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2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷
（小高组B 卷）
一、填空题（每题10分，共80分）
1．（10分）计算：（ ﹣ ）× ÷ ﹣2.4＝ ．
2．（10分）如图，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形
的表面积等于多少？
3．（10分）有一片草场，10头牛8天可以吃完草场上的草； 15头牛，如果从第二天开始每天
少一头，可以5天吃完．那么草场上每天长出来的草够 头牛吃一天．
4．（10分）如图所示，将一个三角形纸片ABC折叠，使得点C落在三角形ABC所在平面上，
折痕为DE．已知∠ABE＝74°，∠DAB＝70°，∠CEB＝20°，那么CDA等于 ．
5．（10分）甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行．现在已知甲走一
圈的时间是70分钟．如果在出发后第45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是
分钟．
6．（10分）如图，正方形ABCD的边长为5，E，F为正方形外两点，满足AE＝CF＝4，BE＝DF
＝3，那么EF2＝ ．
7．（10分）如果2×38能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为 ．
8．（10分）现有算式：甲数□乙数○1，其中□，○是符号+，﹣，×，÷中的某两个．李雷对四组
第1页（共13页）甲数、乙数进行了计算，结果见表格，那么，A○B＝ ．
二、解答下列各题（每题10分，共40分）
9．（10分）计算：（ + +…+ ）+（ + +…+ ）+（ + +…+ ）+…+（ +
）+ ．
10．（10分）商店春节促销，顾客每次购物支付现金时，每100元可得一张价值50元的代金券．
这些代金券不能兑成现金，但可以用来购买商品，规则是：当次购物得到的代金券不能当
次使用； 每次购物支付的现金不少于购买商品价值的一半．李阿姨只有不超过1550元的
现金，她能买到价值2300元的商品吗？如果能，给她设计一个购物方案； 如果不能，说明
理由．
11．（10分）如图，等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之 间的面积为20，BD＝2，
EC＝4，求三角形ABC的面积．
12．（10分）试找出这样的最大的五位正整数，它不是11的倍数，通过划去它的若干数字也不
能得到可被11整除的数．
三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）如图，正方形ABCD的面积为1，M是CD边的中点，E，F是 BC边上的两点，且
BE═EF＝FC．连接AE，DF分别交BM分别于H，G．求四边形EFGH的面积．
14．（15分）现有如图左边所示的“四连方”纸片五种，每种的数量足够多．要在如图右边所
第2页（共13页）示的5×5方格网上，放“四连方”，“四连方”可以翻转，“四连方”的每个小方格都要
与方格网的某个小方格重合，任意两个“四连方”不能有重叠部分．那么最少放几个“四
连方”就不能再放了？
第3页（共13页）2016 年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛
试卷（小高组 B 卷）
参考答案与试题解析
一、填空题（每题10分，共80分）
1．（10分）计算：（ ﹣ ）× ÷ ﹣2.4＝ 4. 1 ．
【分析】先从括号里算起，先化简，将原式进行巧算，最后求得原式结果．
【解答】解：根据分析，原式＝（ ﹣ ）× ÷ ﹣2.4
＝（ ）× ﹣2.4
＝（ ）×11×
＝（ ）× ﹣2.4
＝ ﹣2.4
＝ ﹣2.4
＝
＝ ﹣2.4
＝ ﹣2.4
＝ ﹣2.4
＝6.5﹣2.4
＝4.1
故答案是：4.1．
第4页（共13页）2．（10分）如图，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形
