文档内容
2017年“迎春杯”数学花园探秘科普活动试卷（小中组决赛A
卷）
一、解答题（共11小题，满分0分）
1．算式67×67﹣34×34+67+34的计算结果是 ．
2．在横式 × +C×D＝2017中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数
字，若等式成立，那么 代表的两位数是 ．
3．如图中共有 个平行四边形．
4．小兔与蜘蛛共50名学员参加舞蹈训练营，小兔学员走了一半，蜘蛛学员增加了一倍，但老
师发现学员的脚既没有增加也没有减少，那么原有小兔 只．（注：蜘蛛有8只脚）
5．一组有两位数组成的偶数项等差数列，所有奇数项的和为100，若从第1项开始，将每个奇
数项与它后面相邻的偶数项不改变次序地合并成一个四位数，形成一个新的数列，那么新
数列的和与原数列的和相差 ．
6．最常见的骰子是六面骰，它是一个正方体，6个面上分别有1到6个点，其相对两面点数的
和都等于7，现在从空间一点看一个骰子，能看到所有点数之和最小是1，最大是15（15＝
4+5+6），那么在1～15中，不可能看到的点数和是 ．
7．一排格子不到100个，一开始仅有两端的格子内各放有一枚棋子，几名同学依次轮流向格
子中放棋子．每人每次只放一枚且必须放在相邻两个棋子正中间的格子中（如从左到右第
3格，第7格中有棋子，第4、5、6格中没棋子，则可以在第5格中放一枚棋子；但第4格，
第7格中有棋子，第5、6格没棋子，则第5、6格都不能放）．这几名同学每人都放了9次棋
子，使得每个格子中都恰好放了一枚棋子，那么共有 名同学．
8．蕾蕾买了一些山羊和绵羊，如果她多买2只山羊，那么每只羊的平均价格会增加60元，如
果她少买2只山羊，那么每只羊的平均价格会减少90元．蕾蕾一共买了 只羊．
9．现有A、B、C、D、E五名诚实的安保在2016年12月1日～5日各值班三天，每天将有3名
安保值班，每位安保值班安排5天一循环．今天（2017年1月1日周日），关于他们在上个
月的值班情况，5人进行了如下对话：
第1页（共8页）A：我和B在周末（周六、周日）值班的日子比其他3人都多；
B：我与其余4人在这个月都一起值过班；
C：12月3日本来我休息，但那天恰逢数学花园探秘初赛，于是我也来帮忙，可惜不算值班；
D：E每次都和我安排在一起；
E：圣诞节（12月25日）那天我和A都值班了．
那么，安保A在12月份中第2次、第6次、第10次值班日期顺次排列组成的五位数是
．
（如果第2次、第6次、第10次值班分别在12月3日、12月17日，则答案为，31217）
10．如图中每个小正三角形的面积是12平方厘米，那么大正三角形的面积为 平方厘
米．
11．如图，圆圈表示房间，实线表示地上通道，虚线表示地下通道，开始时，一个警察和一个小
偷在两个不同房间中，每一次警察从所在房间的地上通道转移到相邻的房间；同时，小偷
从所在房间沿着地下通道转移到相邻的房间，如果警察和小偷转移了3次都没有在任何
房间相遇，那么他们有 种不同的走法．
第2页（共8页）2017 年“迎春杯”数学花园探秘科普活动试卷（小中组
决赛 A 卷）
参考答案与试题解析
一、解答题（共11小题，满分0分）
1．算式67×67﹣34×34+67+34的计算结果是 343 4 ．
【解答】解：67×67﹣34×34+67+34
＝67×（67+1）﹣34×34+34
＝67×2×34﹣34×34+34
＝101×34
＝3434
故答案为：3434．
2．在横式 × +C×D＝2017中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数
字，若等式成立，那么 代表的两位数是 1 4 ．
【解答】解：由于0＜C×D＜100，所以1900＜ × ＜2017，
因为130×13＝1690，140×14＝1960，150×15＝2250，
所以 ＝14，
进一步可得C×（14+D）＝57，C＝3，D＝5．
故答案为14．
3．如图中共有 1 5 个平行四边形．
【解答】解：根据分析可得，
单个的（红色）有：4个；
①两个组成的（蓝色）有8个；
