文档内容
2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷
（小中组A卷）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）计算：（98×76﹣679×8）÷（24×6+25×25×3﹣3）＝ ．
2．（10分）从1，2，3，4，5这5个数中选出4个不同的数填入下面4个方格中□+□＞□+□，
有 种不同的填法使式子成立．（提示：1+5＞2+3和5+1＞2+3是不同的填法）
3．（10分）将图中左边的大三角形纸板剪3刀，得到4个大小相同的小三角形纸板（第一次操
作），见图中间，再将每个小三角形纸板剪3刀，得到16个大小相同的更小的三角形纸板
（第二次操作），见图右边，这样继续操作下去，完成前六次操作共剪了 刀．
4．（10分）一个两位数与109的乘积为四位数，它能被23整除且商是一位数，这个两位数最
大等于 ．
5．（10分）图中的网格是由6个相同的小正方形构成，将其中4个小正方形涂上灰色，要求每
行每列都有涂色的小正方形，经旋转后两种涂色的网格相同，则视为相同的涂法，那么有
种不同的涂色方法．
6．（10分）有若干个连续的自然数，任取其中4个不同的数相加，可得到385个不同的和．则
这些自然数有 个．
7．（10分）在4×4方格网的每个小方格中都填有一个非零自然数，每行、每列及每条对角线
上的4个数之积都相等，如图给出了几个所填的数，那么五角星所在的小方格中所填的数
是 ．
第1页（共9页）8．（10分）甲、乙两人在一条长120米的直路上来回跑，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3
米/秒，若他们同时从同一端出发跑了 15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇
次（端点除外）．
二、解答题（共4小题，满分20分）
9．（5分）图中有一个边长为6厘米的正方形ABCD与一个斜边长为8厘米的等腰直角三角
形AEF，E在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？
10．（5分）有10个两两不同的自然数，其中任意5个的乘积是偶数，全部10个数的和是奇数，
则这10个自然数的和最小是多少？
11．（5分）在1到200这200个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有2
个数的乘积等于238？
12．（5分）最初，盒子中有三张卡片，分别写着数1，2，3，每次，从盒子里取出两张卡片，将上
面的数之和写到另一张空白卡片上，再把一张卡片放回盒子，如此5次后，除了最后一张
写数的卡片外，其他的卡片都至少取出过一次，不超过两次，问：此时盒子里面卡片上的
数最大为多少？
第2页（共9页）2016 年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛
试卷（小中组 A 卷）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）计算：（98×76﹣679×8）÷（24×6+25×25×3﹣3）＝ 1 ．
【分析】有括号，所以先算括号里面的，再算括号外面的，据此解答即可．
【解答】解：（98×76﹣679×8）÷（24×6+25×25×3﹣3）
＝（7448﹣5432）÷（144+1875﹣3）
＝2016÷2016
＝1；
故答案为：1．
2．（10分）从1，2，3，4，5这5个数中选出4个不同的数填入下面4个方格中□+□＞□+□，
有 4 8 种不同的填法使式子成立．（提示：1+5＞2+3和5+1＞2+3是不同的填法）
【分析】我们可以从首尾数字入手考虑：
比1+5大的组合入手（有1种），就有3+4＞1+5
比1+4大的组合入手（有2种），就有2+5＞1+4，3+5＞1+4
比1+3大的组合入手（有3种），就有2+4＞1+3，2+5＞1+3，4+5＞1+3
以此类推，比1+2大的组合有3种
比2+3大的组合有2种
比2+4大的组合有1种
每种组合有4种不同的填法，依此即可求解．
【解答】解：比1+5大的组合入手（有1种），就有3+4＞1+5
比1+4大的组合入手（有2种），就有2+5＞1+4，3+5＞1+4
比1+3大的组合入手（有3种），就有2+4＞1+3，2+5＞1+3，4+5＞1+3
以此类推，比1+2大的组合有3种
