文档内容
2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小
高组A卷）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分） 1.375+105 ×0.9．
2．（10分）如图是用六个正方形，六个三角形、一个正六边形组成的图案，正方形边长都是
2cm，这个图案的周长是 cm．
3．（10分）某项工程需要100天完成，开始由10个人用30天完成了全部工程的 ，随后再增
加10个人来完成这项工程，那么能提前 天完成任务．
4．（10分）王教授早上8点到达车站候车，登上列车时，站台上的时钟的时针和分针恰好左右
对称．列车8点35分出发，下午2点15分到达终点站．当王教授走下列车时，站台上时钟
的时针和分针恰好上下对称，走出车站时恰好3点整．那么王教授在列车上的时间共计
分钟．
5．（10分）由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为73326，则这些四位数
中最大的是 ．
6．（10分）如图所示，从长、宽、高分别为15 cm，5 cm，4 cm的长方体中切割走一块长、宽、
高分别为ycm，5cm，xcm的长方体（x，y为整数），余下部分的体积为120 cm3，那么x+y＝
．
7．（10分）一次数学竞赛有A，B，C三题，参赛的39个人中，每人至少答对了一道题．在答对
A的人中，只答对A的比还答对其它题目的多5人； 在没答对A的人中，答对B的是答对
第1页（共13页）C的2倍； 又知道只答对A的等于只答对B的与只答对C的人数之和．那么答对A的最
多有 人．
8．（10分）甲，乙进行乒乓球比赛，三局两胜制．每局比赛中，先得11 分且对方少于10分者
胜； 10平多得2 分者胜．甲、乙二人得分总和都是30分，在不计比分先后顺序时，三局的
比分共有 种情况．
二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）两个自然数之和为667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120．求
这两个数．
10．（10分）酒店有100个标准间，房价为400元/天，但入住率只有50%．若每降低20元的房
价，则能增加5间入住．求合适的房价，使酒店收到的房费最高．
11．（10分）如图，长方形ABCD的面积是56cm2．BE＝3cm，DF＝2cm．请你回答：三角形AEF
的面积是多少？
12．（10分）当N取遍1，2，3，…，2015中所有的数时，形如3n+n3的数中能够被7整除的有多
少个？
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）如图所示，ABCD是平行四边形，AM＝MB，DN＝CN，BE＝EF＝FC，四边形
EFGH的面积是1，求平行四边形ABCD的面积．
14．（15分）“虚有其表”，“表里如一”，“一见如故”，“故弄玄虚”四个成语中每个汉
字代表11个非零连续自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同
的数，且“表”＞“一”＞“故”＞“如”＞“虚”，且各个成语中四个汉字所代表的数
的和都是21．则“弄”可以代表的数最大是多少？
第2页（共13页）2015 年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试
卷（小高组 A 卷）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分） 1.375+105 ×0.9．
【分析】四则运算先算乘除，再算加减，把此题中的小数化成分数计算比较简单，然后利用
分数乘法法则计算．
【解答】解：
1.375+105 ×0.9．
＝ × +
＝
＝
＝
故答案为：210
2．（10分）如图是用六个正方形，六个三角形、一个正六边形组成的图案，正方形边长都是
2cm，这个图案的周长是 2 4 cm．
【分析】这个图案的周长＝六个三角形的边长+六个正方形的边长，依此列出算式计算即
可求解．
第3页（共13页）【解答】解：2×6+2×6
＝12+12
＝24（cm）
答：这个图案的周长是24cm．
故答案为：24．
3．（10分）某项工程需要100天完成，开始由10个人用30天完成了全部工程的 ，随后再增
加10个人来完成这项工程，那么能提前 1 0 天完成任务．
【分析】首先把这项工程看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，用10个人用
30天完成的工作量除以10×30，求出每个工人每天完成这项工程的几分之几；然后求出再
