文档内容
2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷
（小高组A卷）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.14]＝3，则
[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ] 的 值 为
．
2．（10分）从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值．然后再求这个平均值和余下1个
数的和，这样可以得到4个数：8、12、10 和9 ，则原来给定的4个整数的和为 ．
3．（10分）在3×3的网格中（每个格子是个1×1的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最
多放一枚棋子，共有 种不同的摆放方法．（如果两种放法能够由旋转而重合，则把
它们视为同一种摆放方法）．
4．（10分）甲从A地出发去找乙，走了80千米后到达B地，此时，乙已于半小时前离开B地
去了C地，甲已离开A地2小时，于是，甲以原来的速度的2倍去C地．又经过了2小时后，
甲乙两人同时到达C地，则乙的速度是 千米/小时．
5．（10分）某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组．已知两个小组都参加的人数是只参加书法
小组人数的 ，是只参加朗诵小组人数的 ，那么书法小组与朗诵小组的人数比是
．
6．（10分）如图，△ABC的面积为100平方厘米，△ABD的面积为72平方厘米．M为CD边的
中点，∠MHB＝90°，已知AB＝20厘米，则MH的长度为 厘米．
第1页（共13页）7．（10分）一列数a 、a …，a …，记S（a）为a 的所有数字之和，如S（22）＝2+2＝4，若a ＝
1 2 n i i 1
2017，a
2
＝22，a
n
＝S（a
n﹣1
）+S（a
n﹣2
），那么a
2017
等于 ．
8．（10分）如图，六边形的六个顶点分别标志为A，B，C，D，E，F．开始的时候“华罗庚金杯
赛”六个汉字分别位于A，B，C，D，E，F顶点处．将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结
果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共
有 种．
二、解答题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成n个交点，则n有多少个不同的数值？
10．（10分）某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐．每名学生至少选择一
种，也可以多选．统计结果显示：70%的学生选择苹果，40%的学生选择了香蕉．30%的学
生选了梨，那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几？
11．（10分）箱子里面有两种珠子，一种每个19克，另一种每个17克，所有珠子的重量为
2017克，求两种珠子的数量和所有可能的值．
12．（10分）使 不为最简分数的三位数n之和等于多少．
三、解答题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）班上共有60位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个同样的问题：班上有几
个人与你生日的月份相同？班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与
12月I2日的号数相同的）．结果发现，在所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那
么，该班至少有多少个同字生日相同？
14．（15分）将1至9填入图的网格中．要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，且
每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的
整数倍．已知左右格子已经填有数字4和5，问：标有字母x的格子所填的数字最大是多少？
第2页（共13页）第3页（共13页）2017 年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛
试卷（小高组 A 卷）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.14]＝3，则
[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ] 的 值 为