②6部分组成的（黄色）有：3个；
③共有：4+8+3＝15（个）；
答：图中共有 15个平行四边形．
第3页（共8页）故答案为：15．
4．小兔与蜘蛛共50名学员参加舞蹈训练营，小兔学员走了一半，蜘蛛学员增加了一倍，但老
师发现学员的脚既没有增加也没有减少，那么原有小兔 4 0 只．（注：蜘蛛有8只脚）
【解答】解：每走一只小兔，总腿数少了4，每增加一只蜘蛛，总腿数多了8，由此要总腿数
不变，减少的兔子数量应该是增加蜘蛛数量的两倍，把增加的蜘蛛当作1份，那么原蜘蛛
数量也是1份，走了的兔子数量是2份，原有兔子数量为4份，则原有动物共5份，是50
只，1份有10只，所以原有兔子4×10＝40只．
故答案为40．
5．一组有两位数组成的偶数项等差数列，所有奇数项的和为100，若从第1项开始，将每个奇
数项与它后面相邻的偶数项不改变次序地合并成一个四位数，形成一个新的数列，那么新
数列的和与原数列的和相差 990 0 ．
【解答】解：设这个等差数列的奇数项分别为a ，a ，a ，…，公差为d，那么将每个奇数项与
1 3 5
后面相邻的偶数项合并，由于每一项都是两位数，所以合并后的四位数列可以表示为
a ×100+a +d，a ×100+a +d，…，
1 1 2 2
所以新数列的和与原数列的和相差99×（a +a +a +…），
1 3 5
由于奇数项的和为100，所以99×（a +a +a +…）＝99×100＝9900，
1 3 5
故答案为9900．
6．最常见的骰子是六面骰，它是一个正方体，6个面上分别有1到6个点，其相对两面点数的
和都等于7，现在从空间一点看一个骰子，能看到所有点数之和最小是1，最大是15（15＝
4+5+6），那么在1～15中，不可能看到的点数和是 1 3 ．
【解答】解：骰子上相对的两面点数分别为（1，6），（2，5），（3，4），从空间一点看一个骰子，
可能只看到骰子的一个面，也可以看到相邻的两个面，还可以看到相邻的三个面，在1～
15中，点数1～6显然可以看到，7＝1+2+7，8＝6+2，9＝6+3，10＝6+4，11＝6+5，12＝
6+2+4，14＝6+5+3，15＝4+5+6，13无法拆出，即在1～15中，不可能看到的点数和是13．
故答案为13．
7．一排格子不到100个，一开始仅有两端的格子内各放有一枚棋子，几名同学依次轮流向格
子中放棋子．每人每次只放一枚且必须放在相邻两个棋子正中间的格子中（如从左到右第
3格，第7格中有棋子，第4、5、6格中没棋子，则可以在第5格中放一枚棋子；但第4格，
第7格中有棋子，第5、6格没棋子，则第5、6格都不能放）．这几名同学每人都放了9次棋
子，使得每个格子中都恰好放了一枚棋子，那么共有 7 名同学．
第4页（共8页）【解答】解：由题意可得，若相邻两枚棋子之间有偶数个空格子，则无法再往其中放棋子，
那么若想要在每个格子中都放上棋子，每次放完相邻两棋子间空格数应为奇数．
第一轮只能在最中间放1枚棋子，此时将格子分为前半部分和后半部分，那么第二轮在每
一部分的中间，都可以放1枚棋子，总共可以放2枚，此时将格子分成了4，第三轮在每一
部分的中间，都可以放1枚棋子，总共可以放4枚，以此类推，总共放下的棋子个数应该为
等比数列1，2，4，8，…的和，而由于每人都放9次，因此这个和为9的倍数，且该和不能超
过100，枚举可得1+2+4+8+16+32＝63，满足条件，则共有63÷9＝7名同学，棋子分布依次
为：
1，65
1，33，65
1，17，33，49，65
1，9，17，25，33，41，49，57，65，
…
故答案为7．
8．蕾蕾买了一些山羊和绵羊，如果她多买2只山羊，那么每只羊的平均价格会增加60元，如
果她少买2只山羊，那么每只羊的平均价格会减少90元．蕾蕾一共买了 1 0 只羊．
【解答】解：假设蕾蕾买了x只羊，原平均价格为a元，买2只山羊，每只羊的平均价格会增
加60元，总价格增加60x+2（a+60）元；
少买2只山羊，那么每只羊的平均价格会减少90元，总价格减少90x+2（a﹣90）元，
两次变化都是两只山羊的价钱，应该相等，
