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2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小
高组B 卷）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）算式 ÷（ ） 的值为 ．
2．（10分）设a△b和a▽b分别表示取a和b两个数的最小值和最大值，如，3△4＝3，3▽4＝
4，那么对于不同的数x，5▽[4▽（x△4）]的取值共有 个．
3．（10分）里山镇到省城的高速路全长189千米，途经县城，里山镇到县城54千米．早上8：
30，一辆客车从里山镇开往县城，9：15 到达，停留15分钟后开往省城，11：00到达．另有
一辆客车于同天早上8：50从省城径直开往里山镇，每小时行驶60千米．那么两车相遇的
时间为 ．
4．（10分）有高度相同的一段方木和一段圆木，体积之比是 1：1．如果将工成尽可能大的圆
柱，将圆木加工成尽可能大的长方体，则得圆柱体积和长方体的体积的比值为 ．
5．（10分）用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}＝x﹣[x]，则算式{ }+{ }+{
}+…+{ }的值为 ．
6．（10分）某个水池存有其容量的十八分之一的水．两条注水管同时向水池注水，当水池的
水量达到九分之二时，第一条注水管开始单独向水池注水，用时81分钟，所注入的水量等
于第二条注水管已注入水池内的水量．然后第二条注水管单独向水池注水49分钟，此时，
两条注水管注入水池的总水量相同．之后，两条注水管都继续向水池注水．那么两条注水
管还需要一起注水 分钟，方能将水池注满．
7．（10分）有16位选手参加象棋晋级赛，每两人都只赛一盘．每盘胜者积1分，败者积0分．
如果和棋，每人各积0.5分．比赛全部结束后，积分不少于10分者晋级．那么本次比赛后
最多有 位选手晋级．
8．（10分）平面内有5个点，其中任意3个点均不在同一条直线上，以这些点为端点连接线段，
则除这5个点外，这些线段至少还有 个交点．
第1页（共12页）二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）能否用540个图所示的1×2的小长方形拼成一个6×180的大长方形，使得6×180
的长方形的每一行、每一列都有奇数个星？请说明理由．
10．（10分）已知100个互不相同的质数 p ，p ，…，p ，记 N＝p 2+p 2+…+p 2，问：N被3
1 2 100 1 1 100
除的余数是多少？
11．（10分）王大妈拿了一袋硬币去银行兑换纸币，袋中有一分、二分、五分和一角四种硬币，
二分的枚数是一分的 ，五分硬币的枚数是二分的 ，一角硬币的枚数是五分的 少7枚．
王大妈兑换到的纸币恰好是大于50小于100的整元数．问这四种硬币各有多少枚？
12．（10分）右图是一个三角形网格，由16个小的等边三角形构成．网格中由3个相邻的小三
角形构成的图形称为“3﹣梯形”．如果在每个小三角形内填上数字1﹣9中的一个，那么
能否给出一种填法，使得任意两个“3﹣梯形”中的3个数之和均不相同？如果能，请举
出一例；如果不能，请说明理由．
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）请写出所有满足下面三个条件的正整数a和b；
（1）a≤b；
（2）a+b 是个三位数，且三个数字从小到大排列等差；
（3）a×b 是一个五位数，且五个数字相同．
14．（15分）记一百个自然数 x，x+1，x+2，…，x+99的和为a，如果a的数字和等于50，则x最
小为多少？
第2页（共12页）2012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试
卷（小高组 B 卷）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）算式 ÷（ ） 的值为 ．
【分析】先算小括号里面的加法，再算除法，最后算减法．
【解答】解：
÷（ ） ，
＝ ÷ ，
＝ ，
＝ ．
故答案为： ．
2．（10分）设a△b和a▽b分别表示取a和b两个数的最小值和最大值，如，3△4＝3，3▽4＝
4，那么对于不同的数x，5▽[4▽（x△4）]的取值共有 1 个．
【分析】分x＞4和x≤4两种情况进行讨论，据此解答．
【解答】解：分情况讨论：
