文档内容
2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷
（小高组A卷）
一、填空题（每题10分，共80分）
1．（10分）计算：7 ﹣（2.4+1 ×4）÷1 ＝ ．
2．（10分）中国北京在2015年7月31日获得了2022年第24届冬季奥林匹克运动会的主办
权．预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星期 ．（今天是2016年3月
12日，星期六）
3．（10分）如图中，AB＝5厘米，∠ABC＝85°，∠BCA＝45°，∠DBC＝20°，AD＝ 厘米．
4．（10分）在9×9的格子纸上，1×1小方格的顶点叫做格点．如图，三角形ABC的三个顶点都
是格点．若一个格点P使得三角形PAB与三角形PAC的面积相等，就称P点为“好点”．
那么在这张格子纸上共有 个“好点”．
5．（10分）对于任意一个三位数n，用 表示删掉n中为0的数位得到的数．例如n＝102时
＝12．那么满足 ＜n且 是n的约数的三位数n有 个．
6．（10分）共有12名同学玩一种扑克游戏，每次4人参加，且任意2位同学同时参加的次数
不超过1．那么他们最多可以玩 次．
7．（10分）如果2×38能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为 ．
8．（10分）两把小尺子组成套尺，小尺可以沿着大尺滑动．大尺上每一个单位都标有自然数，
第一把小尺将大尺上的11个单位等分为10，第二把小尺将大尺上9个单位等分为10，两
把小尺的起点都为0，都分别记为1至10．现测量A，B两点间距离，A点在大尺的0单位
第1页（共12页）处，B点介于大尺的18与19单位之间，将第一把小尺的0单位处于B点时，其单位3怡好
与大尺上某一单位相合．如果将第二把小尺的0单位处置于B点，那么第二把小尺的第
个单位怡好与大尺上某一单位相合．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额．投票人数固定，
每票必须投给甲乙二人之一．最后，乙的得票数为甲的得票数的 ，甲胜出．但是，若乙
得票数至少増加4票，则可胜甲，请计算甲乙所得的票数．
10．（10分）如图，三角形ABC中，AB＝180厘米，AC＝204厘米，D、F是AB上的点，E，G是
AC上的点，连结CD，DE，EF，FG，将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形，则
AF+AG为多少厘米．
11．（10分）某水池有甲、乙两个进水阀，只打开甲注水，10小时可将空水池注满；只打开乙，
15小时可将空水池往满．现要求7个小时将空水池注满，可以只打开甲注水若干小时，接
着只打开乙注水若干小时，最后同时打开甲乙注水．那么同时打开甲乙的时间是多少小时？
12．（10分）将一个五边形沿一条直线简称两个多边形，再将其中一个多边形沿一条直线剪成
两部分，得到了三个多边形，然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，…，如此下
去．在得到的多边形中要有20个五边形，则最少剪多少次？
三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）如图，有一张由四个1×1的小方格组成的凸字行纸片和一张5×6的方格纸，现将
凸字形纸片粘到方格纸上，要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸上的某个小方格
重合，那么可以粘出多少种不同的图形？（两图形经旋转后相同看作相同图形）
第2页（共12页）14．（15分）设n是正整数，若从任意n个非负整数中一定能找到四个不同的数a，b，c，d使得
a+b﹣c﹣d能被20整除．则n的最小值是多少？
第3页（共12页）2016 年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛
试卷（小高组 A 卷）
参考答案与试题解析
一、填空题（每题10分，共80分）
1．（10分）计算：7 ﹣（2.4+1 ×4）÷1 ＝ 2 ．
【分析】先算小括号里面的乘法，再算小括号里面的加法，然后算括号外的除法，最后算括
号外的减法．
【解答】解：7 ﹣（2.4+1 ×4）÷1
＝7 ﹣（2.4+ ）÷1
＝7 ﹣ ÷1
＝7 ﹣
＝2
故答案为：2．
2．（10分）中国北京在2015年7月31日获得了2022年第24届冬季奥林匹克运动会的主办