增加10个人每天一共完成这项工程的几分之几，再根据工作时间＝工作量÷工作效率，用
剩下的工作量除以再增加10个人每天一共完成的工作量，求出剩下的工程需要多少天；
最后用100减去实际需要的时间，求出能提前多少天完成任务即可．
【解答】解：100﹣30﹣（1﹣ ）÷[ ×（10+10）]
＝70﹣ ÷
＝70﹣60
＝10（天）
答：能提前10天完成任务．
故答案为：10．
4．（10分）王教授早上8点到达车站候车，登上列车时，站台上的时钟的时针和分针恰好左右
对称．列车8点35分出发，下午2点15分到达终点站．当王教授走下列车时，站台上时钟
的时针和分针恰好上下对称，走出车站时恰好3点整．那么王教授在列车上的时间共计
360 分钟．
【分析】钟面上12个数字把钟面平均分成12份，每份所对应的圆心角是360°÷12＝30°，即
每两个相邻数字间的夹角是30°，分针每分钟走 ＝6°，时针每分钟走 ＝
0.5°，8时整时分针与时针的夹角是120°，由于登上列车时，站台上的时钟的时针和分针恰
好左右对称，是8时过120÷（6+0.5）＝ （分），此时是8时 分；下午2时15分时，
第4页（共13页）分钟与时针的夹角是15×6﹣（60+0.5×15）＝22.5（度），又有王教授走下列车时，站台上时
钟的时针和分针恰好上下对称，是下午2时15分过22.5÷（6+0.5）＝ （分），此时是下午
2时15分+ 分＝下午2时 分，两个时间之差就是王教授在车上的时间．
【解答】解：8时整时分针与时针的夹角是120°，120÷（6+0.5）＝ （分），王教授登上车
的时间是：8时 分；
下午2时15分时，分钟与时针的夹角是15×6﹣（60+0.5×15）＝22.5（度），22.5÷（6+0.5）＝
（分），王教授下车的时间是：2时15分+ 分＝下午2时 分；
下午下午2时 分化成24计时法是14时 分
14时 分﹣8时 分＝6小时
6小时＝360分钟．
故答案为：360．
5．（10分）由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为73326，则这些四位数
中最大的是 532 1 ．
【分析】设四个数字分别为a、b、c、d．根据题意可得以a开头的组合有：abcd，abdc，acbd，
acdb，adbc，adcb6 个，则这六个四位数分别是： a×1000+b×100+c×10+d×1，
a×1000+b×100+c×1+d×10，…a×1000+b×1+c×10+d×100，这6个数的和是6000a+222b+
+222c++222d；同理，以b开头的6个四位数的和是222a+6000b+222c+222d；以c开头的6
个 四 位 数 的 和 是 222a+222b+6000c+222d ； 以 d 开 头 的 6 个 四 位 数 的 和 是
222a+222b+222c+6000d；把它们组成的四位数全部加起来，就是6666（a+b+c+d），则6666
（a+b+c+d）＝73326，即a+b+c+d＝11，则分析可得a、b、c、d是1、2、3、5中的一个数字，所
以组成的四位数中最大四位数是5321，最小是1235．
【解答】解：设四个数字分别为a、b、c、d．根据题意可得以a开头的组合有：abcd，abdc，
acbd，acdb，adbc，adcb6个，
则这六个四位数分别是：a×1000+b×100+c×10+d×1，a×1000+b×100+c×1+d×10，…
第5页（共13页）a×1000+b×1+c×10+d×100，
这6个数的和是6000a+222b++222c++222d；
同理，以b开头的6个四位数的和是222a+6000b+222c+222d；
以c开头的6个四位数的和是222a+222b+6000c+222d；
以d开头的6个四位数的和是222a+222b+222c+6000d；
则6666（a+b+c+d）＝73326，即a+b+c+d＝11，
分析可得a、b、c、d是1、2、3、5中的一个数字，
所以组成的四位数中最大四位数是5321．
故答案为：5321．
6．（10分）如图所示，从长、宽、高分别为15 cm，5 cm，4 cm的长方体中切割走一块长、宽、
高分别为ycm，5cm，xcm的长方体（x，y为整数），余下部分的体积为120 cm3，那么x+y＝
15 cm ．
【分析】割走的长方体的体积＝大长方体的体积﹣余下部分的体积，依此列出算式15×5×4
﹣120求得割走的长方体的体积，再根据x，y为整数，由整数的性质即可求解．
【解答】解：15×5×4﹣120
＝300﹣120
＝180（cm3）
则5xy＝180，即xy＝36，
因为x，y为整数，且0＜x＜4，0＜y＜15，
