文档内容
2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷
（小中组）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）在2017个自然数中至少有一个两位数，而且其中任意两个数至少有一个三位数，
则这2017个数中有 个三位数．
2．（10分）如图（1）所示，一个棋子从A到B只能沿着横平竖直的路线在网格中行走，给定棋
子的一条路线，将棋子在某一列中经过的格子数标在该列的上方，在某一行中经过的格子
数标在该行的左方．如果右图（2）中网格上方和左方的数字也是根据以上规则确定的，那
么图中x代表的数字为 ．
3．（10分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[10.2]＝10．则[ ]+[ ]+[
]+[ ]+[ ]+[ ]等于 ．
4．（10分）盒子里有一些黑球和白球，如果将黑球数量变成原来的5倍，总球数将会变成原来
的2倍．如果将白球数量变成原来的5倍，总球数将会变成原来的 倍．
5．（10分）能被自己的数字之和整除的两位数中，奇数共有 个．
6．（10分）如图，将一个正方形硬纸片的四个角分别剪去一个等腰直角三角形，最后剩下一
个长方形．正方形边长和三角形直角边长都是整数．若剪去部分的总面积为40平方厘米，
则长方形的面积是 平方厘米．
第1页（共10页）7．（10分）小龙从家到学校的路上经过一个商店和一个游乐场．从家到商店距离是500米，用
了7分钟； 从商店到游乐场以80米/分钟的速度要走8分钟； 从游乐场到学校的距离是
300米，走的速度是60米/分钟．那么小龙从家到学校的平均速度是 米/分钟．
8．（10分）亚瑟王在王宫中召见6名骑士，这些骑士中每个骑士恰好有2个朋友．他们围着一
张圆桌坐下（骑士姓名与座位如图），结果发现这种坐法，任意相邻的两名骑士恰好都是
朋友．亚瑟王想重新安排座位，那么亚瑟王有 种不同方法安排座位，使得每一个骑
士都不与他的朋友相邻（旋转以后相同的，算同一种方法）．
二、简答题（每小题15分，共60分）
9．（15分）如图所示，两个边长为6的正方形ABFE和CDEF拼成长方形ABCD．G为DE的
中点．连接BG交EF于H．求图中五边形CDGHF的面积．
10．（15分）乌龟和兔子进行1000米赛跑，兔子速度是乌龟速度的5倍，当它们从起点同时出
发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它，兔子奋
起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后10米．求兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？
11．（15分）如图，一个边长为3的正六边形被3组平行于其边的直线分割成边长为1的54
个小正三角形，那么以这些小正三角形的顶点为顶点的正六边形共有多少个？
第2页（共10页）12．（15分）将1至9填入图的网格中．要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，且
每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的
整数倍．已知左右格子已经填有数字4和5，问：标有字母x的格子所填的数字最大是多少？
第3页（共10页）2017 年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛
试卷（小中组）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）在2017个自然数中至少有一个两位数，而且其中任意两个数至少有一个三位数，
则这2017个数中有 201 6 个三位数．
【分析】按题意，2017个自然数中至少有一个两位数，而任意两个数至少有一个三位数，则
可知，两位数的个数不能大于2，若有2个或2个以上的两位数，则取出的两个有可能都是
两位数，与题意不符，故只能有1个两位数，不难求得三位数的个数．
【解答】解：根据分析，2017个自然数中至少有一个两位数，而任意两个数至少有一个三位
数，
则可知，两位数的个数不能大于2，若有2个或2个以上的两位数，
则取出的两个有可能都是两位数，与题意不符，故只能有1个两位数，
而三位数的个数即为：2017﹣1＝2016个．
故答案是：2016．
2．（10分）如图（1）所示，一个棋子从A到B只能沿着横平竖直的路线在网格中行走，给定棋
子的一条路线，将棋子在某一列中经过的格子数标在该列的上方，在某一行中经过的格子
数标在该行的左方．如果右图（2）中网格上方和左方的数字也是根据以上规则确定的，那
