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2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小
高组C卷）
一．填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）算式 ÷（ ）﹣ 的值为 ．
2．箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再放入一
些红球后，红球的数量是黑球的二分之一．若放入的黑球和红球数量相同，则原来箱子里
红球与黑球数量之比为 ．
3．（10分）设某圆锥的侧面积是10 ，表面积是19 ，则它的侧面展开图的圆心角是 ．
4．设a△b和a▽b分别表示取a和πb两个数的最小π值和最大值，如，3△4＝3，3▽4＝4，那么
对于不同的自然数x，6△[4▽（x△5）]的取值共有 个．
5．（10分）某水池有A，B两个水龙头．如果 A，B同时打开需要30分钟可将水池注满．现在A
和B同时打开10分钟，即将A关闭，由B继续注水40分钟，也可将水池注满．如果单独打
开B龙头注水，需要 分钟才可将水池注满．
6．如图是一个五棱柱的平面展开图．图中的正方形边长都为2．按图所示数据，这个五棱柱的
体积等于 ．
7．（10分）一条路上有A、O、B三个地点，O在A与B之间，A与O相距1620，米，甲、乙两人
同时分别从A和O点出发向B点行进，出发后第12分钟，甲、乙两人离O点的距离相等；
第36分钟甲与乙两人在B点相遇．那么O与B两点的距离是 米．
8．（10分）从1到1000中最多可以选出 个数，使得这些数中任意两个数的差都不整
除它们的和．
二．解答下列各题（每题10分，要求写出简要过程）。
9．（10分）一个四位数与它的反序数之差可否为1008？请说明理由．
第1页（共10页）10．（10分）已知99个互不相同的质数p ，p ，…p ，．记作N＝ + +…+ ，问N被
1 2 99
3除的余数是多少？
11．（10分）能否用500个如图所示的1×2的小长方形形成一个5×200的大长方形，使得
5×200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由．
12．（10分）小明拿着100元人民币去商店买文具，回来后数了数找回来的人民币有4张不同
币值的纸币，4枚不同的硬币．纸币面值大于一元，硬币的面值小于1元．并且所有纸币的
面值和以“元”为单位可以被3整除，所有硬币的面值的和以“分”为单位可以被7整
除．问小明最多用了多少钱？（注：商店有面值为100元、50元、20元、10元、5元和1元纸
币，面值为5角、1角、5分、2分和1分的硬币找零）
三．解答下列各题（每小题15分，共60分，要求写出详细过程）
13．（15分）图中，ABCD是平行四边形，E在AB边上，F在DC边上，G为AF与DE的交点，
H为CE与BF的交点．已知，平行四边形ABCD的面积是1， ＝ ，三角形BHC的面积
是 ，求三角形ADG的面积．
14．（15分）记一百个自然数 x，x+1，x+2，…，x+99的和为a，如果a的数字和等于50，则x最
小为多少？
第2页（共10页）2012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试
卷（小高组 C 卷）
参考答案与试题解析
一．填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）算式 ÷（ ）﹣ 的值为 ．
【分析】先算小括号里面的加法，再算括号外的除法，最后算减法，由此求解．
【解答】解： ÷（ ）﹣ ，
＝ ÷ ﹣ ，
＝ ﹣ ，
＝ ；
故答案为： ．
2．箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再放入一
些红球后，红球的数量是黑球的二分之一．若放入的黑球和红球数量相同，则原来箱子里
红球与黑球数量之比为 2 ： 5 ．
【分析】此题中，第一次加球后，变化的是黑球，红球没变（原有的），这时红球数：黑球数＝
1：3＝2：6；第二次加球后，黑球是这次没变（球数是第一次变化后的），红球却变化了，这
时红球数：黑球数＝1：2＝3：6．对比可知，黑球数一样，红球却多出了1份，这正是第二次
加入的红球，当然也是第一次加的黑球数．至此就可求得问题答案了．
【解答】解：1﹣
： ＝ ＝1：3＝2：6
＝1：2＝3：6
3﹣2＝1
第3页（共10页）6﹣1＝5
原有红球为2份、黑球为5份．
故：原来箱子里的红球与黑球之比为2：5．
3．（10分）设某圆锥的侧面积是10 ，表面积是19 ，则它的侧面展开图的圆心角是 32 4 度
． π π
【分析】根据圆锥的特征，圆锥的侧面是一个曲面，侧面展开是一个扇形，底面是一个圆，
圆锥的表面积＝侧面积+底面积，由题可知底面面积为9 ，所以底面半径为3，周长也就
是侧面弧长为6 ， π
设角度为A侧面 π 半径为R，则有 × R2＝10 ， ×2 R＝6 ，据此解答．
π π π π
【解答】解：设角度为A侧面半径为R，