权．预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星期 五 ．（今天是2016年3月12
日，星期六）
【分析】首先分析2016年的3月12日到2022年的3月13日是星期几，然后再根据3月12
向前推理出2月4日即可．
【解答】解：依题意可知：
平年365天是52个星期多1天．润年是52个星期多2天．
2016 年 3 月 12 到 2022 年 3 月 12 日经过了 5 个平年 1 个闰年，向后推的天数为
1+1+1+1+1+2＝7．恰好为星期六．
那么2022年的2月4日到2022年的3月12日．经过24+12＝36天．
36÷7＝5…1．从星期六前推前天．
说明2022年的2月4日是星期五．
第4页（共12页）故答案为：五
3．（10分）如图中，AB＝5厘米，∠ABC＝85°，∠BCA＝45°，∠DBC＝20°，AD＝ 5 厘米．
【分析】首先根据题意可知∠ABC＝85°，∠BCA＝45°．那么根据三角形内角和为180度可
知∠A＝50°．继续推理即可．
【解答】解：依题意可知：
∠ABC＝85°，∠BCA＝45°．那么∠A＝50°．
∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝85°﹣20°＝65°
∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣50°﹣65°＝65°；
∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD＝5
故答案为：5
4．（10分）在9×9的格子纸上，1×1小方格的顶点叫做格点．如图，三角形ABC的三个顶点都
是格点．若一个格点P使得三角形PAB与三角形PAC的面积相等，就称P点为“好点”．
那么在这张格子纸上共有 6 个“好点”．
【分析】如下图这样，经过A点和BC边的中点画一条直线，交方格图于E点和F点，可以
证得D、E、F三点都是好点；
过AB点作平行线，与原来的三角形组成平行四边形，得到平行四边形ACBI，可以证得I、
H、G三点也是好点．
第5页（共12页）【解答】解：
（1）△BDA与△CDA等底等高，所以面积相等；
（2）△ABE与△ACE的面积都等于平行四边形ABCE的一半，所以面积相等；
（3）△ABF的面积＝△BDF的面积﹣△BDA的面积，△CAF的面积＝△CDF的面积﹣
△CDA的面积，又因为△BDA与△CDA面积相等，所以△ABF的面积＝△CAF的面积；
（4）△ABI和△ACI的面积都等于平行四边形ACBI面积的一半，所以相等；
（5）△ABH的面积是△ABI面积的一半，△ACH的面积是△ACI的面积的一半，所以
△ABH与△ACH面积相等；
（6）△AGB和△AGC有相同底AG，这条底边上的两个三角形高是相等的，所以这两个三
角形面积相等．
故此题的好点一共有6个．
5．（10分）对于任意一个三位数n，用 表示删掉n中为0的数位得到的数．例如n＝102时
＝12．那么满足 ＜n且 是n的约数的三位数n有 9 3 个．
【分析】按题意，能满足 ＜n且 是n的约数的三位数n，有两种：第一种，十位为0，第
二种，个位为0，然后再计算个数．
【解答】解：根据分析，第一种，十位为0的三位数中，能满足 是n的约数的n只有：105、
108、405，
三个数删掉0后得：15、18、45分别为105、108、405的约数；
第二种，个位为0的三位数共有：9×10＝90个，删掉0后均能满足是n的约数，故满足题
意的三位数n有90个，
第6页（共12页）综上，满足题意的三位数一共有90+3＝93个．
故答案是：93．
6．（10分）共有12名同学玩一种扑克游戏，每次4人参加，且任意2位同学同时参加的次数
不超过1．那么他们最多可以玩 9 次．
【分析】首先分析可以将同学们进行标好，然后枚举即可．
【解答】解：依题意可知：
将学生进行编号1﹣12．
如果是1﹣4一组，5﹣8一组，9﹣12一组下一组就没有符合题意的了，那么要求尽可能多
分组．
即第一次是1，2，3，4．
第二次是1，5，6，7．
第三次是2，5，8，9．
第四组是3，6，8，10．
第五组是4，5，8，11．
第六组是3，5，9，10．
第七组是4，6，9，11
第八组是1，7，9，12
第九组是2，6，10，12．
故答案为：9
7．（10分）如果2×38能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为 10 8 ．
【分析】设k个连续正整数的首项为n，则末项为n+k﹣1．则k个连续正整数的和＝（n+n+k
