文档内容
2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷
（小高组C卷）
一、填空题（每小题6分，共48分）
1．（6分）计算： + ＝ ．
2．（6分）某月里，星期五、星期六和星期日各有5天，那么该月的第1日是星期 ．
3．（6分）大于 且小于 的真分数有 个．
4．（6分）哥哥和弟弟各买了若干个苹果，哥哥对弟弟说：“若我给你一个苹果，咱俩的苹果
个数一样多”．弟弟想了想，对哥哥说：“若我给你一个苹果，你的苹果数将是我的2倍”，
则哥哥与弟弟共买了 个苹果．
5．（6分）图中，AB＝AD，∠DBC＝21°，∠ACB＝39°，则∠ABC＝ 度．
6．（6分）已知抽水机甲和抽水机乙的工作效率比是3：4，如两台抽水机同时抽取某水池，15
小时抽干水池，现在，乙抽水机抽水9小时后关闭，再将甲抽水机打开，要抽干水池还需要
小时．
7．（6分）n为正整数，形式为2n﹣1的质数称为梅森数，例如：22﹣1＝3，23﹣1＝7是梅森数．
最近，美国学者刷新了最大梅森数，n＝74207281，这个梅森数也是目前已知的最大的质数，
它的个位数是 ．
8．（6分）图中，ABCD是直角梯形，上底AD＝2，下底BC＝6，E是DC上一点，三角形ABE的
面积是15.6，三角形AED的面积是4.8，则梯形ABCD的面积是 ．
二、解答题（共4小题，满分22分）
第1页（共10页）9．（5分）甲、乙两人，在一圆形跑道上同时同地出发，反向跑步，已知甲的速度是每分钟
180m，乙的速度是每分钟240m，在30分钟内，它们相遇了24次，问跑道的长度最多是多
少米？
10．（5分）一筐苹果分成甲乙两份，甲的个数和乙的苹果个数比是27：25，甲多乙少，若从甲
中至少取出4个，加入乙中，则乙多甲少，问这筐苹果有多少个？
11．（6分）如图是一个等边三角形，等分为4个小的等边三角形，用红和黄两种颜色涂染它们
的顶点，要求每个顶点必须涂色，且只能涂一种颜色．涂完后，如果经过旋转，等边三角形
的涂色相同，则认为是相同的涂色，则共有多少种不同的涂法？
12．（6分）三台车床A，B，C各以一定的工作效率加工同一种标准件，A车床比C车床早开机
10分钟，C车床比B车床早开机5分钟，B车床开机10分钟后，B，C车床加工的标准件的
数量相同，C车床开机30分钟后，A，C两车床加工的标准件个数相同，B车床开机多少分
钟后就能与A车床加工的标准件的个数相同？
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）黑板上先写下一串数：1，2，3，…，100，如果每次都擦去最前面的6个，并在这串
数的最后再写上擦去的6个数的和，得到新的一串数，再做同样的操作，直到黑板上剩下
的数不足6个．问：
（1）最后黑板上剩下的这些数的和是多少？
（2）最后所写的那个数是多少？
14．（15分）数学竞赛，填空题8道，答对1题，得4分，未答对，得0分；问答题6道，答对1道，
得7分，未答对，得0分，参赛人数400人，至少有多少人的总分相同？
第2页（共10页）2016 年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛
试卷（小高组 C 卷）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题6分，共48分）
1．（6分）计算： + ＝ ．
【分析】可以先将原式化简，将分子分母分别计算出结果，然后最后求得结果．
【解答】解：根据分析，原式＝ +
＝ ＝
＝
＝
＝
＝ ；
故答案是： ．
2．（6分）某月里，星期五、星期六和星期日各有5天，那么该月的第1日是星期 五 ．
【分析】首先根据1个月最多有31天，可得：1个月最多有4个星期零3天；然后根据该月
星期五、星期六和星期日各有5天，可得：该月的第1日是星期五，据此解答即可．