所以x为3cm，y为12cm，x+y＝15cm．
故答案为：15．
7．（10分）一次数学竞赛有A，B，C三题，参赛的39个人中，每人至少答对了一道题．在答对
A的人中，只答对A的比还答对其它题目的多5人； 在没答对A的人中，答对B的是答对
C的2倍； 又知道只答对A的等于只答对B的与只答对C的人数之和．那么答对A的最
多有 2 3 人．
【分析】由题意得，如下图所示：只答对A的人数是3b+a，答对A还答对其他题目的人数是
3b+a﹣5，所以有：3b+a+3b+a﹣5+3b+2a＝39，化简得4a+9b＝44，然后对a、b进行取值，
求得a、b，取a、b的最大值；因为答对A的人共3b+a+3b+a﹣5＝6b+2a﹣5，把a、b的最大
第6页（共13页）值代入6b+2a﹣5中，解决问题．
【解答】解：只答对A的人数是3b+a，答对A还答对其他题目的人数是3b+a﹣5，所以有：
3b+a+3b+a﹣5+3b+2a＝39，
化简得：4a+9b＝44，
因为a、b都为自然数，所以当a＝2时，b＝4；当a＝11时，b＝0，
即 或
答对A的人共3b+a+3b+a﹣5＝6b+2a﹣5，把a、b的最大值代入6b+2a﹣5中，最大值是：
6×4+2×2﹣5
＝24+4﹣5
＝23（人）
答：答对A的人最多有23人．
故答案为：23．
8．（10分）甲，乙进行乒乓球比赛，三局两胜制．每局比赛中，先得11 分且对方少于10分者
胜； 10平多得2 分者胜．甲、乙二人得分总和都是30分，在不计比分先后顺序时，三局的
比分共有 8 种情况．
【分析】通过分析可知：甲、乙二人得分总和都是30分，30＜3×11，三局中其中一个人胜了
两局，所以至少有两个分数不小于11，甲得分总和是30：30＝11+9+10，乙对应的得分是：
30＝7+11+12：对应的比分是 ，之后7、9依次减1，10和12依次加1： 、
、 、 、 、 、 ，上面8种都是乙取得
第7页（共13页）了胜利，甲取得胜利对应的也是8种，但考虑不计比分先后顺序，故有8种情况，据此解答
即可．
【解答】解：甲、乙二人得分总和都是30分
30＜3×11
三局中其中一个人胜了两局，所以至少有两个分数不小于11，
甲得分总和是：
30：30＝11+9+10
乙对应的得分是：
30＝7+11+12：
对应的比分是 ，
之后7、9依次减1，10和12依次加1：
、 、 、 、 、 、
上面8种都是乙取得了胜利，甲取得胜利对应的也是8种，但考虑不计比分先后顺序，故
有8种情况，
答：三局的比分共有8种情况．
故答案为：8．
二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）两个自然数之和为667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120．求
这两个数．
【分析】667＝23×29，最小公倍数除以最大公约数，所得的商是120，如果23是它们的最大
公约数的话，那么29就得拆成两个数和，并且积是120，试验得到29＝24+5，24×5＝120，
所以两数分别是24×23＝552，5×23＝115；
同样，如果29是它们的最大公约数的话，那么23就得拆成两个数的和，并且积是120，试
验得到23＝15+8，15×8＝120；所以两数分别是15×29＝435，8×29＝232．
【解答】解：667＝23×29，由题意，假设23是它们的最大公约数，由于29＝24+5，24×5＝
120，
所以两数分别是24×23＝552，5×23＝115；
第8页（共13页）假设29是它们的最大公约数，由于23＝15+8，15×8＝120；所以两数分别是15×29＝435，
8×29＝232；
答：这两个数是115和552，或者232和435．
10．（10分）酒店有100个标准间，房价为400元/天，但入住率只有50%．若每降低20元的房
价，则能增加5间入住．求合适的房价，使酒店收到的房费最高．
【分析】计算出原房价以及降价相应价格后的酒店收益，然后进行比较，即可．
【解答】解：由题意分析得
房价为400元/天，入住房间为100×50%＝50，所以收到的房费为：400×50＝20000元；
①房价为380元/天，入住房间为50+5＝55，所以收到的房费为：380×55＝20900元；
②房价为360元/天，入住房间为60，所以收到的房费为：360×60＝21600元；
③房价为340元/天，入住房间为65，所以收到的房费为：340×65＝22100元；
④房价为320元/天，入住房间为70，所以收到的房费为：320×70＝22400元；
⑤房价为300元/天，入住房间为75，所以收到的房费为：300×75＝22500元；
⑥房价为280元/天，入住房间为80，所以收到的房费为：280×80＝22400元；