的表面积等于多少？
【分析】这个几何体的表面积就是露出小正方体的面的面积之和，从上面看有16个面；从
下面看有16个面；从前面看有10个面；从后面看有10个面；从左面看有10个面；从右面
看有10个面．由此即可解决问题．
【解答】解：图中几何体露出的面有：10×4+16×2＝72（个）
所以这个几何体的表面积是：1×1×72＝72（平方米）
答：这个立体图形的表面积等于72平方米．
3．（10分）有一片草场，10头牛8天可以吃完草场上的草； 15头牛，如果从第二天开始每天
少一头，可以5天吃完．那么草场上每天长出来的草够 5 头牛吃一天．
【分析】转换思想，将 15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完转换成13头
牛吃5天即可解决问题．
【解答】解：依题意可知：
10×8﹣（15+14+13+12+11）＝15（份）．
15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完可以转换成13头牛吃5天．
15÷（8﹣5）＝5（份）
故答案为：5
4．（10分）如图所示，将一个三角形纸片ABC折叠，使得点C落在三角形ABC所在平面上，
折痕为DE．已知∠ABE＝74°，∠DAB＝70°，∠CEB＝20°，那么CDA等于 92 ° ．
【分析】在折叠前，可利用三角形内角和，求得∠C的度数，折叠后，利用三角形外角和以
及四边形的内角和求得∠CDA．
【解答】解：根据分析，折叠前，由三角形内角和，∠C＝180°﹣74°﹣70°＝36°，折叠后，
∠EOD＝∠C+∠CEO＝36°+20°＝56°；
第5页（共13页）∠BOD＝180°﹣∠DOE＝180°﹣56°＝124°，
∠CDA＝360°﹣∠ABE﹣∠BAE﹣∠BOD＝360°﹣70°﹣74°﹣124°＝92°．
故答案是：92°．
5．（10分）甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行．现在已知甲走一
圈的时间是70分钟．如果在出发后第45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是
126 分钟．
【分析】甲剩下的路程就是乙已走的路程，那么甲走25分钟路程与乙走45分钟的路程相
同，两者的速度与时间成反比例；行完全程时，再根据速度比，求出乙行完全程的时间．
【解答】解：70﹣45＝25（分钟），
甲走25分钟路程与乙走45分钟的路程相同，
那么甲的速度：乙的速度＝45：25，
行完全程两者所用的时间比就是：25：45；
乙走一圈用的时间是：70÷25×45＝126（分）．
答：乙走一圈的时间是126分钟．
故答案为：126．
6．（10分）如图，正方形ABCD的边长为5，E，F为正方形外两点，满足AE＝CF＝4，BE＝DF
＝3，那么EF2＝ 9 8 ．
【分析】可以将EA、FD、FC、EB分别延长这样就把图形扩展成一个大的正方形，再利用勾
股定理，不难求得EF2．
【解答】解：根据分析，如图：将EA、FD、FC、EB分别延长，这样就把图形扩展成一个大的
正方形，
第6页（共13页）∵AE＝CF＝4，BE＝DF＝3，
∴CM＝OA＝DF＝EB＝3，BM＝OD＝CF＝AE＝4
又∵DF2+CF2＝CD2，AE2+EB2＝AB2，
OA2+OD2＝AD2，CM2+BM2＝BC2
∴∠AEB＝∠DFC＝∠AOD＝∠BMC＝90°，
∴EO＝FO＝3+4＝7
∴EF2＝OE2+OF2＝72+72＝98
故答案是：98
7．（10分）如果2×38能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为 10 8 ．
【分析】首先可将k个连续的正整数设出来，求其和，抓住k取最大进行求解．
【解答】解：设k的连续整数分别是n+1，n+2，n+3，…，n+k，
则和＝ ＝ ，由于k最大，则n最小，
且k＜2n+k+1，
＝2×38，即k×（2n+k+1）＝22×38＝（22×34）×34＝35×（22×33），
因此k的最大值为34＝108．
故答案为：108．
8．（10分）现有算式：甲数□乙数○1，其中□，○是符号+，﹣，×，÷中的某两个．李雷对四组
