文档内容
2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小
高组A卷）
一、填空题（每小题3分，共80分）
1．（3分）算式10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣（9.2×5.2+5.4×3.7﹣4.6×1.5）]得值为 ．
2．（3分）箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再
放入一些红球后，红球的数量是黑球的三分之二．若放入的黑球和红球数量相同，则原来
箱子里红球与黑球数量之比为 ．
3．（3分）有两个体积之比为5：8的圆柱，它们的侧面的展开图为相同的长方形，如果把该长
方形的长和宽同时增加6．其面积增加了114．那么这个长方形的面积 ．
4．（3分）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲粮库调90袋到乙粮库，则乙粮库
存粮的袋数是甲粮库的2倍．如果从乙粮库调若干袋到甲粮库，则甲粮库存粮的袋数是乙
粮库的6倍．那么甲粮库原来最少存有 袋粮食．
5．（3分）现有211名同学和四种不同的巧克力．每种巧克力的数量都超过633颗．规定每名
同学最多拿三颗巧克力，也可以不拿．若按照巧克力的种类和数量都是否相同分组，则人
数最多的一组至少有 名同学．
6．（3分）张兵1953年出生，在今年之前的某一年，他的年龄是9的倍数并且是这一年的各位
数字之和．那么这一年他 岁．
7．（3分）如图是一个五棱柱的平面展开图．图中的正方形边长都为2．按图所示数据，这个五
棱柱的体积等于 ．
8．（3分）在乘法算式 • ＝ 中，汉字代表非零数字，不同汉字代表不同
数字，那么 所代表的四位数最小是 ．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
第1页（共12页）9．如图ABCD是平行四边形，E为AB延长线上一点，K为AD延长线上一点．连接BK，DE相
交于一点O，问：四边形ADOB与四边形ECKO的面积是否相等？请说明理由．
10．能否用500个如图所示的1×2的小长方形形成一个5×200的大长方形，使得5×200的长
方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由．
11．将一个2n位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数．如果这两个n位数之和的平方
正好等于这个2n位数．则称这个2n位数为卡不列克（Kabulek）怪数，例如，（30+25）2＝
3025，所以3025是一个拉布列克怪数．请问在四位数中有哪些卡不列克怪数？
12．已知98个互不相同的质数p ，p …p ，记N＝p +p +…p ，问：N被3除的余数是
1 2 98
多少．
三、解答下列各题（每小题0分，共30分，要求写出详细过程）
13．小华和小张在一个圆形跑道上匀速跑步，两人同时同地出发，小华顺时针跑，每72秒跑
一圈；小张逆时针跑，每80秒跑一圈．在跑道上划定以起点为中心的 圆弧区间，那么两
人同时在规定的区间内所持续的时间为多少秒？
14．把一个棱长为整数的长方体的表面都涂上红色，然后切割成棱长为1的小立方体．其中，
两面有红色的小立方块有40块，一面有红色的小立方块有66块，那么这个长方体的体积
是多少？
第2页（共12页）2012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试
卷（小高组 A 卷）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题3分，共80分）
1．（3分）算式10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣（9.2×5.2+5.4×3.7﹣4.6×1.5）]得值为 9. 3 ．
