文档内容
2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小
中组B 卷）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）若将一个边长为 8 厘米的正方形盖在一个三角形上，则两个图形重叠部分的面积
占三角形面积的一半，占正方形面积的四分之三．那么这个三角形的面积是 平方
厘米．
2．（10分） 在如图的算式中，每个字母代表一个 1 至 9 之间的数，不同的字母代表不同的
数字，则 A+B+C＝ ．
3．（10分）某水池有A，B两个水龙头．如果 A，B同时打开需要30分钟可将水池注满．现在A
和B同时打开10分钟，即将A关闭，由B继续注水40分钟，也可将水池注满．如果单独打
开B龙头注水，需要 分钟才可将水池注满．
4．（10分） 将六个数 1，3，5，7，9，11 分别填入右图中的圆圈内（每个圆填一个数） 使每边
上三个数的和都等于 19，则三角形三个的圆圈内所填三数之和为 ．
5．（10分）四年级一班用班费购买单价分别为 3 元、2 元、1 元的甲、乙、丙三种文具．已知
购买乙种文具的件数比购买甲种文具的件数少 2 件，且购买甲种文具的费用不超过总费
用的一半．若购买的三种文具恰好共用了 66 元，那么甲种文具最多购买了 件．
6．（10分）如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方棱爬到顶点B，要求行走的路
线最短，那么蚂蚁有 种不同的走法．
第1页（共8页）7．（10分）每枚正方体骰子相对面的点数和都是 7．如图摆放的三枚骰子，你只能看到七个
面的点数，那么你从该图中看不见的所有面的点数和是 ．
8．（10分）十个不同奇数的平方之和的最小值与这个最小值被 4 除的余数之差是 ．
（注：相同的两个自然数的乘积叫做这个自然数的平方，如 1×1＝12，2×2＝22，3×3＝33，类
推）
二、简答题（每题15分，共60分，要求写出简要过程）
9．（15分）商店进了一批钢笔，如果用零售价7元卖出20支与用零售价8元卖出15支所赚
的钱数相同．那么每支钢笔的进货价是多少元？
10．（15分）十个互不相同的非零自然数之和等于102，那么其中最大的两个数之和的最大值
等于多少？其中最小的两个数之和的最小值等于多少？
11．（15分）如图是一个净化水装置，水流方向为从 A 先流向 B，再流到 C．原来容器A﹣B
之间有 10 个流量相同的管道，B﹣C 之间有 10 个流量相同的管道．现调换了 A﹣B 与
B﹣C 之间的一个管道后，流量每小时增加了 30 立方米．问：通过调整管道布局，从 A
到 C 的流量最大可增加多少立方米？
12．（15分）称四位数 是四位数 的反序数．如 1325 是 5231 的反序数，2001 是
1002 的反序数．问：一个四位数与它的反序数的差能等于 1008 吗？如果能，请写出一例；
如果不能，请简述理由．
第2页（共8页）2012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试
卷（小中组 B 卷）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）若将一个边长为 8 厘米的正方形盖在一个三角形上，则两个图形重叠部分的面积
占三角形面积的一半，占正方形面积的四分之三．那么这个三角形的面积是 9 6 平方厘
米．
【分析】根据正方形的面积公式S＝a×a求出正方形的面积，再根据“占正方形面积的三分
之二，”求出两个图形重叠部分的面积，进而求出三角形面积．
【解答】解：8×8× ÷ ，
＝48×2，
＝96（平方厘米），
答：这个三角形的面积是96平方厘米；
故答案为：96．
2．（10分） 在如图的算式中，每个字母代表一个 1 至 9 之间的数，不同的字母代表不同的
数字，则 A+B+C＝ 1 8 ．
【分析】根据减法各部分间的关系可得：DEF+HIJ＝ABC，又因为1～9这9个数字的和是
45，假设个位与十位相加都进位，则可得：F+J＝10+C，E+I＝10+B﹣1＝9+B，D+H＝A﹣
1，则D+E+F+H+I+J＝10+C+9+B+A﹣1＝A+B+C+18，所以A+B+C+D+E+F+H+I+J＝2
（A+B+C）+18＝45，即A+B+C＝ ，不符合题意；则假设只有个位数字相加进位，则F+J