么图中x代表的数字为 2 ．
【分析】首先分析题意，然后枚举出一种符合题意的画法即可．
【解答】解：依题意可知：
路线如图所示：
第4页（共10页）x＝2满足条件．
故答案为：2
3．（10分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[10.2]＝10．则[ ]+[ ]+[
]+[ ]+[ ]+[ ]等于 604 8 ．
【分析】本题考察高斯取整．观察式子可知首位两项，[]内的数相加等于2017，又因为当x
不是整数时，[x]+[2017﹣x]＝2016，故两两相加，可以得到答案．
【解答】解：因为2017和11是质数，所以[]内的数据都不是整数，
则[ ]+[ ]＝2017﹣1＝2016，
同理可得[ ]+[ ]＝2016，
[ ]+[ ]＝2016，
所以原式＝2016+2016+2016＝6048．
故填：6048
4．（10分）盒子里有一些黑球和白球，如果将黑球数量变成原来的5倍，总球数将会变成原来
的2倍．如果将白球数量变成原来的5倍，总球数将会变成原来的 4 倍．
【分析】将黑球数量变成原来的5倍，总球数将会变成原来的2倍，黑球数增加4倍，总球
数增加1倍，也就是黑球个数的4倍就是总球数，那么白球的个数是黑球个数的4﹣1＝3
倍；把黑球数看成1份，白球数就是5份，总球数就是4份；再根据白球数变成原来的5倍，
也就是增加4倍，即增加3×4＝12份，这总球数就是12+4＝16份，用16份除以原来的4
份，即可求出总球数变成原来的几倍．
【解答】解：把黑球看成1份，则白球是3份，总球数是4份；
当白球变成原来的5倍，就是增加4倍，即增加3×4＝12份
（12+4）÷4＝4
可以画图如下：
第5页（共10页）答：总球数将会变成原来的 4倍．
故答案为：4．
5．（10分）能被自己的数字之和整除的两位数中，奇数共有 5 个．
【分析】显然，奇数只能被奇数整除，故这个奇数的数字之和一定为奇数，因这个两位数个
位上为奇数，故十位上只能是偶数，从而得知此奇数十位上只能是1、3、5、7、9，而且此奇
数不能是质数，故要排除掉质数，从而最后确定奇数的个数．
【解答】解：根据分析，符合题意的奇数十位上只能是：2、4、6、8，再排除掉质数后，
只剩下：21、25、27、45、49、63、65、69、81、85、87，一一检验，排除掉25、49、65、69、85、87，
故符合题意的奇数为：21、27、45、63、81，共5个．
故答案是：5．
6．（10分）如图，将一个正方形硬纸片的四个角分别剪去一个等腰直角三角形，最后剩下一
个长方形．正方形边长和三角形直角边长都是整数．若剪去部分的总面积为40平方厘米，
则长方形的面积是 2 4 平方厘米．
【分析】因剪去的两个大等腰直角三角形可组成一个正方形，两个小等腰直角三角形可组
成一个小正方形，可设大等腰三角形的直角边为a，小等腰三角形的直角边为b，则根据题
意可知a2+b2＝40，又因正方形边长和三角形直角边长都是整数，可根据22+62＝40知大等
腰三角形的直角边和小等腰直角三角形的直角边是多少，进而可求出原正方形的边长，再
用原正方形的面积减去40可求出长方形的面积是多少，据此解答．
【解答】解；设大等腰三角形的直角边为a，小等腰三角形的直角边为b
a2+b2＝40
第6页（共10页）22+62＝40
可知大等腰直角三角形的直角边是6厘米，小等腰直角三角形的直角边是2厘米
原正方形的面积：
（6+2）×（6+2）
＝8×8
＝64（平方厘米）
64﹣40＝24（平方厘米）
答：长方形的面积是24平方厘米．
故答案为：24．
7．（10分）小龙从家到学校的路上经过一个商店和一个游乐场．从家到商店距离是500米，用
了7分钟； 从商店到游乐场以80米/分钟的速度要走8分钟； 从游乐场到学校的距离是
300米，走的速度是60米/分钟．那么小龙从家到学校的平均速度是 7 2 米/分钟．
【分析】首先根据：路程＝速度×时间，用从商店到游乐场的速度乘用的时间，求出从商店
到游乐场的路程是多少，进而求出小龙从家到学校的路程是多少；然后根据：时间＝路程
÷速度，用从游乐场到学校的距离除以小龙走的速度，求出从游乐场到学校用的时间是多
少；最后用小龙从家到学校的路程除以用的时间，求出小龙从家到学校的平均速度是多少
即可．
【解答】解：（500+80×8+300）÷（7+8+300÷60）
＝（500+640+300）÷（7+8+5）
＝1440÷20
＝72（米/分钟）
答：小龙从家到学校的平均速度是72米/分钟．
故答案为：72．
8．（10分）亚瑟王在王宫中召见6名骑士，这些骑士中每个骑士恰好有2个朋友．他们围着一
张圆桌坐下（骑士姓名与座位如图），结果发现这种坐法，任意相邻的两名骑士恰好都是