【分析】10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣（9.2×5.2+5.4×3.7﹣4.6×1.5）]先去掉小括号变成 10﹣
10.5÷[5.2×14.6﹣9.2×5.2﹣5.4×3.7+4.6×1.5]，利用乘法的分配律变成10﹣10.5÷[5.2×（14.6
﹣9.2）﹣5.4×3.7+4.6×1.5]，再利用乘法的分配律变成5.2×5.4﹣5.4×3.7+4.6×1.5，再次利用
乘法的分配律进行简算．
【解答】解：10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣（9.2×5.2+5.4×3.7﹣4.6×1.5）]，
＝10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣9.2×5.2﹣5.4×3.7+4.6×1.5]，
＝10﹣10.5÷[5.2×（14.6﹣9.2）﹣5.4×3.7+4.6×1.5]，
＝10﹣10.5÷[5.2×5.4﹣5.4×3.7+4.6×1.5]，
＝10﹣10.5÷[5.4×（5.2﹣3.7）+4.6×1.5]，
＝10﹣10.5÷[5.4×1.5+4.6×1.5]，
＝10﹣10.5÷[1.5×（5.4+4.6）]，
＝10﹣10.5÷15，
＝10﹣0.7，
＝9.3．
故答案为：9.3．
2．（3分）箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再
放入一些红球后，红球的数量是黑球的三分之二．若放入的黑球和红球数量相同，则原来
箱子里红球与黑球数量之比为 1 ： 2 ．
【分析】我们设出设红球有a个，黑球b个，放入的黑红球都是x个．根据“放入一些黑球
后，红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后，红球的数量是黑球的三分之二．若
放入的黑球和红球数量相同”列出两个方程进行解答即可．
【解答】解：设红球有a个，黑球b个，放入的黑红球都是x个．
第3页（共12页）＝ ，
x+a+b＝4a，
x＝3a﹣b，
＝ ，
3a+3x＝2b+2x，
x＝2b﹣3a，
把x＝3a﹣b代入进行计算，
3a﹣b＝2b﹣3a，
3b＝6a，
a：b＝1：2，
原来箱子里红球与黑球数量之比为1：2．
故答案为：1：2．
3．（3分）有两个体积之比为5：8的圆柱，它们的侧面的展开图为相同的长方形，如果把该长
方形的长和宽同时增加6．其面积增加了114．那么这个长方形的面积 4 0 ．
【分析】侧面的展开图为相同的长方形，说明这个长方形是横着围成一个长方体，和竖着
围成一个长方体，体积比为5：8，如图，阴影部分的面积是114，则（a+b）的和为（114﹣
6×6）÷6＝13，根据体积比为5：8可知： ，化简为 ，再化简
为 ，而a+b＝13，所以a、b分别为8和5，而积为5×8＝40，据此解答即可．
【解答】解：设长方形的长和宽分别为a和b，
则a+b＝（114﹣6×6）÷6＝13，
第4页（共12页）根据体积比为5：8可知： ，
化简为 ，
再化简为 ，
而a+b＝13，
所以a、b分别为8和5，而积为5×8＝40，
答：这个长方形的面积为40．
故答案为：40．
4．（3分）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲粮库调90袋到乙粮库，则乙粮库
存粮的袋数是甲粮库的2倍．如果从乙粮库调若干袋到甲粮库，则甲粮库存粮的袋数是乙
粮库的6倍．那么甲粮库原来最少存有 15 3 袋粮食．
【分析】两个关系式为：（甲库存粮﹣90）×2＝乙库存粮+90；甲库存粮+若干袋粮＝（乙库
存粮﹣若干袋粮）×6，进而得到相应的最小整数解即可．
【解答】解：设甲库原来存粮a袋，乙库原来存粮b袋，依题意可得2（a﹣90）＝b+90（1）；
再设乙库调c袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍，即a+c＝6（b﹣c）（2）；
由（1）式得b＝2a﹣270 （3），
将（3）代入（2），并整理得11a﹣7c＝1620，
