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2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小
中组A卷）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）若将一个边长为 8 厘米的正方形盖在一个三角形上，则两个图形重叠部分的面积
占三角形面积的一半，占正方形面积的四分之三．那么这个三角形的面积是 平方
厘米．
2．（10分）如图是两个两位数的减法竖式，其中A，B，C，D代表不同的数字．当被减数 取
最大值时，A×B+（C+E）×（D+F）＝ ．
3．（10分）某水池有A，B两个水龙头．如果 A，B同时打开需要30分钟可将水池注满．现在A
和B同时打开10分钟，即将A关闭，由B继续注水40分钟，也可将水池注满．如果单独打
开B龙头注水，需要 分钟才可将水池注满．
4．（10分）将六个数1，3，5，7，9，11分别填入如图中的圆圈内（每个圆圈内仅填一个数），使
每边上三个数的和都等于17，则三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数之和为 ．
5．（10分）四年级一班用班费购买单价分别为 3 元、2 元、1 元的甲、乙、丙三种文具．已知
购买乙种文具的件数比购买甲种文具的件数少 2 件，且购买甲种文具的费用不超过总费
用的一半．若购买的三种文具恰好共用了 66 元，那么甲种文具最多购买了 件．
6．（10分）如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方棱爬到顶点B，要求行走的路
线最短，那么蚂蚁有 种不同的走法．
第1页（共10页）7．（10分）一个车队以4米/秒的速度缓慢通过一座长298米的大桥，共用115秒，已知每辆车
长6米，相临两车间隔20米，则这个车队一共有 辆车．
8．（10分）有一个长方形，如果它的长和宽同时增加6厘米，则面积增加了114平方厘米，则
这个长方形的周长等于 厘米．
二、简答题（每题15分，共60分，要求写出简要过程）
9．（15分）扑克牌的点数如图所示，最大时13，最小是1．现小明手里有3张点数不同的扑克
牌，第一张和第二张扑克牌点数和是25，第二张和第三张扑克牌点数和是13，问：第三张
扑克牌的点数是多少？
10．（15分）如图是一个净化水装置，水流方向从A先流向B，再流到C．原来容器A﹣B之间
有10个流量相同的管道，B﹣C之间也有10个流量相同的管道．现调换了A﹣B与B﹣C
之间的一个管道后，流量每小时增加了40立方米．问：通过调整管道布局，从A到C的流
量最大可增加多少立方米？
11．（15分）如图中的一个长方形纸板每个角都被切掉了一个小长方形（含正方形），如果被
切掉的小长方形的8对对边的长度分别是一个1，四个2，两个3和一个4，那么纸板剩下
的部分的面积最大是多少？
12．（15分）有20张卡片，每张上写一个大于0的自然数，且任意9张上写的自然数的和都不
第2页（共10页）大于63．如果写有大于7的自然数的卡片为“龙卡”，问：这20张卡片中“龙卡”最大有
多少张？所有“龙卡”上写的自然数的和的最大值是多少？
第3页（共10页）2012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试
卷（小中组 A 卷）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）若将一个边长为 8 厘米的正方形盖在一个三角形上，则两个图形重叠部分的面积
占三角形面积的一半，占正方形面积的四分之三．那么这个三角形的面积是 9 6 平方厘
米．
【分析】根据正方形的面积公式S＝a×a求出正方形的面积，再根据“占正方形面积的三分
之二，”求出两个图形重叠部分的面积，进而求出三角形面积．
【解答】解：8×8× ÷ ，
＝48×2，
＝96（平方厘米），
答：这个三角形的面积是96平方厘米；
故答案为：96．
2．（10分）如图是两个两位数的减法竖式，其中A，B，C，D代表不同的数字．当被减数 取
最大值时，A×B+（C+E）×（D+F）＝ 14 4 ．
【分析】根据题干分析可得，A，B，C，D代表不同的数字．当被减数 取最大值可以是98，
则此题属于不借位减法，则F+D＝B＝8，C+E＝A＝9，据此即可解答问题．
【解答】解：A，B，C，D代表不同的数字．当被减数 取最大值可以是98，所以C、D都是
小于8的数，则F+D＝B＝8，C+E＝A＝9，