朋友．亚瑟王想重新安排座位，那么亚瑟王有 6 种不同方法安排座位，使得每一个骑士
都不与他的朋友相邻（旋转以后相同的，算同一种方法）．
第7页（共10页）【分析】首先根据题目要求旋转相同的算同一种方法，因此可只考虑其中一个人排在第一
位的情况，然后根据题目条件进行后续排序即可．
【解答】解：为方便起见，分别用数字1、2、3、4、5、6代表6个人，则1的朋友为2和6，即和
1相邻的只能是3，4，5．
由于旋转相同的算同一种方法，可以只考虑以1开始的排序方法，由于是一个圆圈，则第
二位和最后一位只能从3，4，5中选，
那么以1为基准可排的座位顺序为：
（1）若第二位选3，则第三位选5或6，
若第三位选5，则第四位只能选2，还剩下4和6，由于最后一位只能是3，4，5，则第五
①位选6，第六位选4，即1，3，5，2，6，4；
若第三位选6，还剩下2，4，5，若第四位选2，则剩下4和5，相邻，不符合题意，且6和5
②相邻，因此第四位选4，则第五位选2，第六位选5，即1，3，5，2，6，4；
（2）若第二位选4，可同样推理，得到两种排序，即1，4，6，2，5，3和1，4，2，6，3，5，
（3）若第二位选5，可同样推理，得到两种排序，即1，5，2，4，6，3，和1，5，3，6，2，4．
共计6种．
故答案为：6．
二、简答题（每小题15分，共60分）
9．（15分）如图所示，两个边长为6的正方形ABFE和CDEF拼成长方形ABCD．G为DE的
中点．连接BG交EF于H．求图中五边形CDGHF的面积．
【分析】G为DE的中点，所以EG＝6÷2＝3，因EG：AG＝EH：AB，可求出EH的长度，再根
第8页（共10页）据三角形的面积公式可求出三角形EHG的面积，用正方形的面积减去它的面积，就是阴
影部分的面积，据此解答．
【解答】解：G为DE的中点
EG＝6÷2＝3
EG：AG＝EH：AB
3：（6+3）＝EH：6
3：9＝EH：6
9EH＝3×6
EH＝2
6×6﹣3×2÷2
＝36﹣3
＝33
答：图中五边形CDGHF的面积是33．
10．（15分）乌龟和兔子进行1000米赛跑，兔子速度是乌龟速度的5倍，当它们从起点同时出
发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它，兔子奋
起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后10米．求兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？
【分析】首先把兔子全程先考虑不睡时跑的总路程为990米，乌龟跑了多远，剩余的路程就
是兔子睡觉时乌龟跑的路程．
【解答】解：首先根据兔子的速度是乌龟的5倍可知，兔子跑的路程是乌龟的5倍．
当他们都不休息时兔子跑全程的1000﹣10＝990（米）；
乌龟跑的路程是990÷5＝198（米）；
兔子睡觉乌龟继续跑的路程为：1000﹣198＝802（米）
答：兔子睡觉期间乌龟跑了802米．
11．（15分）如图，一个边长为3的正六边形被3组平行于其边的直线分割成边长为1的54
个小正三角形，那么以这些小正三角形的顶点为顶点的正六边形共有多少个？
【分析】观察图形，数出正六边形的个数，可以分类计数，分边长为1的正六边形、边长为2
的正六边形、边长为3的正六边形，再加起来即可．
第9页（共10页）【解答】解：根据分析，边长为1的正六边形个数有：19个；
边长为2的正六边形个数：7个；
边长为3的正六边形个数：1个，
另外，如图，两种类型的正六边形的个数为：7+2＝9个
正六边形的总个数为：19+7+1+9＝36个．
故答案是：36．
12．（15分）将1至9填入图的网格中．要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，且
每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的
整数倍．已知左右格子已经填有数字4和5，问：标有字母x的格子所填的数字最大是多少？
【分析】按题意，1至9的数字中，填入4和5之外，只剩下7个数，可以先求出7个数的和，
即为36，中间的x只可能是3，6，9，故一一检验，即可得知x的值．
【解答】解：根据分析，1+2+3+6+7+8+9＝36，填入的x是其它五个数的因数，
故x只能是3、6、9，若x＝9，则，不能每个数的周围的数字之和是该格子中所填数字的整
数倍；
x＝6时，如图所示，易知x＝6符合题意．
故答案是：6．
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日期：2019/5/7 11:03:04；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第10页（共10页）