由于c＝ ＝a﹣232+
又a、c是正整数，从而有 ≥1，即a≥148；
并且7整除4（a+1），
又因为4与7互质，所以7整除a+1，a+1最小为154，则a最小是153．
答：甲库原来最少存粮153袋．
故答案为：153．
5．（3分）现有211名同学和四种不同的巧克力．每种巧克力的数量都超过633颗．规定每名
第5页（共12页）同学最多拿三颗巧克力，也可以不拿．若按照巧克力的种类和数量都是否相同分组，则人
数最多的一组至少有 7 名同学．
【分析】每一名学生可以拿：括号内为该情况发生有几种情况．1，一个不拿（1种情况）；2，
拿四种糖果中任意一个 （4种情况）；3．拿两个，都是同种糖果（4种情况）；4．拿两个且不
同的糖果，随机的（6种情况）；5．拿三个，都相同（4种情况）； 6．拿三个，两个相同（12种
情况）；7．拿三个都不同的糖果（4种情况）；所以一个同学所取的不同种类共有
1+4+4+6+4+12+4＝35种情况；因为每一种糖都超过633颗，所以第五种情况能够出现，
3×211＝633，足够分．所以其他六种情况也能够发生．所以，要让最多的那组人数最少就
是：211÷35＝6…1（余数1）；即最多的一组最少为6+1＝7人．
【解答】解：根据题干分析可得：一个同学所取的不同种类共有1+4+4+6+4+12+4＝35；这
35种情况可以看做35个抽屉，
211÷35＝6…1；
所以6+1＝7（人），
答：人数最多的一组至少有7人．
故答案为：7．
6．（3分）张兵1953年出生，在今年之前的某一年，他的年龄是9的倍数并且是这一年的各位
数字之和．那么这一年他 1 8 岁．
【分析】根据题意，设那一年是19AB年，那么他这一年的年龄是1900+10A+B﹣1953岁，
也是1+9+A+B岁，又因为他的年龄是9的倍数，那么1+9+A+B是9的倍数，然后列出方程
进一步解答即可．
【解答】解：设那一年是19AB年；
根据题意可得：
1900+10A+B﹣1953＝1+9+A+B，
10A+B﹣53＝10+A+B，
9A＝63，
A＝7；
因为他的年龄是9的倍数，那么1+9+A+B是9的倍数；
1+9+7+B＝17+B是9的倍数；
那么B＝1时，17+1＝18是9的倍数；
所以，在1971年，他的年龄是9的倍数并且是这一年的各位数字之和；
这一年他的年龄是：1971﹣1953＝18（岁）．
第6页（共12页）答：这一年他18岁．
故答案为：18．
7．（3分）如图是一个五棱柱的平面展开图．图中的正方形边长都为2．按图所示数据，这个五
棱柱的体积等于 7 ．
【分析】如图，两个五边形是折成的五棱柱的底，其面积是正方形的面积减去一个直角三
角形的面积，正方形的边长是2，三角形的底和高都是1，据此可求出这个五边形的面积，
也就是五棱柱的底面积，五棱柱的高是2，根据直棱的体积＝底面积×高，即可求出这个五
棱柱的体积．
【解答】解：（2×2﹣ ×1×1）×2
＝（4﹣0.5）×2
＝3.5×2
＝7；
故答案为：7
8．（3分）在乘法算式 • ＝ 中，汉字代表非零数字，不同汉字代表不同
数字，那么 所代表的四位数最小是 439 6 ．
【分析】根据题意，由整数乘法的计算方法进行推算即可．
【解答】解：有9个汉字，没有0，所以9个汉字对应1～9，9个数字；
要求最小，那么“花”和“草”我们只能取1和2；根据两个数和一定，差越小积越大，我
们选择“花”为1，“草”是2；“春”字只能取3或者4；
， ， 中，个位的三个数字，至少有2个是5、6、7、8、9这五个人数字
中的2个；
一个数与5相乘的末尾不是0就是5，因此不能有5；
又因为6×7＝42，个位是2，有重复不可以；
第7页（共12页）依次判断，只能是6×9＝54，或者7×8＝56，或者7×9＝63；
当是7×8＝56时，有28×157＝4396，这时最小．
故答案为：4396．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．如图ABCD是平行四边形，E为AB延长线上一点，K为AD延长线上一点．连接BK，DE相
交于一点O，问：四边形ADOB与四边形ECKO的面积是否相等？请说明理由．