6048 ．
【分析】可以先将原式化简，将每项化成带分数的形式，然后取整数部分，即可得出和．
【解答】解：根据分析，原式为：
[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]
＝[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]
＝550+733+916+1100+1283+1466
＝6048．
故答案是6048．
2．（10分）从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值．然后再求这个平均值和余下1个
数的和，这样可以得到4个数：8、12、10 和9 ，则原来给定的4个整数的和为 2 0 ．
【分析】根据题意，设原来给定的4个整数分别是a、b、c、d，则 +d＝8（1），
+c＝12（2）， +b＝10 （3）， +a＝9 （4），据此求出原来给定的4个整数的
和是多少即可．
【解答】解：设原来给定的4个整数分别是a、b、c、d，
+d＝8（1），
+c＝12（2），
第4页（共13页）+b＝10 （3），
+a＝9 （4），
（1）+（2）+（3）+（4），可得
2（a+b+c+d）＝8+12+10 +9 ，
所以a+b+c+d＝20，
所以原来给定的4个整数的和为20．
故答案为：20．
3．（10分）在3×3的网格中（每个格子是个1×1的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最
多放一枚棋子，共有 1 0 种不同的摆放方法．（如果两种放法能够由旋转而重合，则把
它们视为同一种摆放方法）．
【分析】可以分情况讨论，四个顶点的位值一样，正中间的一个方格一个位值，剩下的四个
方格位值相同，故可以分次三种情况分别计算不同的摆放方法．
【解答】解：根据分析，份三种情况：
当正中间即E处放一颗棋子，然后另一颗棋子放在外围任意一个位置，除去对称性因
①素，有2种不同的摆放方法，即AE、BE；
当两颗棋子都不在正中间E处时，而其中有一颗在顶点处时，有4种不同摆法，即AB、
②AF、AH、AD；
当两颗棋子都在顶点处时，有2种不同摆法，即AC、AI；
③当两颗棋子都在除顶点和正中间之外的4个方格中，有2种不同摆法，即BD、BH．
④
综上，共有：2+4+2+2＝10种不同摆放方法．
4．（10分）甲从A地出发去找乙，走了80千米后到达B地，此时，乙已于半小时前离开B地
去了C地，甲已离开A地2小时，于是，甲以原来的速度的2倍去C地．又经过了2小时后，
第5页（共13页）甲乙两人同时到达C地，则乙的速度是 6 4 千米/小时．
【分析】首先知道甲在2小时的路程是80千米，那么甲现在的速度和后来的速度都是可求
的，再根据甲的时间和速度可求从B到C的路程，用路程除以乙的时间即是速度．
【解答】解：甲在2小时走80千米，甲速为：80÷2＝40（千米/时）；
甲速度加速变成40×2＝80（千米/时）；
甲再经过2小时路程为：2×80＝160（千米/时）
乙路程共是160千米，时间是2.5小时，乙速为：160÷2.5＝64（千米/时）
故答案为：64
5．（10分）某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组．已知两个小组都参加的人数是只参加书法
小组人数的 ，是只参加朗诵小组人数的 ，那么书法小组与朗诵小组的人数比是 3 ： 4
．
【分析】把两个小组都参加的人数看作单位“1”，则只参加书法小组人数的分率是1÷
＝ ，只参加朗诵小组人数的分率是1÷ ＝5，则参加书法小组人数的分率是1+ ＝ ，
参加朗诵小组人数的分率是1+5＝6，然后根据比的意义解答即可．
【解答】解：把两个小组都参加的人数看作单位“1”，
（1+1÷ ）：（1+1÷ ）
＝ ：6
＝3：4
答：书法小组与朗诵小组的人数比是3：4．
故答案为：3：4．
6．（10分）如图，△ABC的面积为100平方厘米，△ABD的面积为72平方厘米．M为CD边的
中点，∠MHB＝90°，已知AB＝20厘米，则MH的长度为 8. 6 厘米．
【分析】可以利用面积公式分别求出△ABC、△ABD的高，而已知AB＝20厘米，再利用
第6页（共13页）MH的中位线性质求出MH的长度．
【解答】解：根据分析，过D，C分别作DE⊥AB交AB于E，CF⊥AB交AB于F，如图：
△ABD的面积＝72＝ ，∴DE＝7.2厘米，
△ABC的面积＝100＝ ，∴CF＝10厘米；
又∵MH＝ ＝ ×（7.2+10）＝8.6厘米．
故答案是：8.6．
7．（10分）一列数a 、a …，a …，记S（a）为a 的所有数字之和，如S（22）＝2+2＝4，若a ＝
1 2 n i i 1
2017，a 2 ＝22，a n ＝S（a n﹣1 ）+S（a n﹣2 ），那么a 2017 等于 1 0 ．