⑦房价为260元/天，入住房间为85，所以收到的房费为：260×85＝22100元；
⑧答：当房价为300元/天时，酒店受到的房费最高．
11．（10分）如图，长方形ABCD的面积是56cm2．BE＝3cm，DF＝2cm．请你回答：三角形AEF
的面积是多少？
【分析】如图所示：过点F作AD的平行线GF，则三角形AGF是长方形AGFD的面积的一
半；三角形GEF是长方形GBCF的面积的一半，所以四边形AGEF的面积就是长方形
ABCD的面积的一半；而阴影部分的面积等于四边形AGEF的面积减去三角形AGE的面
积，据此代入数据即可求解．
第9页（共13页）【解答】解：据分析可知：
四边形AGEF的面积为：56÷2＝28（平方厘米），
则阴影部分的面积为：
28﹣2×3÷2
＝28﹣3
＝25（平方厘米）．
答：三角形AEF的面积是25平方厘米．
12．（10分）当N取遍1，2，3，…，2015中所有的数时，形如3n+n3的数中能够被7整除的有多
少个？
【分析】通过分析可知：3n除以7的余数以6为周期，3、2、6、4、5、1；n3除以除以7的余数
以7为周期，1、1、6、1、6、6、0，则总周期为42，当余数和为7的倍数时能够被7整除，列表
如图：
再看看2015里共有多少个这样的周期，据此列式计算即可．
【解答】解：如图：
3n除以7的余数以6为周期，3、2、6、4、5、1；
N3除以除以7的余数以7为周期，1、1、6、1、6、6、0；
第10页（共13页）则总周期为42：
2015÷42＝47…41
47×6+6
＝282+6
＝288（个）
答：能够被7整除的有288个．
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）如图所示，ABCD是平行四边形，AM＝MB，DN＝CN，BE＝EF＝FC，四边形
EFGH的面积是1，求平行四边形ABCD的面积．
【分析】如图，作EQ∥CD，FP∥CD，分别交BN与点Q、P，然后分别判断出△HEQ、四边
形EFPQ、△FGP的面积占平行四边形ABCD的面积的几分之几，进而求出四边形EFGH
的面积占平行四边形ABCD的面积的几分之几；最后根据分数除法的意义，用四边形
EFGH的面积除以它占平行四边形ABCD的面积的分率，求出平行四边形ABCD的面积
是多少即可．
【解答】解：如图，
，
作EQ∥CD，FP∥CD，分别交BN与点Q、P，
第11页（共13页）因为 ，
所以 ；
因为△BEM的面积占平行四边形ABCD的面积的：
，
所以△HEQ的面积占平行四边形ABCD的面积的：
＝
＝
因为 ＝ ，
所以△BFP的面积占△BCN的面积的： ，
所以四边形EFPQ的面积占平行四边形ABCD的面积的：
＝
＝
因为 ，
所以△FGP的面积占平行四边形ABCD的面积的：
＝
＝
第12页（共13页）所以平行四边形ABCD的面积的：
1
＝1÷
＝8
答：平行四边形ABCD的面积是8 ．
14．（15分）“虚有其表”，“表里如一”，“一见如故”，“故弄玄虚”四个成语中每个汉
字代表11个非零连续自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同
的数，且“表”＞“一”＞“故”＞“如”＞“虚”，且各个成语中四个汉字所代表的数
的和都是21．则“弄”可以代表的数最大是多少？
【分析】有明确大小关系的“表、一、故、如、虚”，其实都是成语中有重复的数字，每个四
字成语的和都是21，那么总和是21×4＝84，所有数是连续的11个非零自然数，因此它们
的和一定是11的倍数，它们可能是： 1﹣﹣11，和为66，即5个重复数字之和为84﹣66
＝18； 2﹣﹣12，和为77，5个重复①数字之和为84﹣77＝7，由于每个数各不相同，因此
这种情②况不可能，可得这五个重复数字之和为18，所有数是1﹣﹣11，重复数字只有以下
几种可能： 1、2、3、4、8； 1、2、3、5、7； 1、2、4、5、6代入发现只有情况 符合情况，
每个数都填①入后，可得虚＝②1，故＝4，弄、③玄只能是9、7，由此得解． ③
【解答】解：根据分析可知，表、一、故、如、虚”，五个重复数字之和为18，
因为所有数是1﹣﹣11，重复数字只有以下几种可能： 1、2、3、4、8； 1、2、3、5、7；
1、2、4、5、6 ① ②
③代入发现只有情况 符合情况，每个数都填入后，可得虚＝1，故＝4，弄、玄只能是9、7，
弄最大是9． ③
答：“弄”可以代表的数最大是9．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 11:00:27；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第13页（共13页）