＝10+C，E+I＝B﹣1，D+H＝A，则D+E+F+H+I+J＝10+C+B﹣1+A＝A+B+C+9，所以
A+B+C+D+E+F+H+I+J＝2（A+B+C）+9＝45，即A+B+C＝18，符合题意；假设只有十位数
字相加进位得到的结果与假设个位数字相加进位得到的结果相同，据此即可解答．
【解答】解：根据题得：DEF+HIJ＝ABC，又因为1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45，
第3页（共8页）假设个位与十位相加都进位，则可得：F+J＝10+C，E+I＝10+B﹣1＝9+B，D+H＝A﹣1，则
D+E+F+H+I+J＝10+C+9+B+A﹣1＝A+B+C+18，
所以A+B+C+D+E+F+H+I+J＝2（A+B+C）+18＝45，即A+B+C＝ ，不符合题意；
则假设只有个位数字相加进位，则F+J＝10+C，E+I＝B﹣1，D+H＝A，则D+E+F+H+I+J＝
10+C+B﹣1+A＝A+B+C+9，
所以A+B+C+D+E+F+H+I+J＝2（A+B+C）+9＝45，即A+B+C＝18，符合题意；
答：A+B+C＝18．
故答案为：18．
3．（10分）某水池有A，B两个水龙头．如果 A，B同时打开需要30分钟可将水池注满．现在A
和B同时打开10分钟，即将A关闭，由B继续注水40分钟，也可将水池注满．如果单独打
开B龙头注水，需要 6 0 分钟才可将水池注满．
【分析】我们把水池的容量看作单位“1”，先求出B水管的工作效率，然后用单位“1”
除以B的工作效率就是单独打开B龙头注水，需要的时间．
【解答】解：1÷[（1﹣ ）÷40]，
＝1÷ ，
＝60（分钟）；
答：单独打开B龙头注水，需要60分钟才可将水池注满．
故答案为：60．
4．（10分） 将六个数 1，3，5，7，9，11 分别填入右图中的圆圈内（每个圆填一个数） 使每边
上三个数的和都等于 19，则三角形三个的圆圈内所填三数之和为 2 1 ．
【分析】由于三角形三个顶点上3个数重复加了一遍，所以各边数字之和减去所填入数字
和等于重复多加的各顶点之和，即19×3﹣（1+3+5+7+9+11）＝21，所以顶点上三个数的和
是21．
【解答】解：19×3﹣（1+3+5+7+9+11），
＝19×3﹣36，
第4页（共8页）＝21；
这个幻方可以是：
故答案为：21．
5．（10分）四年级一班用班费购买单价分别为 3 元、2 元、1 元的甲、乙、丙三种文具．已知
购买乙种文具的件数比购买甲种文具的件数少 2 件，且购买甲种文具的费用不超过总费
用的一半．若购买的三种文具恰好共用了 66 元，那么甲种文具最多购买了 1 1 件．
【分析】设购买甲文具为x元，则乙为（x﹣2）元，由于甲、乙、丙三种文具恰好用了66元钱，
则买甲、乙两种文具的钱≤66，再根据购买甲文具的费用不超过总费用的一半，列不等式
解答．
【解答】9解：设买甲种文具数量为x，丙种文具数量为y，
则乙种文具数量为（x﹣2），
则3x+2（x﹣2）+y＝66，
即y＝70﹣5x，
又3x≤ ，
解得x≤11，
所以甲文具最多购买11件，
答：甲种文具最多购买了11件．
故答案为：11．
6．（10分）如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方棱爬到顶点B，要求行走的路
线最短，那么蚂蚁有 6 种不同的走法．
第5页（共8页）【分析】本题可以这样想：因为A点是相邻的三个正方形的面的交点，经过这三个面各有
一条最短路线，这样有3种选择，接下来再从其中一个面到B个面又有相邻的两个面可供
选择，所以根据乘法原理，可得共有：3×2＝6种不同的走法；据此解答．
【解答】解：根据分析可得，
共有：3×2＝6（种），
答：蚂蚁有6种不同的走法．
故答案为：6．
7．（10分）每枚正方体骰子相对面的点数和都是 7．如图摆放的三枚骰子，你只能看到七个
面的点数，那么你从该图中看不见的所有面的点数和是 4 1 ．
【分析】此图中共三枚正方体骰子，从上到下编为 ．因为每枚正方体骰子相对面的
点数和都是7，即每个骰子的点数和有3个7构成①．②③
因此 看不见的所有面的点数和为7×3﹣（4+3+2）＝9； 看不见的所有面的点数和为
7×3﹣①（5+1）＝15； 看不见的所有面的点数和为7×3﹣②（3+1）＝17．
所以，从该图中看不见③的所有面的点数和为9+15+17＝41．