x≤4时，x△4＝x，4▽x＝4，5▽4＝5；
①x＞4时，x△4＝4，4▽4＝4，5▽4＝5．
②所以5▽[4▽（x△4）]的取值共有1种．
故答案为：1．
3．（10分）里山镇到省城的高速路全长189千米，途经县城，里山镇到县城54千米．早上8：
30，一辆客车从里山镇开往县城，9：15 到达，停留15分钟后开往省城，11：00到达．另有
一辆客车于同天早上8：50从省城径直开往里山镇，每小时行驶60千米．那么两车相遇的
时间为 1 0 ： 0 8 ．
第3页（共12页）【分析】此题应先求出甲车在县城开往省城的速度和所用时间，速度是（189﹣54）÷1.5＝90
（千米/小时），所用的时间（189﹣54﹣60×40÷60）÷（90+60），再求出两车相遇的时间，解决
问题．
【解答】解：甲车在县城开往省城的速度是：
（189﹣54）÷1.5，
＝135÷1.5，
＝90（千米/小时）；
甲车在县城开往省城所用的时间：
（189﹣54﹣60×40÷60）÷（90+60），
＝95÷150，
＝ （小时），
＝38（分钟）；
两车相遇的时间：
15+15＝30（分钟），
9点30分+38分＝10时8分．
答：两车在10：08相遇．
故答案为：10：08．
4．（10分）有高度相同的一段方木和一段圆木，体积之比是 1：1．如果将工成尽可能大的圆
柱，将圆木加工成尽可能大的长方体，则得圆柱体积和长方体的体积的比值为 ．
【分析】方木与圆木的体积和高度都相等，说明底面积也相等，要求加工成的圆柱体积和
长方体的体积的比，就是比较底面积的比，所以只要求出底面积即可，然后按正方形的内
接圆和外接圆考虑即可．
【解答】解：（1）
第4页（共12页）设圆的半径为r，圆的面积与正方形的面积比是：
（ 2）：（2 ×2 ）＝ ，
πγ γ γ
（2）
设圆的半径为r，正方形的面积与圆的面积比是：
（2 × ）：（ × 2）＝ ，
γ γ π γ
因为，方木与圆木的体积和高度都相等，说明底面积也相等，即图（1）的大正方形面积等
于图（二）的大圆的面积，
所以，现在的圆柱体积和长方体的体积的比值是：
： ＝ ；
答：圆柱体积和长方体的体积的比值为 ．
故答案为：
5．（10分）用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}＝x﹣[x]，则算式{ }+{ }+{
}+…+{ }的值为 805. 4 ．
【分析】根据用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}＝x﹣[x]，可把原式的每一项写成{x}＝x
﹣[x]，然后进行计算．据此解答．
第5页（共12页）【解答】解：{ }+{ }+{ }+…+{ }，
＝ ﹣[ ]+ ﹣[ ]+ ﹣[ ]+…+
﹣[ ]，
＝ ﹣402+ ﹣402+ ﹣403+…+ ﹣804，
＝ ﹣402+ ﹣402+ ﹣403+…+ ，
＝402+ ﹣402+ ﹣402+403﹣403+…+804+ ﹣804，
＝ + +0+ + + +0+… ，
＝ + +（2012﹣2）÷5×（0+ + + + ），
＝ +2010÷5×2，
＝0.6+0.8+804，
＝805.4．
故答案为：805.4．
6．（10分）某个水池存有其容量的十八分之一的水．两条注水管同时向水池注水，当水池的
水量达到九分之二时，第一条注水管开始单独向水池注水，用时81分钟，所注入的水量等
于第二条注水管已注入水池内的水量．然后第二条注水管单独向水池注水49分钟，此时，
两条注水管注入水池的总水量相同．之后，两条注水管都继续向水池注水．那么两条注水
管还需要一起注水 23 1 分钟，方能将水池注满．
【分析】我们设到 时，用时为X分钟；甲管81分钟的水量＝乙管X分钟的水量（甲后81
分钟与乙管前面注入的等量）甲管X分钟＝乙管49分钟的水量（总量相同，乙管把甲管前
面部分补足即可）后面单独注水阶段，只不过把水量交换了一下，所以也注了1/6；列方程
求出共同注水的时间是63，两管63分钟完成了 ﹣ ＝ ，然后再看看剩下的工作量里
第6页（共12页）面有几个 ，就有几个63分钟．
【解答】解：设到 时，用时为X分钟；
81：X＝X：49
X×X＝81×49，
X×X＝9×9×7×7，
X×X＝（9×7）×（9×7），
X＝9×7，
X＝63；
也就是说，两管63分钟完成了 ﹣ ＝ ，
还需要注水的量：1﹣（ + 2），
＝1﹣ ，
＝ ；
需要的时间是：63×[ ]
＝63× ，
＝231（分钟）