甲数、乙数进行了计算，结果见表格，那么，A○B＝ ．
第7页（共13页）【分析】可以根据已知，先根据表格中的数字规律求得□，○是哪个运算符号，然后再算
A○B的结果．
【解答】解：根据分析，由表格中的数字可得：
□ ○1＝13；2□2○1＝5，
□ ○1＝13；
⇒
由2□2○1＝5，可知2+2+1＝5，2×2+1＝5，若2+2+1＝5，
则 + +1＝13不成立，故排除，所以2×2+1＝5；
综上，□为“×”，○为“+”，由表可知，A＝2□ ○1＝2× +1＝ ；
B＝ □2○1＝ ＝ ，
A○B＝A+B＝ + ＝ ．
故答案是： ．
二、解答下列各题（每题10分，共40分）
9．（10分）计算：（ + +…+ ）+（ + +…+ ）+（ + +…+ ）+…+（ +
）+ ．
【分析】先根据算式找规律，把同分母的分数合成一组，然后根据高斯求和公式解答即可．
【解答】解：（ + +…+ ）+（ + +…+ ）+（ + +…+ ）+…+（ +
）+
第8页（共13页）＝ +（ + ）+（ + + ）+…+（ + +…+ ）+（ + +…+ ）
＝ +1+ +…+ +
＝ + + +…+ +
＝
＝1015560
10．（10分）商店春节促销，顾客每次购物支付现金时，每100元可得一张价值50元的代金券．
这些代金券不能兑成现金，但可以用来购买商品，规则是：当次购物得到的代金券不能当
次使用； 每次购物支付的现金不少于购买商品价值的一半．李阿姨只有不超过1550元的
现金，她能买到价值2300元的商品吗？如果能，给她设计一个购物方案； 如果不能，说明
理由．
【分析】此题首先看一下1550最多能得多少代金券，即1500÷2＝750，而2300＝1550+750
刚好不多不少，也就是说，1550现金必须和所有能得到的750代金券全部消费掉才能买
到价值2300的商品．怎样才能把代金券和现金一起消费掉？我们从最后一次消费考虑就
不难得出结论了．经过分析，如果最后一次消费是100或150以上均无法买到价值2300
的商品，原因是后面所换的代金券不能单独用，题目是要求代金券必须和现金一起用．由
此推断，要想买到价值2300的商品，最后一次消费必须是50现金+50代金券（为什么是
50代金券，而不是100代金券，也是题意要求，现金不少于支付商品价值的一半）由50元
代金券可知上次消费的现金是100，而和同步用的代金券也必须是100，如是推理，请看如
下所示：
50+50（代金券）
100+100（代金券）
200+200（代金券）
400+400（代金券）
800
左边是现金800+400+200+100+50＝1550元，右边是代金券400+200+100+50＝750元，这
样能买到的商品价值是1550+750＝2300元，故能买到．据此解答即可．
【解答】解：根据题意可知：
（1）由于最后一次购买东西换的代金券是不能使用的，因为有1500元的钱需要换750元
第9页（共13页）的购物券，到最后一次最多可以用50元现金；
（2）为了尽可能多的使用代金券，每次尽量用到一半的代金券，每一次的代金券由上一次
购物获得；
（3）第一次只能用现金．
这样最后一次用50元现金和50元代金券；
倒数第二次用100元现金和100元代金券；
倒数第三次用200元现金和200元代金券；
倒数第四次用400元现金和400元代金券；
倒数第五次用800元现金．
满足条件的答案为：
第一次用800元现金；
第二次用400元现金和400元代金券；
第三次用200元现金和200元代金券；
第四次用100元现金和100元代金券；
第五次用50元现金和50元代金券．
总共：800+400+400+200+200+100+100+50+50＝2300（元）
所以用不超过1550元的现金，她能买到价值2300元的商品．
11．（10分）如图，等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之 间的面积为20，BD＝2，
EC＝4，求三角形ABC的面积．
【分析】可以利用等积变形，将△DEF向B点平移，△DEF的形状大小不变，平移后△DEF
的DF与AB重合，此时等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之间的面积仍不变，