【分析】如图，连结AC，根据平行四边形的特征及三角形的面积公式可知△DCE的面积等
于△DCA的面积，△AKC的面积等于△AKB的面积，四边形ECKO的面积+△ODK的面
积＝四边形EDKC的面积＝△DCE的面积+△DCK的面积＝△ADC的面积+△CD的面
积K＝△ACK的面积，又由四边形ABOD的面积+△ODK的面积＝四边形ECKO的面积
+△ODK的面积，从而得出四边形ADOB与四边形ECKO的面积相等．
【解答】解：如图，
连结AC
因为AB∥CD，
所以S△DCE＝S△DCA（同底等高）
S四边形ABOD+S△ODK＝S△ABK，
S四边形 ECKO+S△ODK＝S四边形 EDKC＝S△DCE+S△DCK＝S△ADC+S△CDK＝
S△ACK，
又因为DC∥AB，
所以△AKC＝S△AKB
所以S四边形ABOD+S△ODK＝S四边形ECKO+S△ODK
即S四边形ABOD＝S四边形ECKO；
故答案为：相等
第8页（共12页）10．能否用500个如图所示的1×2的小长方形形成一个5×200的大长方形，使得5×200的长
方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由．
【分析】500个小长方形就有500个小星星，500个星星平均分成5行，每行就有100个，是
偶数；500÷200＝2（个）…100（个）；再把余下的100个平均分给50列，每列分2个，这50
列每列就是2+2＝4（个），剩下的150列每列是2个，都是偶数，由此可解．
【解答】解：可以使5×200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星，因为；
500个小长方形就有500个小星星，
500÷5＝100（个），
每行100个是偶数；
500÷200＝2（个）…100（个）；
再把余下的100个平均分给50列，每列分2个，这50列每列就是2+2＝4（个），剩下的
150列每列是2个，都是偶数；
所以可以使5×200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星．
11．将一个2n位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数．如果这两个n位数之和的平方
正好等于这个2n位数．则称这个2n位数为卡不列克（Kabulek）怪数，例如，（30+25）2＝
3025，所以3025是一个拉布列克怪数．请问在四位数中有哪些卡不列克怪数？
【分析】设该数的前两位为x，后两位为y．于是有（x+y）2＝100x+y＝x+y+99x，即：（x+y）
（x+y﹣1）＝99x，
从而看出x+y与x+y﹣1中有一个是9的倍数，另一个是11的倍数（当然依照位数不同，也
可能是别的因数），从而找出满足条件的三个数：45，55和99，然后求出它们的平方数即
可．
【解答】解：设该数的前两位为x，后两位为y．于是有（x+y）2＝100x+y＝x+y+99x，
即：（x+y）（x+y﹣1）＝99x，
从而看出x+y与x+y﹣1中有一个是9的倍数，另一个是11的倍数（当然依照位数不同，也
可能是别的因数），
可以找出满足条件的三个数：45，55和99，平方得2025，3025，9801；
即符合：（20+25）2＝2025；
（30+25）2＝3025；
（98+1）2＝9801；
第9页（共12页）答：在四位数中的卡不列克怪数有：2025，3025，9801．
12．已知98个互不相同的质数p ，p …p ，记N＝p +p +…p ，问：N被3除的余数是
1 2 98
多少．
【分析】除3外，因为质数被3除的余数为1或2，质数的平方除以3，余数只能是1，（2的
平方除以3余1），然后分是否含有质数3讨论．
【解答】解：（1）这些质数中不含质数3，所以该数平方后被3除的余数就是1，
所以N被3除的余数就是98被3除的余数，是2；
（2）如果有3，那么剩下97个除以3余1．
3的平方除以3余数是0，
那么N除以3的余数1．
答：N被3除的余数是1或2．
三、解答下列各题（每小题0分，共30分，要求写出详细过程）