则有 × R2＝10 ， ×2 R＝6 ，
π π π π
解得：A＝324度．
答：它的侧面展开图的圆心角是324度．
故答案为：324度．
4．设a△b和a▽b分别表示取a和b两个数的最小值和最大值，如，3△4＝3，3▽4＝4，那么
对于不同的自然数x，6△[4▽（x△5）]的取值共有 2 个．
【分析】首先对x 进行分类讨论，分别得出2种结果，据此解答．
【解答】解：当x≥5时，x△5＝5，4▽（x△5）＝5，6△[4▽（x△5）]＝5；
当x＜4时，x△5＝x，4▽（x△5）＝4，6△[4▽（x△5）]＝4．
故答案为：2．
5．（10分）某水池有A，B两个水龙头．如果 A，B同时打开需要30分钟可将水池注满．现在A
和B同时打开10分钟，即将A关闭，由B继续注水40分钟，也可将水池注满．如果单独打
开B龙头注水，需要 6 0 分钟才可将水池注满．
【分析】我们把水池的容量看作单位“1”，先求出B水管的工作效率，然后用单位“1”
除以B的工作效率就是单独打开B龙头注水，需要的时间．
【解答】解：1÷[（1﹣ ）÷40]，
＝1÷ ，
＝60（分钟）；
第4页（共10页）答：单独打开B龙头注水，需要60分钟才可将水池注满．
故答案为：60．
6．如图是一个五棱柱的平面展开图．图中的正方形边长都为2．按图所示数据，这个五棱柱的
体积等于 7 ．
【分析】如图，两个五边形是折成的五棱柱的底，其面积是正方形的面积减去一个直角三
角形的面积，正方形的边长是2，三角形的底和高都是1，据此可求出这个五边形的面积，
也就是五棱柱的底面积，五棱柱的高是2，根据直棱的体积＝底面积×高，即可求出这个五
棱柱的体积．
【解答】解：（2×2﹣ ×1×1）×2
＝（4﹣0.5）×2
＝3.5×2
＝7；
故答案为：7
7．（10分）一条路上有A、O、B三个地点，O在A与B之间，A与O相距1620，米，甲、乙两人
同时分别从A和O点出发向B点行进，出发后第12分钟，甲、乙两人离O点的距离相等；
第36分钟甲与乙两人在B点相遇．那么O与B两点的距离是 162 0 米．
【分析】设12分钟时，甲走了x米，则甲距离O点（1620﹣x）米，所以乙走了（1620﹣x）米，
考虑甲乙速度不变，36分钟时，两人到达B点，此时甲行走3x，乙行走3×（1620﹣x）米；
所以有AB＝4x，OB＝3×（1620﹣x），又已知AO＝1620米；
AB＝AO+OB，得到3x＝1620+3×（1620﹣x），解得x＝1080米；
代入OB＝3×（1620﹣x）＝3×（1620﹣1080），解决问题．
【解答】解：设12分钟时，甲走了x米，则甲距离O点（1620﹣x）米，所以乙走了（1620﹣x）
米，
36分钟时，两人到达B点，此时甲行走3x，乙行走3×（1620﹣x）米；
因为AB＝AO+OB，得到：
第5页（共10页）3x＝1620+3×（1620﹣x），
6x＝6480，
x＝1080；
O与B两点的距离是：
3×（1620﹣1080）＝1620（米）；
答：O与B两点的距离是1620米．
故答案为：1620．
8．（10分）从1到1000中最多可以选出 33 4 个数，使得这些数中任意两个数的差都不整
除它们的和．
【分析】要使取得数最多，必须使除数尽量小，因为自然数按被2除得的余数可以分成2类，
即余数是：0、1，这些数中任意两个数的差都能整除它们的和，不合要求；那么再看3，自然
数按被3除得的余数可以分成3类，即余数是：0、1、2，然后再把余数分为1与0和2两类
讨论即可得出答案．
【解答】解：显然，自然数按被3除得的余数可以分成3类，即余数是：0、1、2，
被3除余1的所有数，任两个数相加的和被3除余2，差能被3整除，符合要求，
对被3除余2的所有数也如此，即2+2＝4，4÷3还是余1，
在1到1000中，被3除余1的有334个，余0、2的333个．
因此取被3除余1的334个，这些数符合题意；
故答案为：334．
二．解答下列各题（每题10分，要求写出简要过程）。
9．（10分）一个四位数与它的反序数之差可否为1008？请说明理由．
【分析】由题意得a＝9，d＝1，则 ＜2000， ﹣1008＜1000，则 四位数，
﹣1008是三位数，没有这样的数．
【解答】解：设这个四位数为 ，如果这个四位数与它的反序数之差为1008，则a＝9，d
＝1，所以 ＜2000， ﹣1008＜1000，则是 四位数， ﹣1008是三位数，
没有这样的数．
所以，一个四位数与它的反序数之差不能为1008．
10．（10分）已知99个互不相同的质数p ，p ，…p ，．记作N＝ + +…+ ，问N被
1 2 99
3除的余数是多少？
第6页（共10页）【分析】除3以外，质数除以3的余数只能是1或2，质数的平方除以3，余数只能是1，（2
的平方除以3余1），然后分是否含有质数3讨论．
【解答】解：除3外，质数除以3的余数只能是1或2，质数的平方除以3，余数只能是1，
所以99个余数1加起来是99，再除以3，余数为0；
若这些质数中有3，因为32÷3＝3，余数为0，
所以99个余数加起来是98，98÷3＝32…2，
答：N除以3的余数是0或2．
故答案为：0或2．
11．（10分）能否用500个如图所示的1×2的小长方形形成一个5×200的大长方形，使得