【解答】解： 看不见的所有面的点数和为：7×3﹣（4+3+2）＝9；
看不见的所①有面的点数和为：7×3﹣（5+1）＝15；
②看不见的所有面的点数和为：7×3﹣（3+1）＝17．
③所以，从该图中看不见的所有面的点数和为9+15+17＝41．
故答案为：41．
8．（10分）十个不同奇数的平方之和的最小值与这个最小值被 4 除的余数之差是 132 8 ．
（注：相同的两个自然数的乘积叫做这个自然数的平方，如 1×1＝12，2×2＝22，3×3＝33，类
推）
【分析】十个不同奇数的平方之和的最小值，即从1开始，到19结束，求出1～19的10个
不同奇数的平方之和，然后求出这个最小值被4除的余数，然后用10个不同奇数的平方
之和减去这个最小值被4除的余数即可．
【解答】解：12+32+52+72+92+112+132+152+172+192，
＝1+9+25+49+81+121+169+225+289+361，
第6页（共8页）＝1330，
1330÷4＝332…2，
1330﹣2＝1328；
故答案为：1328．
二、简答题（每题15分，共60分，要求写出简要过程）
9．（15分）商店进了一批钢笔，如果用零售价7元卖出20支与用零售价8元卖出15支所赚
的钱数相同．那么每支钢笔的进货价是多少元？
【分析】我们运用方程进行解答较容易理解，设每支钢笔的进货价是x元．（7﹣x）×20与（8
﹣x）×15钱数是相等的，列方程求出进价即可．
【解答】解：设每支钢笔的进货价是x元．
（7﹣x）×20＝（8﹣x）×15，
140﹣20x＝120﹣15x，
5x＝20，
x＝4；
答：每支钢笔的进货价是4元．
10．（15分）十个互不相同的非零自然数之和等于102，那么其中最大的两个数之和的最大值
等于多少？其中最小的两个数之和的最小值等于多少？
【分析】十个互不相同的非零自然数之和等于102，当最大的两个数和的最大值时，其余的
8个数就是应是最小的不同的8个非零的自然数，即是1，2，3，4，5，6，7，8．据此解答．
【解答】解：最大的两个数之和的最大值是：
102﹣（1+2+3+4+5+6+7+8），
＝102﹣36，
＝66，
最小的两个数之和的最小值是：
1+2＝3．
答：最大的两个数之和的最大值等于66，其中最小的两个数之和的最小值等于3．
11．（15分）如图是一个净化水装置，水流方向为从 A 先流向 B，再流到 C．原来容器A﹣B
之间有 10 个流量相同的管道，B﹣C 之间有 10 个流量相同的管道．现调换了 A﹣B 与
B﹣C 之间的一个管道后，流量每小时增加了 30 立方米．问：通过调整管道布局，从 A
到 C 的流量最大可增加多少立方米？
第7页（共8页）【分析】由于调换了A﹣B与B﹣C之间的一个管道后，流量每小时增加了30立方米可得：
A﹣B和B﹣C之间的管道不一样，应该是其中的一组管道比另一组管道流量大，且调换
一个管道流量每小时就增加30立方米，因为流量较大的一组共有10个管道，那么调换5
组管道应该是增加流量最大，据此依据增加流量＝调换管道数×一组管道增加流量即可解
答．
【解答】解：30×（10÷2），
＝30×5，
＝150（立方米），
答：通过调整管道布局，从A到C的流量最大可增加150立方米．
12．（15分）称四位数 是四位数 的反序数．如 1325 是 5231 的反序数，2001 是
1002 的反序数．问：一个四位数与它的反序数的差能等于 1008 吗？如果能，请写出一例；
如果不能，请简述理由．
【分析】设这个四位数是 ，它的反序数是 ，根据题意知可： ﹣ ＝1008．
因最高位的差是1，所以a＞d，又因个位的差是8，所以d+10＝a+8，a＝d+2，按照减法继
续十位运算可得，c﹣b＝1，即c＝b+1，继续百位运算可得b﹣c＝0，即b＝c．矛盾．据此解
答．
【解答】解：根据以上分析知：一个四位数与它的反序数的差不能等于1008．
设这个四位数是 ，它的反序数是 ，根据题意知可： ﹣ ＝1008．因最高
位的差是1，所以a＞d，又因个位的差是8，所以d+10＝a+8，a＝d+2，按照减法继续十位
运算可得，c﹣b＝1，即c＝b+1，继续百位运算可得b﹣c＝0，即b＝c．矛盾．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 10:56:14；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第8页（共8页）