所以60x+2（a+60）＝90x+2（a﹣90），解得x＝10，
故答案为10．
9．现有A、B、C、D、E五名诚实的安保在2016年12月1日～5日各值班三天，每天将有3名
安保值班，每位安保值班安排5天一循环．今天（2017年1月1日周日），关于他们在上个
月的值班情况，5人进行了如下对话：
A：我和B在周末（周六、周日）值班的日子比其他3人都多；
B：我与其余4人在这个月都一起值过班；
C：12月3日本来我休息，但那天恰逢数学花园探秘初赛，于是我也来帮忙，可惜不算值班；
D：E每次都和我安排在一起；
E：圣诞节（12月25日）那天我和A都值班了．
那么，安保A在12月份中第2次、第6次、第10次值班日期顺次排列组成的五位数是
第5页（共8页）41016 ．
（如果第2次、第6次、第10次值班分别在12月3日、12月17日，则答案为，31217）
【解答】解：12月份值班表如下：
由E说的话可知，25日A和E都值班，又由D的话可知D和E永远在一起，那么可以判断
5日这一竖列值班人为A，D，E．
由C的话可知，3日他不值班，由于每天必须有3人值班，所以D，E中必须有一个，
又因为D，E在一起，所以3日这一竖列，D，E都值班．
通过A的话判断，A，B在周末值班的日子比C，D，E多，统计出每一列中的周末数量，为
2，1，2，2，2，每人都要在三列中值班，若要A，B比其他人多，那么1那一列必须是C，D，E
值班，每天都要有3人值班，D，E现在已经排满，因此第1，4列为A，B，C值班．还剩第3
列没有排完，B要跟每个人都搭配过，因此此处为B．
A在12月份中第2，6，10次值班日期依次为4，10，16，
故五位数为41016．
故答案为41016．
10．如图中每个小正三角形的面积是12平方厘米，那么大正三角形的面积为 8 4 平方厘
米．
【解答】解：如图所示，补出右边的一些小等边三角形，则△ABC被分为面积相等的三个钝
角三角形△AMB，△BNC，△APC，以及一个小正三角形△PMN，其中△AMB面积是所在
第6页（共8页）的平行四边形ADBM的一半为12×4÷2＝24平方厘米，
那么△ABC面积为3×24+12＝84平方厘米．
故答案为84．
11．如图，圆圈表示房间，实线表示地上通道，虚线表示地下通道，开始时，一个警察和一个小
偷在两个不同房间中，每一次警察从所在房间的地上通道转移到相邻的房间；同时，小偷
从所在房间沿着地下通道转移到相邻的房间，如果警察和小偷转移了3次都没有在任何
房间相遇，那么他们有 147 6 种不同的走法．
【解答】解：考虑起始时，警察与小偷所在房间有三类关系相邻、相隔、相对．
相邻：如1与2，那么下一步都顺时针走，可变为2与3，都逆时针走，变为6与1，一个顺
时针，一个逆时针变为2与1或6与3，都有3种可能相邻，1种可能相对；
相隔：如1与3，那么下一步可能变为2与4，6与2，6与4，都有3种可能相邻；
相对：如1与4，那么下一步可能变为2与3，6与5，6与3，2与5，即有2种相邻的可能和
2种相对的可能．
假设警察初始房间为1，小偷与其相邻可能为2或6，那么3次之后不相遇的走法有2×
（27+9+6+6+6+2+4+4）＝128种
相隔 3相隔 9相隔 27相隔．
假设⇌警察初始⇌房间为⇌1，小偷与其相邻可能为3或5，那么3次之后不相遇的走法有2×27
＝54种，
第7页（共8页）假设警察初始房间为 1，小偷与其相对为 4，那么 3 次之后不相遇的走法有
18+6+4+4+12+4+8+8＝64种，
综上所述，警察若初始位置为1，满足题目条件的走法有128+54+64+246种，那么警察初
始位置还能选择2～6，因此共有246×6＝1476种走法．
故答案为1476．
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日期：2019/5/5 18:17:14；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
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