答：两条注水管还需要一起注水231分钟．
故答案为：231．
7．（10分）有16位选手参加象棋晋级赛，每两人都只赛一盘．每盘胜者积1分，败者积0分．
如果和棋，每人各积0.5分．比赛全部结束后，积分不少于10分者晋级．那么本次比赛后
最多有 1 1 位选手晋级．
【分析】16名参赛选手所有的比赛一共有（1+15）×15÷2＝120场，而且不论胜败，每场比赛
总分为1分，所以比赛总分为120分，最理想的结果是120÷10＝12人晋级，即有12人，每
人10分，其余4人每人0分，但这种情况不可能出现（那怕排名最后的2人相互之间的比
赛也会有得分）那么考虑11人的情况，前11人称为高手，后5人称为平手，高手之间的比
赛全平，每人得0.5×10＝5分，高手对平手，高手全胜，每个高手再得5分，这样每个高手
第7页（共12页）得10分，正好全部晋级．
【解答】解：16名参赛选手所有的比赛一共有（1+15）×15÷2＝120场，
而且不论胜败，每场比赛总分为1分，
所以比赛总分为120分，
最理想的结果是120÷10＝12人晋级，即有12人，每人10分，其余4人每人0分，
但这种情况不可能出现（那怕排名最后的2人相互之间的比赛也会有得分），
那么考虑11人的情况，前11人称为高手，后5人称为平手，
高手之间的比赛全平，每人得0.5×10＝5分，
高手对平手，高手全胜，每个高手再得5分，这样每个高手得10分，正好全部晋级．
综上所述：最多11人晋级；
故答案为：11．
8．（10分）平面内有5个点，其中任意3个点均不在同一条直线上，以这些点为端点连接线段，
则除这5个点外，这些线段至少还有 1 个交点．
【分析】因为两点确定一条线段，又因为每三个点都不在同一条直线上，所以任意三点都
能组成一个三角形，假设把其中的三点连成一个三角形，要使这些线段的交点最少，则剩
下的两个点都在三角形的内部，据此画图即可解答．
【解答】解：根据题干分析画图如下：
答：至少还有1个交点．
故答案为：1．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）能否用540个图所示的1×2的小长方形拼成一个6×180的大长方形，使得6×180
的长方形的每一行、每一列都有奇数个星？请说明理由．
【分析】540个这样的小长方形就有540个小星星；540是偶数，因为奇数+奇数＝偶数；也
第8页（共12页）就是说偶数可以分成偶数个奇数的和；由此求解．
【解答】解：540个这样的小长方形就有540个小星星；
540可以分成6个奇数的和；也可以分成180个奇数的和，所以每一行或者每一列都可以
是奇数个星；
如：前五行各有89个，第六行有95个；每列都是3个．
所以540个1×2能使得6×180的长方形的每一行、每一列都有奇数个星．
10．（10分）已知100个互不相同的质数 p ，p ，…，p ，记 N＝p 2+p 2+…+p 2，问：N被3
1 2 100 1 1 100
除的余数是多少？
【分析】除3外，因为质数被3除的余数为1或2，质数的平方除以3，余数只能是1，（2的
平方除以3余1），然后分是否含有质数3讨论．
【解答】解：（1）这些质数中不含质数3，所以该数平方后被3除的余数就是1，
所以N被3除的余数就是100被3除的余数，是1；
（2）如果有3，那么剩下99个余0．
3的平方除以3余数是0
那么N除以3的余数0．
答：N被3除的余数是0或1．
11．（10分）王大妈拿了一袋硬币去银行兑换纸币，袋中有一分、二分、五分和一角四种硬币，
二分的枚数是一分的 ，五分硬币的枚数是二分的 ，一角硬币的枚数是五分的 少7枚．
王大妈兑换到的纸币恰好是大于50小于100的整元数．问这四种硬币各有多少枚？
【分析】假设一角硬币的再增加7枚即70分，这时一角硬币的枚数是五分的 ，此时把一
分硬币的枚数看作单位“1”，一角硬币的枚数是一分的 × × ＝ ，所以一分的枚
数必须是125的倍数，那么至少二分的枚数是：125× ＝75枚，五分硬币的枚数是：75×
＝45枚，一角硬币的枚数是：45× ＝27枚，总钱数是：1×125+2×75+5×45+10×27＝770
（分）＜5000分，不合要求；又因为我们增加7枚即70分，那么王大妈兑换到的纸币总钱
数应在5070～10070之间；末尾两位数还必须有“70”这两个数字，所以总钱数是：
770×11＝8470（分），可得，一分的枚数是：125×11＝1375（枚），二分的枚数是：75×11＝
第9页（共12页）825（枚），五分硬币的枚数是：45×11＝495（枚），一角硬币的枚数是：27×11﹣7＝290（枚）；