所以A×B+（C+E）×（D+F）＝9×8+9×8＝72+72＝144，
故答案为：144．
3．（10分）某水池有A，B两个水龙头．如果 A，B同时打开需要30分钟可将水池注满．现在A
和B同时打开10分钟，即将A关闭，由B继续注水40分钟，也可将水池注满．如果单独打
开B龙头注水，需要 6 0 分钟才可将水池注满．
第4页（共10页）【分析】我们把水池的容量看作单位“1”，先求出B水管的工作效率，然后用单位“1”
除以B的工作效率就是单独打开B龙头注水，需要的时间．
【解答】解：1÷[（1﹣ ）÷40]，
＝1÷ ，
＝60（分钟）；
答：单独打开B龙头注水，需要60分钟才可将水池注满．
故答案为：60．
4．（10分）将六个数1，3，5，7，9，11分别填入如图中的圆圈内（每个圆圈内仅填一个数），使
每边上三个数的和都等于17，则三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数之和为 1 5 ．
【分析】根据题意，设三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数分别是A、B、C；每个边上的
数加起来就是1+3+5+7+9+11+A+B+C＝17×3，然后再进一步解答即可．
【解答】解：设三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数分别是A、B、C；
由题意可得：
1+3+5+7+9+11+A+B+C＝17×3，
36+A+B+C＝51，
A+B+C＝15．
1+3+11＝15，3+5+7＝15，1+5+9＝15；
又因为：1+9+7＝17，9+3+5＝17，1+11+5＝17；
所以，三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数分别是1、9、5；
那么，1与9中间的数是7，9与5之间的数是3，1与5中间的数是11；
由以上可得：
第5页（共10页）所以，三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数之和为15．
故答案为：15．
5．（10分）四年级一班用班费购买单价分别为 3 元、2 元、1 元的甲、乙、丙三种文具．已知
购买乙种文具的件数比购买甲种文具的件数少 2 件，且购买甲种文具的费用不超过总费
用的一半．若购买的三种文具恰好共用了 66 元，那么甲种文具最多购买了 1 1 件．
【分析】设购买甲文具为x元，则乙为（x﹣2）元，由于甲、乙、丙三种文具恰好用了66元钱，
则买甲、乙两种文具的钱≤66，再根据购买甲文具的费用不超过总费用的一半，列不等式
解答．
【解答】9解：设买甲种文具数量为x，丙种文具数量为y，
则乙种文具数量为（x﹣2），
则3x+2（x﹣2）+y＝66，
即y＝70﹣5x，
又3x≤ ，
解得x≤11，
所以甲文具最多购买11件，
答：甲种文具最多购买了11件．
故答案为：11．
6．（10分）如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方棱爬到顶点B，要求行走的路
线最短，那么蚂蚁有 6 种不同的走法．
【分析】本题可以这样想：因为A点是相邻的三个正方形的面的交点，经过这三个面各有
一条最短路线，这样有3种选择，接下来再从其中一个面到B个面又有相邻的两个面可供
选择，所以根据乘法原理，可得共有：3×2＝6种不同的走法；据此解答．
【解答】解：根据分析可得，
共有：3×2＝6（种），
答：蚂蚁有6种不同的走法．
故答案为：6．
第6页（共10页）7．（10分）一个车队以4米/秒的速度缓慢通过一座长298米的大桥，共用115秒，已知每辆车
长6米，相临两车间隔20米，则这个车队一共有 7 辆车．
【分析】车队过桥所经过的路程是车队长加桥长，车队长：115×4﹣298＝162（米），车的间
隔数是：（162﹣6）÷（20+6）＝6个，则这个车队一共有：6+1＝7辆车；据此解答．
【解答】解：根据分析可得，
车队长：115×4﹣298＝162（米），
车的间隔数是：（162﹣6）÷（20+6）＝6（个），
车一共有：6+1＝7（辆）；
答：这个车队一共有7辆．
故答案为：7．
8．（10分）有一个长方形，如果它的长和宽同时增加6厘米，则面积增加了114平方厘米，则
这个长方形的周长等于 2 6 厘米．
【分析】如下图：由于原来长方形的长×6+原来长方形的宽×6+6×6＝114平方厘米，根据乘
法分配律可求原来长方形的长+宽，从而求得原来长方形的周长．