【解答】解：因为31÷7＝4（个）…3（天），
所以1个月最多有4个星期零3天，
因为该月星期五、星期六和星期日各有5天，
第3页（共10页）所以该月的第1日是星期五．
答：该月的第1日是星期五．
故答案为：五．
3．（6分）大于 且小于 的真分数有 无穷多 个．
【分析】比较两个分数大小时，要么分子和相同，要么分母相同，才可比较．所以针对此题
中的两个分数，先要通分变成分母相同的两个分数再进行比较即可．
【解答】解： ＝ ， ＝ ；
比2015大且小于2016的数有无数个，这无数个数都比2015×2016小．以这无数个数中的
任何一个数做分子，2015×2016做分母组成的所有分数都是真分数．
故：大于 且小于 的真分数有 无穷多个．
4．（6分）哥哥和弟弟各买了若干个苹果，哥哥对弟弟说：“若我给你一个苹果，咱俩的苹果
个数一样多”．弟弟想了想，对哥哥说：“若我给你一个苹果，你的苹果数将是我的2倍”，
则哥哥与弟弟共买了 1 2 个苹果．
【分析】首先分析哥哥比弟弟多几个苹果，同时找到第二次的数量差即可求出一份量．问
题解决．
【解答】解：依题意可知：
哥哥对弟弟说：“若我给你一个苹果，咱俩的苹果个数一样多”．说明哥哥比弟弟多2个
苹果．
弟弟若给哥哥一个苹果，哥哥的苹果数将是弟弟的2倍”，那么弟弟比哥哥少了4个苹果．
此时4÷（2﹣1）＝4（个）．
弟弟此时4个，哥哥8个共4+8＝12个．
故答案为：12
5．（6分）图中，AB＝AD，∠DBC＝21°，∠ACB＝39°，则∠ABC＝ 8 1 度．
【分析】如果想求出∠ABC的度数，那么需要求出∠ABD度数，根据AB＝AD可知底角相
等．再根据外角即可求解．
【解答】解：依题意可知：
第4页（共10页）∠DBC＝21°，∠ACB＝39°
根据外角等于不相邻的内角和可知∠ADB＝∠C+∠DBC＝21°+39°＝60°．
∵AB＝AD．∴∠ADB＝∠ABD＝60°．
∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝60°+21°＝81°．
故答案为：81
6．（6分）已知抽水机甲和抽水机乙的工作效率比是3：4，如两台抽水机同时抽取某水池，15
小时抽干水池，现在，乙抽水机抽水9小时后关闭，再将甲抽水机打开，要抽干水池还需要
23 小时．
【分析】根据“工作量＝工作效率×工作时间”．由已知条件设出甲、乙的工作效率分别是
、1，可得工作总量（ +1）×15＝26.25，工作总量减去乙已经完成的工作量就得出乙要完
成的工作量，再有公式即可算出甲的工作时间．
【解答】解：设甲、乙的工作效率分别是 、1．
（ +1）×15＝26.25
26.25﹣1×9＝17.25
17.25÷ ＝23（小时）
故：要抽干水池还需要23小时．
7．（6分）n为正整数，形式为2n﹣1的质数称为梅森数，例如：22﹣1＝3，23﹣1＝7是梅森数．
最近，美国学者刷新了最大梅森数，n＝74207281，这个梅森数也是目前已知的最大的质数，
它的个位数是 1 ．
【分析】根据题意，此梅森数为2n﹣1＝274207281﹣1，要求梅森数的个位数，只需求得
274207281的个位数，而274207281的个位数可以根据周期规律求得．
【解答】解：根据分析，此梅森数为2n﹣1＝274207281﹣1，
∵21＝2；22＝4；23＝8；24＝16；25＝32；
26＝64；27＝128；28＝256；29＝512；210＝1024…
由此可知，2n个位数字为：2、4、8、6、2、4、8、6、2…
即n＝1，5，9，…时，个位数字为2；n＝2，6，10，…时，个位数字为4；
n＝3，7，11，…时，个位数字为8；n＝4，8，12，…时，个位数字为6；
综上，2n个位数字按周期循环出现，周期为4，而74207281＝4×18551820+1，