据此解答．
【解答】解：假设一角硬币的再增加7枚即70分，这时一角硬币的枚数是五分的 ，
一角硬币的枚数是一分的 × × ＝ ，所以一分的枚数必须是125的倍数，
那么至少二分的枚数是：125× ＝75枚，五分硬币的枚数是：75× ＝45枚，一角硬币的枚
数是：45× ＝27枚，
总钱数是：1×125+2×75+5×45+10×27＝770（分）＜5000分，不合要求；
又因为我们增加7枚即70分，那么王大妈兑换到的纸币总钱数应在5070～10070之间；
末尾两位数还必须有“70”这两个数字，
所以总钱数是：770×11＝8470（分），
可得，一分的枚数是：125×11＝1375（枚），
二分的枚数是：75×11＝825（枚），
五分硬币的枚数是：45×11＝495（枚），
一角硬币的枚数是：27×11﹣7＝290（枚）；
答：一分的枚数是1375枚，二分的枚数是825枚，五分硬币的枚数是495枚，一角硬币的
枚数是290枚．
12．（10分）右图是一个三角形网格，由16个小的等边三角形构成．网格中由3个相邻的小三
角形构成的图形称为“3﹣梯形”．如果在每个小三角形内填上数字1﹣9中的一个，那么
能否给出一种填法，使得任意两个“3﹣梯形”中的3个数之和均不相同？如果能，请举
出一例；如果不能，请说明理由．
【分析】如图：图中和标有数字序号的6个三角形，每个都和它相邻的两个三角形组成三个
“3﹣梯形”，这种“3﹣梯形”有18个；另外由图中标有数学序号的某两个三角形及它
们周围的某个三角形也能组成“3﹣梯形”，这种“3﹣梯形”有9个，故一共有27个“3
﹣梯形”；而每个“3﹣梯形”中的数字之和，最小是三个三角形内都填数字1，和为3，最
第10页（共12页）大是三个三角形内都填数字9，和是27，一共有25个不同结果；因为，27个“3﹣梯形”
中的结果只有25个，至少存在两个“3﹣梯形”和是相同的；据此解答即可．
【解答】解：由分析可知，共有“3﹣梯形”：18+9＝27（个），
而每个“3﹣梯形”中的数字之和，最小是三个三角形内都填数字1，和为3；
最大是三个三角形内都填数字9，和是27；由3～27，一共有25个不同结果；
因为，27个“3﹣梯形”中的结果只有25个，至少存在两个“3﹣梯形”和是相同的，
所以没有一种填法使得任意两个“3﹣梯形”中的3个数之和均不相同．
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）请写出所有满足下面三个条件的正整数a和b；
（1）a≤b；
（2）a+b 是个三位数，且三个数字从小到大排列等差；
（3）a×b 是一个五位数，且五个数字相同．
【分析】先把最小五个数字相同的五位数11111进行分解，然后根据a、b满足的条件进行
讨论它们的取值．
【解答】解：11111＝41×271
a＝271，b最小为41×7＝287，最大为41×9＝369
①经验证，不满足
b＝271，a可能为41，82，123，164，205，246
②经验证，a＝41，164，
b＝542，a可能为41，82，123…451
③经验证，a＝82，
b＝813，a可能为41，82，123，164
④经验证，a＝123
综上，满足要求的正整数a，b有：
（41，271），（164，271），（82，542），（123，813）
14．（15分）记一百个自然数 x，x+1，x+2，…，x+99的和为a，如果a的数字和等于50，则x最
小为多少？
第11页（共12页）【分析】先根据等差数列求和公式得到一百个自然数的和，再分100x+4950两数相加没有
进位；100x+4950两数相加t次进位进行讨论即可求解．
【解答】解：总和a＝100x+9900÷2＝100x+4950，
如果100x+4950两数相加没有进位，则数字和＝x的数字和+4+9+5＝50，x的数字和＝32，
x至少是5位数：99950；
如果100x+4950两数相加t次进位，则数字和＝x的数字和+4+9+5﹣9t＝50，x的数字和﹣
9t＝32，进位一次则x的数字和＝41，最小199949；进位2次则x数字和＝50，最小
699899；更多进位，x位数也必超过5．
所以x最小是99950．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 10:54:28；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第12页（共12页）
