考虑三位数如果是100﹣200之间的
第7页（共8页）数字每3位必须有1不符合题意．
200201恰好为5个偶数连接．满足题意．
1﹣9共9个数码；
10﹣99共90个数共180个数码．
100﹣199共100个数字300个数码．
再来一个即是题意要求的数字．
共9+180+300+1＝490．
答：当偶数数码首次连续出现5个时，其中的第一个（偶）数码所在位置从左数是490个．
12．（5分）从 1 到 200 这 200 个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有
2个数的和是5的倍数？
【分析】首先把数字按照除以5的余数分别是0，1，2，3，4进行分类．然后余数是1，4的一
组不能同时出现，余数是2，3的一组不能同时出现．余数是0的只能出现1个．
【解答】解：依题意可知：
首先按照余数进行分类数字除以5的余数是1和2的即可．
200÷5＝40（组），每一组都有两个数字余数分别是1和2．
40×2＝80（个）；再找出一个数字余数是0的数字．再来一个就一定有2个数字和是5的倍
数了
80+1+1＝82（个）
综上所述：至少选出82个数字才能保证其中必有2个数的和是5的倍数．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 11:01:53；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第8页（共8页）