【解答】解：（114﹣6×6）÷6×2，
＝（114﹣36）÷6×2，
＝78÷6×2，
＝13×2，
＝26（厘米），
答：这个长方形的周长是26厘米．
故答案为：26．
二、简答题（每题15分，共60分，要求写出简要过程）
9．（15分）扑克牌的点数如图所示，最大时13，最小是1．现小明手里有3张点数不同的扑克
牌，第一张和第二张扑克牌点数和是25，第二张和第三张扑克牌点数和是13，问：第三张
扑克牌的点数是多少？
第7页（共10页）【分析】由于最大时13，最小是1，又第一张和第二张扑克牌点数和是25，25＝13+12，即第
一张与第二张点数一定分别是12或13．又第二张和第三张扑克牌点数和是13，由于最小
是1，则第二张一定是13﹣1＝12，则第三张是1．
【解答】解：由于最大时13，最小是1，
25＝13+12，即第一张与第二张点数一定分别是12或13．
又第二张和第三张扑克牌点数和是13，
所以第二张一定是13﹣1＝12，
则第三张是1．
10．（15分）如图是一个净化水装置，水流方向从A先流向B，再流到C．原来容器A﹣B之间
有10个流量相同的管道，B﹣C之间也有10个流量相同的管道．现调换了A﹣B与B﹣C
之间的一个管道后，流量每小时增加了40立方米．问：通过调整管道布局，从A到C的流
量最大可增加多少立方米？
【分析】由于调换了A﹣B与B﹣C之间的一个管道后，流量每小时增加了40立方米可得：
A﹣B和B﹣C之间的管道不一样，应该是其中的一组管道比另一组管道流量大，且调换
一个管道流量每小时就增加40立方米，因为流量较大的一组共有10个管道，那么调换5
组管道应该是增加流量最大，据此依据最大增加流量＝调换管道数×一组管道增加流量即
可解答．
【解答】解：40×（10÷2），
＝40×5，
＝200（立方米），
答：通过调整管道布局，从A到C的流量最大可增加200立方米．
11．（15分）如图中的一个长方形纸板每个角都被切掉了一个小长方形（含正方形），如果被
切掉的小长方形的8对对边的长度分别是一个1，四个2，两个3和一个4，那么纸板剩下
的部分的面积最大是多少？
第8页（共10页）【分析】原来长方形纸板的面积是：12×11＝132，为定值，要使纸板剩下的部分的面积最大，
则必须使切掉的四个小长方形的面积之和最小，显然应该用1和4配对，然后用两个2 和
两个3分别配对，最后是两个2配对，被切掉的4个小长方形的面积分别是：4、6、6、4，这
时切掉的四个小长方形的面积之和最小，于是即可求出纸板剩下的最大面积．
【解答】解：据分析可知：切掉的四个小长方形的面积分别为：1×4＝4，2×2＝4，2×3＝6，
2×3＝6，
原来纸板的面积：12×11＝132，
切掉的四个小长方形的面积之和：4+4+6+6＝20，
纸板剩下的最大面积：132﹣20＝112；
答：纸板剩下的部分的面积最大112．
12．（15分）有20张卡片，每张上写一个大于0的自然数，且任意9张上写的自然数的和都不
大于63．如果写有大于7的自然数的卡片为“龙卡”，问：这20张卡片中“龙卡”最大有
多少张？所有“龙卡”上写的自然数的和的最大值是多少？
【分析】由于“龙卡”上写的数最小是8，8×8＝64＞63，所以8张，所以最多有7张；设7
张“龙卡”上写的自然数的和是S，如果再去两张小于8的卡片，就组成9张，当这两张的
和最小时，S的值最大，又因为每张上写一个大于0的自然数，最小是1，所以当这两张都
是1时，它们的和最小，即是2，又因为任意9张上写的自然数的和都不大于63，即最大为
63，所以S的值最大是：63﹣2＝61；据此解答．
【解答】解：由于“龙卡”上写的数最小是8，8×8＝64＞63，所以8张，不合要求，所以最多
有7张；其余的13张都是小于8的卡片；
设7张“龙卡”上写的自然数的和是S，如果再去两张小于8的卡片，就组成9张，当这两
张的和最小时，S的值最大，
又因为每张上写一个大于0的自然数，最小是1，所以当这两张都是1时，它们的和最小，
即是2，
又因为，任意9张上写的自然数的和都不大于63，即最大为63，
所以S的值最大是：63﹣2＝61；
答：这20张卡片中“龙卡”最大有7张，所有“龙卡”上写的自然数的和的最大值是61．
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日期：2019/5/7 10:55:42；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
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