﹣1）•k÷2＝2×38，利用质因数分解即可解决问题．
【解答】解：设k个连续正整数的首项为n，则末项为n+k﹣1．
则k个连续正整数的和＝（n+n+k﹣1）•k÷2＝2×38，
所以（2n+k﹣1）•k＝22×38，
所以k的最大值为108＝22×33，此时2n+k﹣1＝35，n＝68，
故k的最大值为108．
故答案为108．
8．（10分）两把小尺子组成套尺，小尺可以沿着大尺滑动．大尺上每一个单位都标有自然数，
第一把小尺将大尺上的11个单位等分为10，第二把小尺将大尺上9个单位等分为10，两
把小尺的起点都为0，都分别记为1至10．现测量A，B两点间距离，A点在大尺的0单位
第7页（共12页）处，B点介于大尺的18与19单位之间，将第一把小尺的0单位处于B点时，其单位3怡好
与大尺上某一单位相合．如果将第二把小尺的0单位处置于B点，那么第二把小尺的第
7 个单位怡好与大尺上某一单位相合．
【分析】根据题意可：第一把小尺与大尺的单位比是11：10，第一把小尺的单位3，相当于
大尺的单位3.3（根据比例求得）大尺3.3与18.7才能相加得整数，所以小尺的0对的大尺
的单位是18.7．耶第二把小尺子以0单位为起点，在1到10之间找的单位对应大尺上的
整数，必须是大尺的18.7加上几点3，就是说加上的这个数的小数位是3．根据大尺与第
二把小尺的单位比9：10求得第二把小尺是7时，大尺的单位数才出现点3．
【解答】解：11：10＝？：3
？＝3.3
那B点处在单位18与19之间的应是：18.7
18.7只有加上一个末位上是3的数（令其为X）才能凑整十数．
？是在1一10之间的自然数，所以只有？＝7符合条件．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额．投票人数固定，
每票必须投给甲乙二人之一．最后，乙的得票数为甲的得票数的 ，甲胜出．但是，若乙
得票数至少増加4票，则可胜甲，请计算甲乙所得的票数．
【分析】乙得票数至少增加4票，则甲必至少减少4票，此时才能使乙胜甲，可以设一个未
知数，列出关系式，求出解．
【解答】解：根据分析，设甲得票数为x，则乙的得票数为 ，由题意得：
x＜168，又∵x为正整数，且 也为正整数∴x＝147，x＝
⇒ ⇒
126，
即： 甲得票数是147票，乙的得票数是140票； 甲得票数是126票，乙的得票数是120
票．① ②
第8页（共12页）故答案是：甲147票，乙140票．或，甲126票，乙120票．
10．（10分）如图，三角形ABC中，AB＝180厘米，AC＝204厘米，D、F是AB上的点，E，G是
AC上的点，连结CD，DE，EF，FG，将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形，则
AF+AG为多少厘米．
【分析】高一定，对应底的比等于面积比，根据五个小三角形面积相等，所以S△ADC ＝
4S△DBC ，所以AD＝4BD＝4×（180÷5）＝144（厘米）；同理，可求AE、AF、AG的长度，进而
求出AF+AG的长度即可．
【解答】解：在△ABC中，因为S△ADC ＝4S△DBC ，所以AD＝4BD＝4×（180÷5）＝144（厘米）；
在△ADC中，因为S△ADE ＝3S△EDC ，所以AE＝3EC＝3×（204÷4）＝153（厘米）；
在△ADE中，因为S△AFE ＝2S△EFD ，所以AF＝2DF＝2×（144÷3）＝96（厘米）；
在△AFE中，因为S△AFG ＝S△GFE ，所以AG＝GE＝153÷2＝76.5（厘米）；
所以，AF+AG＝96+76.5＝172.5（厘米）；
答：AF+AG为172.5厘米．
11．（10分）某水池有甲、乙两个进水阀，只打开甲注水，10小时可将空水池注满；只打开乙，
15小时可将空水池往满．现要求7个小时将空水池注满，可以只打开甲注水若干小时，接
着只打开乙注水若干小时，最后同时打开甲乙注水．那么同时打开甲乙的时间是多少小时？
【分析】可以先求得甲、乙每小时注的水量，即为 、 ，总时间为7小时，同时开的时候，
不难求出时间．
【解答】解：根据分析，设水池注满时水的总量为1份，甲、乙每小时注水的速度分别为
份/时、 份/时，
则甲乙同时开的时候总速度为 + ＝ ，设刚开始只打开甲a小时，接着打开乙b小
时，最后同时打开甲乙7﹣a﹣b小时，
则： a+ b+ （7﹣a﹣b）＝1，化简得：2a+3b＝5，
第9页（共12页）又∵a≥1，b≥1，∴a＝1，b＝1，
∴甲乙同时打开的时间为：7﹣a﹣b＝7﹣1﹣1＝5（小时）．
故答案是：5．
12．（10分）将一个五边形沿一条直线简称两个多边形，再将其中一个多边形沿一条直线剪成