第5页（共10页）故274207281的个位数与21的个位数相同，可以断定274207281的个位数为2，
274207281﹣1的个位数为：2﹣1＝1．
故答案是：1．
8．（6分）图中，ABCD是直角梯形，上底AD＝2，下底BC＝6，E是DC上一点，三角形ABE的
面积是15.6，三角形AED的面积是4.8，则梯形ABCD的面积是 2 4 ．
【分析】按题意，可以先求得三角形ADE底边AD上的高，再求得三角形BEC的底边BC
上的高，即可求得三角形ECB的面积，不难求得梯形ABCD的面积．
【解答】解：根据分析，先求得三角形ADE底边AD上的高＝4.8÷（ ×AD）＝4.8÷1＝4.8，
如图，过E作EG⊥BC，EF⊥AB，显然EG＝EF，由梯形的面积可知，
×（AD+BC）×AB＝ ×（2+6）×（AF+FB）＝4×（4.8+EG），
梯 形 的 面 积 ＝ S△
ADE
+S△
ABE
+S△
BCE
＝ 15.6+4.8+ ＝ 20.4+ ＝
20.4+3EG，
4×（4.8+EG）＝20.4+3EG，解得：EG＝1.2，
故梯形ABCD的面积＝4×（4.8+EG）＝4×（4.8+1.2）＝24．
故答案是：24．
二、解答题（共4小题，满分22分）
9．（5分）甲、乙两人，在一圆形跑道上同时同地出发，反向跑步，已知甲的速度是每分钟
180m，乙的速度是每分钟240m，在30分钟内，它们相遇了24次，问跑道的长度最多是多
少米？
第6页（共10页）【分析】每相遇一次，两人就跑一个跑道的全长，先把两人是反向跑步，所以先求出两人的
速度的和，再乘跑步的时间30分钟，即可求出24圈的长度，再除以24即可求出跑道的长
度．
【解答】解：（180+240）×30÷24
＝420×30÷24
＝12600÷24
＝525（米）
答：跑道的长度最多是525米．
10．（5分）一筐苹果分成甲乙两份，甲的个数和乙的苹果个数比是27：25，甲多乙少，若从甲
中至少取出4个，加入乙中，则乙多甲少，问这筐苹果有多少个？
【分析】“从甲中至少取出4个，加入乙中，则乙多甲少”这句话的意思是，如果从甲中取
出3个，加入乙中，则乙不比甲多．
【解答】解：依题意可知：
从甲中取出4个，加入乙中，则乙比甲多；从甲中取出3个，加入乙中，则乙不比甲多．
设甲有27n，乙有25n，
则：
得3≤n＜4，
所以n＝3，
苹果共有：27n+25n＝156个，
这筐苹果有156个．
11．（6分）如图是一个等边三角形，等分为4个小的等边三角形，用红和黄两种颜色涂染它们
的顶点，要求每个顶点必须涂色，且只能涂一种颜色．涂完后，如果经过旋转，等边三角形
的涂色相同，则认为是相同的涂色，则共有多少种不同的涂法？
【分析】共分为两大类情况，只使用1种颜色、使用两种颜色，分类讨论得出结果．
【解答】解： 只是用一种颜色：有1+1＝2种情况，
两种颜色的①点数比为1：5，有2+2＝4种，
②两种颜色的点数比为2：4，有2×（1+1+3）＝10种，
③
第7页（共10页）两种颜色的点数比为3：3，有有1+3+3+1＝8种，
④共有凃法：2+4+10+8＝24种．
12．（6分）三台车床A，B，C各以一定的工作效率加工同一种标准件，A车床比C车床早开机
10分钟，C车床比B车床早开机5分钟，B车床开机10分钟后，B，C车床加工的标准件的
数量相同，C车床开机30分钟后，A，C两车床加工的标准件个数相同，B车床开机多少分
钟后就能与A车床加工的标准件的个数相同？
【分析】首先根据工作量相同时，效率和时间是反比关系，找到时间比即可求出效率比，时
间可求．
【解答】解：依题意可知：
A开机10分钟C开机，再过5分钟B开机．
当B开机10分钟时，C开机15分钟，时间比为：2：3，那么效率比为3：2．
当C开机30分钟时，A开机40分钟，时间比为3：4，效率比为4：3．
效率化连比A：B：C＝3：6：4．