而此时EC的长从原来的4变成了6，此时不难计算出三角形ABC的面积．
【解答】解：根据分析，利用等积变形，将△DEF向B点平移，△DEF的形状大小不变，
平移后△DEF的DF与AB重合，此时等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之间
的面积仍不变，
而此时EC的长从原来的4变成了6，如图所示：
第10页（共13页）过E作EG⊥AC交AC于G，Rt△EGC中，不难得知，EG＝GC＝ ，
又∵等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之间的面积为20，即梯形ACEF的面
积为20，
∴（EF+AC）×EG× ＝（EF+AG+GC）×EG× ＝（2×EF+3 ）×3 × ＝20 EF＝
⇒
，
则BF＝ ，△BEF的面积＝ BF×EF＝ ＝ ，
三角形ABC的面积＝△BEF的面积+20＝ ＝ ．
故答案是： ．
12．（10分）试找出这样的最大的五位正整数，它不是11的倍数，通过划去它的若干数字也不
能得到可被11整除的数．
【分析】五位数的最大数，根据被11整除的特征，奇数位上的数字和与偶数位数字和的差
是11的倍数，因此五位数不能被11整除，可以先确定万位上的数字，再逐个确定其它数
字
【解答】解：根据分析，设此五位数为 ，最大的五位数，则a＝9，
若此五位数为90000，显然不能被11整除，故符合题意的最大的五位数必大于90000，若b
＝9，则 划去 后为99，能被11整除，故b≠9，
若b＝8，则 划去 后为98，不能被11整除，∴b＝8，
若c＝9或8，则 划去8再划去 后，为99，不和题意， 划去 再划去9后为
88，不合题意，
∴c＝7， 划去若干数字后不能被11整除，
若d＝9，8，或7，均不合题意，d＝6时 划去若干数后不能被11整除，∴d＝6
第11页（共13页）若e＝9，8，7或6，均不合题意，故e＝5，
综上所述，此五位数为：98765
三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）如图，正方形ABCD的面积为1，M是CD边的中点，E，F是 BC边上的两点，且
BE═EF＝FC．连接AE，DF分别交BM分别于H，G．求四边形EFGH的面积．
【分析】过M做MQ平行BC交DF于Q，过E作EP平行AB交BM于P，利用线段之间的
比例关系，求得三角形之间的面积之比，最后求得阴影部分的面积．
【解答】解：根据分析，如图，过M做MQ平行BC交DF于Q，过E作EP平行AB交BM于
P，
∵M为CD中点，所以QM：PC＝1：2，∴QM：BF＝1：4，所以GM：GB＝1：4，
∴BG：BM＝4：5；又因为BF：BC＝2：3， ；
∵E为BC边上三等分点，所以EP：CM＝1：3，∴EP：AB＝1：6，
∴BH：HP＝6：1，∴BH：HM＝6：15＝2：5，BH：BG＝2：7，
又∵GM：GB＝1：4，∴BH：BG＝5：14，∴ ，
∴ ．
故答案是： ．
14．（15分）现有如图左边所示的“四连方”纸片五种，每种的数量足够多．要在如图右边所
示的5×5方格网上，放“四连方”，“四连方”可以翻转，“四连方”的每个小方格都要
与方格网的某个小方格重合，任意两个“四连方”不能有重叠部分．那么最少放几个“四
第12页（共13页）连方”就不能再放了？
【分析】此题与常规填充题不同的是，本题要求放置几个“四连方”之后，没有空间再放
置任何一个“四连方”．
【解答】解：本题需要尽可能“不合理”利用空间，使用尽可能少的“四连方”占据空间，
使余下的空白方格不能容下任何一个“四连方”，
如下图所示，放入3个之后，再没有空间放任何一个“四连方”，
而如果只放2个的话，还余下25﹣2×4＝17块，必然会存在连续的空间可以放下“四连
方”．
所以：最少放3个“四连方”就不能再放了．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 11:02:07；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第13页（共13页）