5×200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由．
【分析】500个小长方形就有500个小星星，500个星星平均分成5行，每行就有100个，是
偶数；500÷200＝2（个）…100（个）；再把余下的100个平均分给50列，每列分2个，这50
列每列就是2+2＝4（个），剩下的150列每列是2个，都是偶数，由此可解．
【解答】解：可以使5×200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星，因为；
500个小长方形就有500个小星星，
500÷5＝100（个），
每行100个是偶数；
500÷200＝2（个）…100（个）；
再把余下的100个平均分给50列，每列分2个，这50列每列就是2+2＝4（个），剩下的
150列每列是2个，都是偶数；
所以可以使5×200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星．
12．（10分）小明拿着100元人民币去商店买文具，回来后数了数找回来的人民币有4张不同
币值的纸币，4枚不同的硬币．纸币面值大于一元，硬币的面值小于1元．并且所有纸币的
面值和以“元”为单位可以被3整除，所有硬币的面值的和以“分”为单位可以被7整
除．问小明最多用了多少钱？（注：商店有面值为100元、50元、20元、10元、5元和1元纸
币，面值为5角、1角、5分、2分和1分的硬币找零）
【分析】根据能够被 3 整除的数的特征是：各个数位上的数的和能够被 3 整除，
50+20+10+1＝81元，50+10+5+1＝66元，20+10+5+1＝36元，都能够被3整除，取最小的
数是36元，能被7整除，是7的倍数，50+10+2+1＝63分，再加起来即可．
第7页（共10页）【解答】解：能够被3整除，50+20+10+1＝81元，50+10+5+1＝66元，20+10+5+1＝36元，
取最小的数是36元，
能被7整除是50+10+2+1＝63分，
36元+63分＝36元6角3分，
100元﹣36元6角3分＝63元3角7分；
答：小明最多用了63元3角7分钱．
三．解答下列各题（每小题15分，共60分，要求写出详细过程）
13．（15分）图中，ABCD是平行四边形，E在AB边上，F在DC边上，G为AF与DE的交点，
H为CE与BF的交点．已知，平行四边形ABCD的面积是1， ＝ ，三角形BHC的面积
是 ，求三角形ADG的面积．
【分析】设出平行四边形的底和高，得出F点的位置，进而用平行四边形的底表示出CF、
DF、BE、AE的长度，进而用平行四边形的底和高与三角形ADG的底和高的关系，问题即
可得解．
【解答】解：设平行四边形ABCD的底为a，高为h，ah＝1．
AE＝ ，BE＝ ，h＝ ．
1．计算F点在CD上的位置：
S△BEH ＝BE×h÷2﹣S△BCH ，
＝ a× ﹣ ，
＝ ；
h
1
＝2×S△BEH ÷BE（h
1
为△BEH之BE边上的高），
＝2× ÷ a，
第8页（共10页）＝ ；
S△CFH ＝CF×（h﹣h
1
）÷2，
＝CF×h÷2﹣S△BCH ，
所以CF×（ ﹣ ）÷2＝CF× ÷2﹣ ，
CF× ＝CF× ﹣ ，
CF× ＝ ，
CF＝ ；
DF＝DC﹣CF＝ ；
2．计算△ADG的面积：
S△ADG ＝S△ADE ﹣S△AEG ，
＝AE×h÷2﹣AE×h ÷2，（h 为△AEG之AE边上的高）
2 2
＝ × ÷2﹣ ×h ÷2，
2
＝ ﹣ ×h2，（1）
S△ADG ＝S△ADF ﹣S△DFG ，
＝DF×h÷2﹣DF×（h﹣h ）÷2，
2
＝（DF×h ）÷2，
2
＝ ×h ÷2，
2
＝ ×h ，（2）
2
（2）代入（1）可得：
×h ＝ ﹣ ×h ，
2 2
×h ＝ ﹣ ×h ，
2 2
第9页（共10页）h ＝ ，
2
S△ADG ＝ ×h
2
，
＝ ，
＝ ；
答：△ADG的面积是 ．
14．（15分）记一百个自然数 x，x+1，x+2，…，x+99的和为a，如果a的数字和等于50，则x最
小为多少？
【分析】先根据等差数列求和公式得到一百个自然数的和，再分100x+4950两数相加没有
进位；100x+4950两数相加t次进位进行讨论即可求解．
【解答】解：总和a＝100x+9900÷2＝100x+4950，
如果100x+4950两数相加没有进位，则数字和＝x的数字和+4+9+5＝50，x的数字和＝32，
x至少是5位数：99950；
如果100x+4950两数相加t次进位，则数字和＝x的数字和+4+9+5﹣9t＝50，x的数字和﹣
9t＝32，进位一次则x的数字和＝41，最小199949；进位2次则x数字和＝50，最小
699899；更多进位，x位数也必超过5．
所以x最小是99950．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 10:54:24；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第10页（共10页）