根据B的效率是A的2倍．那么时间差是15分钟，再过15分钟即可使工作数量相同．
答：B车床开机15分钟后B与A车床工作数量相同．
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）黑板上先写下一串数：1，2，3，…，100，如果每次都擦去最前面的6个，并在这串
数的最后再写上擦去的6个数的和，得到新的一串数，再做同样的操作，直到黑板上剩下
的数不足6个．问：
（1）最后黑板上剩下的这些数的和是多少？
（2）最后所写的那个数是多少？
【分析】首先分析第一问 擦去1，2，3，4，5，6但是写上了21数字和没有变化．剩下的数字
和就是所有的数字和．第二问中发现数字是等差数列枚举即可．
【解答】解：依题意可知：
（1）擦去1，2，3，4，5，6但是写上了21数字和没有变化．
最后的数字和是1+2+3+…+100的数字和为5050．
（2）第一次擦下去的数字是1，2，3，4，5，6写上去的是21，第二次擦去的是7，8，9，10，
11，12写上的数字是57．那么21与57的数字差为36．
100÷6＝16…4．说明擦去96个数字填上了16 个数字，这16个数字是以21位首项公差为
36的等差数列．后来共20个数字．
这20个数字为：97，98，99，100，21，57，93，129，165，201，237，273，309，345，381，417，
第8页（共10页）453，489，525，561．
然后20÷6＝3…2．说明最后两个数字剩下了，新添加了3个数字，那么最后写的数字就是
309，345，381，417，453，489的数字和为2394．
答：（1）最后黑板上剩下的这些数的和是5050．（2）最后所写的那个数是2394．
14．（15分）数学竞赛，填空题8道，答对1题，得4分，未答对，得0分；问答题6道，答对1道，
得7分，未答对，得0分，参赛人数400人，至少有多少人的总分相同？
【分析】首先找出有多少种情况的结果，然后用400看每一组有多少人看看有没有余数，就
是平均分的最大值．
【解答】解：方法一：设4分题答对a道，7分题答对b道，则a可取0到8共9种，b可取0
到6共7种，
得分情况共有9×7＝63种，
再考虑得分重复情况，当a′＝a+7，b′＝b﹣4时，两次分数相同，
即（a，b）＝（0，6）和（7，2），（0，5）和（7，1），（0，4）和（7，0），（1，6）和（8，2），（1，5）和
（8，1），（1，4）和（8，0）；
共6种情况下，分数会相同．
所以不同分数共63﹣6＝57（种），
400÷57＝7…1.7+1＝8，至少有8人分数相同，
故答案为：8
方法二：依题意可知：
8道填空和6道问答题共8×4+6×7＝74（分）
没有答对问答时：共有9种情况：0，4，8，12，16，20，24，28，32．
答对1个问答时；共有9种情况：7，11，15，19，23，27，31，35，39．
答对2个问答时：共9种情况：14，18，22，26，30，34，38，42，46．
答对3个问答时：共9种情况：21，25，29，33，37，41，45，49，53．
答对4问答时：共9种情况：28，32，36，40，44，48，52，56，60．重复2个共7个．
答对5问答时：共9种情况：35，39，43，47，51，55，59，63，67．重复2个共7个．
答对6问答时：共9种情况：42，46，50，54，58，62，66，70，74．重复2个共7个．
共有4×9+7×3＝57．
400÷57＝7…1.7+1＝8．
故答案为：8．
第9页（共10页）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 11:02:01；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第10页（共10页）