比2+3大的组合有2种
比2+4大的组合有1种
（1+2+3）×2×4
第3页（共9页）＝12×4
＝48（种）
答：有48种不同的填法使式子成立．
故答案为：48．
3．（10分）将图中左边的大三角形纸板剪3刀，得到4个大小相同的小三角形纸板（第一次操
作），见图中间，再将每个小三角形纸板剪3刀，得到16个大小相同的更小的三角形纸板
（第二次操作），见图右边，这样继续操作下去，完成前六次操作共剪了 409 5 刀．
【分析】首先分析第二块是剪3刀，变成4块，之后就是每一块上都是3刀，继续计算即可．
【解答】解：依题意可知：
第一次是剪3刀变成4块．
第二次是每一块都被剪3刀共12刀变成16块．
第三次为16×3＝48（刀）；块数是16×4＝64（块）；
第四次为64×3＝192（刀）；块数是64×4＝256（块）；
第五次为256×3＝768（刀）；块数是256×4＝1024（块）；
第六次为1024×3＝3072（刀）．
3+12+48+192+768+3072＝4095．
故答案为：4095
4．（10分）一个两位数与109的乘积为四位数，它能被23整除且商是一位数，这个两位数最
大等于 6 9 ．
【分析】按题意，此两位数是23的倍数，而使此两位数与109的乘积为四位数，则此两位数
能取得数为：23、46、69，而最大的是69．
【解答】解：根据分析，此两位数是23的倍数，
而使此两位数与109的乘积为四位数，
则此两位数能取得数为：23、46、69，
综上，这个两位数最大为69，
故答案是：69．
5．（10分）图中的网格是由6个相同的小正方形构成，将其中4个小正方形涂上灰色，要求每
行每列都有涂色的小正方形，经旋转后两种涂色的网格相同，则视为相同的涂法，那么有
第4页（共9页）7 种不同的涂色方法．
【分析】首先可以根据第一列涂色的数量进行分类讨论，注意考虑旋转后相同的视为相同
涂法．
【解答】解： 当第一列涂了3个时，涂色情况如下：
①
，有3种情况；
当第一列涂了2个时，涂色情况如下：
②
，有4种情况．
共计3+4＝7种．
故答案为：7．
6．（10分）有若干个连续的自然数，任取其中4个不同的数相加，可得到385个不同的和．则
这些自然数有 10 0 个．
【分析】假设这些连续的自然数中最小的数为a，最大的教为a+n+3，那么任取4个自然数
和最小必为a+a+1+a+2+a+3＝4a+6，最大的和为a+n+a+n+1+a+n+2+a+n+3＝4a+6+4n．且
由于连续自然数之间的所有和都能够取到．可得方程4n＝385﹣1，解得n＝96，依此得到
最小的自然数为a．最大的自然数为a+99，共100个数，从而求解．
【解答】解：设这些连续的自然数中最小的数为a，最大的教为a+n+3，那么任取4个自然
数和最小必为a+a+1+a+2+a+3＝4a+6，最大的和为a+n+a+n+1+a+n+2+a+n+3＝4a+6+4n．
依题意有
4n＝385﹣1，
解得n＝96．
则最小的自然数为a，最大的自然数为a+99，共100个数．
答：这些自然数有100个．
故答案为：100．
7．（10分）在4×4方格网的每个小方格中都填有一个非零自然数，每行、每列及每条对角线
第5页（共9页）上的4个数之积都相等，如图给出了几个所填的数，那么五角星所在的小方格中所填的数
是 1 ．
【分析】首先分析题中的幻方规律可知可根据比较法求解，不需要求出幻和．
【解答】解：依题意可知：
根据幻方规律比较法可知：设方格数字如图所示：
a×2×16×b＝a×8×32×8，∴b＝64．
再根据c×4×8×128＝64×c×五角星×64
五角星就是1
故答案为：1
8．（10分）甲、乙两人在一条长120米的直路上来回跑，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3
米/秒，若他们同时从同一端出发跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇 2 3 次
（端点除外）．
【分析】根据题意，要明白他们的迎面相遇时，2人一共的行程是2个单程120×2＝240
（米），用时为240÷（3+5）＝30（秒），即每30秒就相遇一次（包括端点的）．那端点的相遇
用时为：2人单程用时（120÷3＝40，120÷5＝24）的公倍数，最小公倍数第一次在端点相遇
的用时．用120÷30＝4可知，他们4次相遇中就有1次为端点相遇．即15分钟内相遇的总
次数为：15×60÷30＝30，其中在端点相遇的次数为30÷4的整数部分，即7．所以 他们在这