【分析】首先要分析清楚S（a）的含义，即a 是一个自然数，S（a）表示a 的数字和，再根据
i i i i
a 的递推式列出数据并找出规律．
n
【解答】解：S（a
i
）表示自然数a
i
的数字和，又a
n
＝S（a
n﹣1
）+S（a
n﹣2
），在下表中列出n＝1，
2，3，4，…时的a 和S（a ），
n n
n a S（a ）
n n
1 2017 10
2 22 4
3 14 5
4 9 9
5 14 5
6 14 5
7 10 1
8 6 6
9 7 7
10 13 4
11 11 2
12 6 6
13 8 8
第7页（共13页）14 14 5
15 13 4
16 9 9
17 13 4
18 13 4
19 8 8
20 12 3
21 11 2
22 5 5
23 7 7
24 12 3
25 10 1
26 4 4
27 5 5
28 9 9
29 14 5
30 14 5
31 10 1
32 6 6
由上表可以得出：
a ＝a ＝9，S（a ）＝S（a ）＝9；
4 28 4 28
a ＝a ＝14，S（a ）＝S（a ）＝5；
5 29 5 29
…
可以得到规律：当i≥4时，a＝a ，S（a）＝S（a ），
i i+24 i i+24
2017﹣3＝2014，2014÷24＝83…22，
所以：a ＝a ＝a ＝10．
2017 3+22 25
8．（10分）如图，六边形的六个顶点分别标志为A，B，C，D，E，F．开始的时候“华罗庚金杯
赛”六个汉字分别位于A，B，C，D，E，F顶点处．将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结
果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共
有 4 种．
第8页（共13页）【分析】显然，只有两种情况，分别讨论，相邻两个字互换，以及顺时针移动一个位值，或逆
时针移动一个位值，最后可以求得总的不同的摆放方法．
【解答】解：根据分析，分两类情况：
按顺序移动一个位置，顺时针移动一个位置，有1种不同摆放方法，逆时针移动一个位
①置，有1种不同摆放方法；
相邻两个位置互换，则共有：2种不同的摆放方法．
②综上，共有：1+1+2＝4种不同摆放方法．
故答案是：4．
二、解答题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成n个交点，则n有多少个不同的数值？
【分析】按题意，可以分类讨论，最后确定n的取值．
【解答】解：根据分析，n＝0，即5条直线互相平行；
n＝1，即五条直线交于一点；
n＝2，3，不存在；
n＝4，5，6，7，8，9，10的情况分别如下图：
第9页（共13页）n的取值共有9种不同的数，故答案是：9．
10．（10分）某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐．每名学生至少选择一
种，也可以多选．统计结果显示：70%的学生选择苹果，40%的学生选择了香蕉．30%的学
生选了梨，那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几？
【分析】将所有学生分成四种，即三种水果都选的人数a、同时选苹果和香蕉的人数b、同
时选梨和苹果的人数c、同时选香蕉和梨的人数d，再根据选每种水果的人数列关系式，
2a+b+c+d＝70+40+30﹣100＝40，再利用各个取值范围求出三种水果都选的人数最大值．
【解答】解：根据分析，设学生总数为100人，故70人的学生选择苹果，40人的学生选择了
香蕉．30人的学生选了梨，
三种水果都选的学生人数有a人，同时选了苹果和香蕉的人数有b人，同时选了梨和苹果
的人数有c人，
同时选了香蕉和梨的人数有d人，则：2a+b+c+d＝70+40+30﹣100＝40 a＝
⇒
第10页（共13页），又∵b+c+d≥0，∴a≤ ＝20，
故当b+c+d＝0时，a取最大值20，即占总数的20%
故答案是20%．
11．（10分）箱子里面有两种珠子，一种每个19克，另一种每个17克，所有珠子的重量为
2017克，求两种珠子的数量和所有可能的值．
【分析】按题意，可以设每个重量的数量为未知数，19克的珠子有x个，17克的珠子有y个，
再列出关系式，根据正整数的范围逐步取值，最后找出符合题意的值．
【解答】解：根据分析，设有x个19克的珠子，y个17克的珠子，则有：
19x+17y＝2017，又∵x，y均为正整数
∴1≤x≤ ＜106，1≤y≤ ＜118；
19x+17y＝2017 x＝ ，由余数定理，要使x为正整数，2017﹣17y必须能被19
⇒
整除，
即余数为0，而2017被9除余数为3，故17y被19除余数也为3，在所有被19除余数为3