两部分，得到了三个多边形，然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，…，如此下
去．在得到的多边形中要有20个五边形，则最少剪多少次？
【分析】按题意，一个多边形可以被分成两部分，其内角和至多增加360°，剪K次共增加的
度数至多为K×360°，所以这（K+1）个多边形的度数和至多是K×360°+540°，另一方面，20
个五边形的度数和为20×540°，剩余的（K﹣19）个多边形的度数和最小是（K﹣19）×180°，
这样得到：（K﹣19）×180°+20×540°≤K×360°+540°，求解最后得出结果．
【解答】解：根据分析，一个多边形被分成两部分，其内角和至多增加360°，
剪K次共增加的度数至多为K×360°，所以这（K+1）个多边形的度数和至多是K×360°
+540°，
另一方面，20个五边形的度数和为20×540°，剩余的（K﹣19）个多边形的度数和最小是（K
﹣19）×180°，
这样得到：（K﹣19）×180°+20×540°≤K×360°+540°；
整理得：K≥38，
当K＝38时，可以先将五边形切成一个五边形和一个四边形，然后用18次将四边形分成
19个四边形，
再用19次将每个四边形切成五边形，这样就用38次将其切成20个五边形．
综上，则最少剪38次．
故答案是：38．
三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）如图，有一张由四个1×1的小方格组成的凸字行纸片和一张5×6的方格纸，现将
凸字形纸片粘到方格纸上，要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸上的某个小方格
重合，那么可以粘出多少种不同的图形？（两图形经旋转后相同看作相同图形）
【分析】可以分情况讨论，把凸字形上面那个小方格称为它的头，粘出的图形可以分为两
类：凸字形的头在方格纸的边框上位第一类，凸字形的头在方格纸的内部为第二类．
第10页（共12页）【解答】解：根据分析，把凸字形上面那个小方格称为它的头，粘出的图形可以分为两类：
凸字形的头在方格纸的边框上位第一类，凸字形的头在方格纸的内部为第二类．
对于第一类，凸字形的头不能粘在方格纸的四个角，边框上（不是角）的小方格共有：
2×3+2×4＝14（个），有14个图形，
第二类，方格纸内部的每一个小方格可以粘凸字形的头，有头朝上，头朝下，头朝左，头朝
右之分，
所以，这类图形有4×（3×4）＝48（个）．
由加法原理知，共有14+48＝62中图形，由于方格纸的每个小方格都与另外一个小方格旋
转对称，
所以总的不同图形为：62÷2＝31（个）．
故答案是：31．
14．（15分）设n是正整数，若从任意n个非负整数中一定能找到四个不同的数a，b，c，d使得
a+b﹣c﹣d能被20整除．则n的最小值是多少？
【分析】首先说明任意8个非负整数不能满足条件，因为任意取9个非负整数，从中任意取
7个，它们的两两之和有21个，这21个和数除以20的余数有21个，因为余数最多有20
个不同的值，所以有下面两种情形之一发生：（1）有4个不同的数a、b、c、d，使得a+b与
c+d除以20有相同的余数，此时四个数满足条件．（2）有3个不同的数a、c、x，使得a+x与
b+x除以20有相同的余数，则（a+x）﹣（c+x）＝a﹣c是20的倍数，由此循环，即可解决问
题．
【解答】解：存在8个数：0，1，2，4，7，12，20，40它们中任何四个数都不能满足条件，所以
n的最小值大于等于9．
因为任意取9个非负整数，从中任意取7个，它们的两两之和有21个，这21个和数除以
20的余数有21个，因为余数最多有20个不同的值，所以有下面两种情形之一发生：
（1）有4个不同的数a、b、c、d，使得a+b与c+d除以20有相同的余数，此时四个数满足条
件．
（2）有3个不同的数a、c、x，使得a+x与b+x除以20有相同的余数，则（a+x）﹣（c+x）＝a
﹣c是20的倍数，将a、c取出，在剩下的7个数中，同理可得：要么四个不同的数，满足条
件，要么有两个数b、d，使得b﹣d是20的倍数，如此一来，总有a、b、c、d，使得a+b﹣c﹣d
能被20整除．
综上所述，n的最小值为9．
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第11页（共12页）日期：2019/5/7 11:01:43；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第12页（共12页）