段时间内共迎面相遇（端点除外）的次数为：30﹣7＝23
【解答】解：240÷（3+5）＝30（秒）
120÷3＝40（秒）
120÷5＝24（秒）
第6页（共9页）40与24的最小公倍数120（2人第一次在端点相遇的用时）
120÷30＝4
15×60÷30＝30（次）
30÷4＝7…2
30﹣7＝23（次）
答：他们在这段时间内共迎面相遇23次（端点除外）．
二、解答题（共4小题，满分20分）
9．（5分）图中有一个边长为6厘米的正方形ABCD与一个斜边长为8厘米的等腰直角三角
形AEF，E在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？
【分析】按题意，阴影部分的面积与直角三角形的面积之和，等于正方形的面积加上三角
形BGE的面积，故可以先求得三角形BGE的面积，即可求得阴影部分的面积．
【解答】解：根据分析，BG＝BE＝AE﹣AB＝8﹣6＝2（厘米），
故三角形BGE的面积＝BG×BE× ＝ ×2×2＝2（平方厘米），
因为三角形AEF为等腰直角三角形，
所以由AE2＝AF2+FE2得出AF＝4 ，
阴影部分的面积+△AEF的面积＝正方形ABCD的面积+△BGE的面积
阴影部分的面积＝正方形ABCD的面积+△BGE的面积﹣△AEF的面积
⇒＝6×6+2﹣4 ×4 × ＝22（平方厘米），
故答案是：22
10．（5分）有10个两两不同的自然数，其中任意5个的乘积是偶数，全部10个数的和是奇数，
则这10个自然数的和最小是多少？
【分析】按题意，任意5个的乘积是偶数，说明至多有4个奇数，又全部10个数的和是奇数，
则奇数的个数为1个或3个，取奇数里的最小数1或1，3，5，其他几个数可能的情况，分
别比较大小，求出最小值．
【解答】解：根据分析，10个自然数中奇数的个数为1个或3个，
只有一个奇数时，则奇数最小为1，其他偶数最小的为：0，2、4、6、8、10、12、14、16、18，
①此时自然数和＝0+1+2+4+6+8+10+12+14+16+18＝91；
第7页（共9页）若有三个奇数，则奇数为1、3、5，则其他偶数最小为：0，2、4、6、8、10、12
②此时自然数和＝0+1+3+5+2+4+6+8+10+12＝51．
综上，这10个自然数的和最小是51．
故答案是：51．
11．（5分）在1到200这200个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有2
个数的乘积等于238？
【分析】首先分析238的因数，使其中2个因数相乘得238的共4组，利用最不利原则求出
结果．
【解答】解：依题意可知：
将238分解成小于200的数字积有238＝17×14＝7×34＝2×119共有三组．
的两位数相乘的因数有（17，14），（7，34），（2，119）共6个数约数分为3组．
最不利原则是其他的194选择了，再从三组因数中每组挑选一个共197个，再选择一个就
是组成两个因数的积是238了．
共197+1＝198；
答：至少选出198个才能保证有连个数的乘积是238．
12．（5分）最初，盒子中有三张卡片，分别写着数1，2，3，每次，从盒子里取出两张卡片，将上
面的数之和写到另一张空白卡片上，再把一张卡片放回盒子，如此5次后，除了最后一张
写数的卡片外，其他的卡片都至少取出过一次，不超过两次，问：此时盒子里面卡片上的
数最大为多少？
【分析】由已知可知：最后一共得到8个数，所有得数一共加了2×5＝10次，由于每张卡片
至少取过1次，不超过两次，有4个数被计算了一次，第七个数只会被第8个数计算一次，
因此第7个数只会被计算一次，要想卡片上的数尽可能的大，要让4，5，6个数计算两次，
第1，2，3个数计算1次，可以使第8个数最大，分情况讨论即可．
【解答】解：由分析可得：
要想卡片上的数尽可能的大
要让4，5，6个数计算两次，第1，2，3个数计算1次
可以使第8个数最大
1，2，3，4，6，10，16，26
①1，2，3，3，6，9，15，24
②1，2，3，5，6，11，17，28
③答：此时盒子里面卡片上的数最大为28．
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日期：2019/5/7 11:01:57；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
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