既小于2017又能被17整除的数只有：
136，即17y＝136 y＝8，x＝ ＝99，x+y＝99+8＝107；
① ⇒
459，即17y＝459 y＝27，x＝ ＝82，x+y＝82+27＝109；
② ⇒
782，即17y＝782 y＝46，x＝ ＝65，x+y＝65+46＝111；
③ ⇒
1105，即17y＝1105 y＝65，x＝ ＝48，x+y＝48+65＝113；
④ ⇒
1428，即17y＝1428 y＝84，x＝ ＝31，x+y＝31+84＝115；
⑤ ⇒
1751，即17y＝1751 y＝103，x＝ ＝14，x+y＝14+103＝117．
⑥ ⇒
综上，两种珠子的数量和即x+y所有可能的值是：107、109、111、113、115、117．
故答案是：107、109、111、113、115、117．
12．（10分）使 不为最简分数的三位数n之和等于多少．
第11页（共13页）【分析】 不为最简，表明（5n+1，3n+2）＝a≠1，根据辗转相除原理有1≠a（| 5n+1）×3
﹣（3n+2）×5即＝1≠a|7，则a只能等于7，我们可以用5n+1尝试来锁定答案，一次尝试可
知5n+1＝1或6或11或16或21，因为21＝3×7，所以5n+1＝21时7|5n+1成立，此时n为
最小值，且为4，其它值即可顺次找出，只需要将4递加7即可，题中让我们求的是符合条
件的三位数，那么最小为102，最大为998，此后利用等差数列求和即可．
【解答】解： 不为最简，表明（5n+1，3n+2）＝a≠1，
根据辗转相除原理有1≠a|（5n+1）×3﹣（3n+2）×5即＝1≠a|7，则a只能等于7，
一次尝试可知5n+1＝1或6或11或16或21，因为21＝3×7，所以5n+1＝21时7|5n+1成
立，此时n为最小值，且为4，
将4递加7即可，
符合条件的三位数，那么最小为102，最大为998，
102+109+116+…+998
＝（102+998）×129÷2
＝70950
答：使 不为最简分数的三位数n之和等于70950．
三、解答题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）班上共有60位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个同样的问题：班上有几
个人与你生日的月份相同？班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与
12月I2日的号数相同的）．结果发现，在所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那
么，该班至少有多少个同字生日相同？
【分析】同月份和同号数的回答取遍0到14，即同月份和同号数的人数取遍1到15，进而
分析求解．
【解答】解：回答中包含了由0到14的所有整数，也就是说每种回答包含的学生数量是1
到15．
由于1+2+3+…+15＝120＝2×60，
因此不论是回答同月，还是回答同号，同月份和同号数的人数的数字不会重复（比如说，
某一月份生日的人有3个，就不会出现生日号数为某一号的人数有3个），
因此统计同月份或同号数的人数时，1～15这15个数字每个数字都只出现一次．
要使同月同日的人尽量少，则可以使月份情况或者号数情况尽量分散，
第12页（共13页）例如可以将60拆分成：60＝1+2+3+4+5+7+8+9+10+11这一种分散情况，不妨设这是同月
份的人数，
和另一种情况：60＝6+12+13+14+15，这是同号数的人数，
分析最大数字15，将15个同号数的人，分配到上面10个月份中，可知，同月同日最少会
有两人．
所以：该班生日相同的人数至少有2人．
14．（15分）将1至9填入图的网格中．要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，且
每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的
整数倍．已知左右格子已经填有数字4和5，问：标有字母x的格子所填的数字最大是多少？
【分析】按题意，1至9的数字中，填入4和5之外，只剩下7个数，可以先求出7个数的和，
即为36，中间的x只可能是3，6，9，故一一检验，即可得知x的值．
【解答】解：根据分析，1+2+3+6+7+8+9＝36，填入的x是其它五个数的因数，
故x只能是3、6、9，若x＝9，则，不能每个数的周围的数字之和是该格子中所填数字的整
数倍；
x＝6时，如图所示，易知x＝6符合题意．
故答案是：6．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 11:03:00；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第13页（共13页）