13．小华和小张在一个圆形跑道上匀速跑步，两人同时同地出发，小华顺时针跑，每72秒跑
一圈；小张逆时针跑，每80秒跑一圈．在跑道上划定以起点为中心的 圆弧区间，那么两
人同时在规定的区间内所持续的时间为多少秒？
【分析】 如果第一次小李速度 出划定区域用时为 ÷ ＝9，小张速度 出划定区
①
域用时 ÷ ＝10，10大于9，所以为9秒；
第二次：小华入划定区域用时（1﹣ ÷2）÷ ＝63（秒），出区域时间（1+ ÷2）÷ ＝
②
81（秒）；
小张入区域用时（1﹣ ÷2）÷ ＝70（秒），出区域用时（1+ ÷2）÷ ＝90（秒），
他们在划定区域时间范围70～81延续时间为11秒；
第三次：小华135～153，小张150～170范围150～153时间为3秒；
③小华入划定区域用时（1﹣ ÷2）÷ ＝63（秒），
④
出区域时间（1+ ÷2）÷ ＝81（秒）；
81﹣63＝18（秒）；
第10页（共12页）其他类似情况可的同样结果．
【解答】解： 小华出划定区域用时为（ ÷2）÷ ＝9，
①
小张出划定区域用时（ ÷2）÷ ＝10，
10＞9，所以为9秒；
80×（1﹣ ÷2），
②
＝80× ，
＝70（秒）；
72×（1+ ÷2），
＝72× ，
＝81（秒）；
81﹣70＝11（秒）；
第三次：小华135～153，小张150～170范围150～153时间为3秒；
③
小华入划定区域用时（1﹣ ÷2）÷ ＝63（秒），
④
出区域时间（1+ ÷2）÷ ＝81（秒）；
81﹣63＝18（秒）；
综上：答案为：3，9，11，18．
答：两人同时在规定的区间内所持续的时间为3，9，11，18秒．
14．把一个棱长为整数的长方体的表面都涂上红色，然后切割成棱长为1的小立方体．其中，
两面有红色的小立方块有40块，一面有红色的小立方块有66块，那么这个长方体的体积
是多少？
【分析】两面有红色的小立方块处在棱上，一面有红色的小立方块处在8个顶点上，设长方
体的长宽高上分别有两面有红色的小立方体x、y、z块，根据题意可得，同一个顶点上的三
第11页（共12页）条棱上两面有红色的小立方体的块数和是：x+y+z＝40÷4＝10， ；同一个顶点上的三个
面上一面有红色的小立方体的块数和是：xy+xz+yz＝66÷2＝33，①；然后联立等式可得：由
和 可得，x2+y2+z2＝102﹣2×33＝34， 并且x、y、z≤5，然后②分x＝1、2、3、4、5，分组
①讨论即②可． ③
【解答】解：设长方体的长宽高上分别有两面有红色的小立方体x、y、z块，根据题意可得
x+y+z＝40÷4＝10，
xy+xz+yz＝66÷2＝33①，
由 和 可得，x2+y2+②z2＝102﹣2×33＝34，
并①且x、②y、z≤5， ③
由 可得，（x+y）（x+z）＝x2+33，
若②x＝1，（1+y）（1+z）＝12+33＝2×17＝④1×34，那么x和y是：2﹣1＝1，17﹣1＝16，或1﹣1
＝0，34﹣1＝33，都不合x、y、z≤5，舍去；
同理，若x＝2，（2+y）（2+z）＝22+33＝1×37，那么x和y是：1﹣2＝﹣1，37﹣2＝35，不合
x、y、z≤5，舍去；
若x＝3，（3+y）（3+z）＝32+33＝42＝6×7＝3×14＝1×42＝×21，显然，3×14和1×42都不合
要求，那么x和y是：6﹣3＝3，7﹣3＝4，符合x、y、z≤5；
若x＝4，（4+y）（4+z）＝42+33＝49＝7×7，那么x和y是：7﹣4＝3，7﹣4＝3，符合x、y、
z≤5；并且和上一种情况是同一种情况，
若x＝5，（5+y）（5+z）＝52+33＝58＝1×58，显然，那么x和y是：1﹣5＝﹣4，58﹣5＝54，不
符合x、y、z≤5；
所以，长方体的长、宽、高是：4+2＝6，3+2＝5，3+2＝5，
所以，体积是：6×5×5＝150；
答：这个长方体的体积是150．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 10:51:31；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第12页（共12页）
