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2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小
高组A卷）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）如图，边长为12米的正方形池塘周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一根木桩，
且AB＝BC＝CD＝3米，现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上，为了使羊在
草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在 处的木桩上．
2．（10分）在所有是20的倍数的正整数中，不超过2014并且是14的倍数的数之和是
．
3．（10分）从1～8这八个自然数中，任取三个数，其中没有连续自然数的取法有 种．
4．（10分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹
红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这
个剪影的面积为 平方厘米．
5．（10分）如果 ＜ ＜ ，则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为
．
6．（10分）如图，三个圆交出七个部分，将整数0～6分别填入七个部分中，使得每个圆内的
四个数字的和都相等，那么和的最大值是 ．
第1页（共13页）7．（10分）学校组织1511人去郊游，租用42座大巴和25座中巴两种汽车．如果要求恰好每
人一座且每座一人，则有 种租车方案．
8．（10分）平面上的五个点A、B、C、D、E满足：AB＝8厘米，BC＝4厘米，AD＝5厘米，DE＝1
厘米，AC＝12厘米，AE＝6厘米．如果三角形EAB的面积为24平方厘米．则点A到CD的
距离等于 ．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）把n个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含
正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形
纸片一边的中点上．如图给出了n＝6时所有不同放置的方法，那么n＝9时有多少种不同
放置方法？
10．（10分）有一杯子装满了浓度为16%的盐水，有大、中、小铁球各一个，它们的体积比为
10：4：3，首先将小球深入盐水杯中．结果盐水溢出10%，取出小球；其次把中球深入盐水
杯中，又将它取出；接着将大球深入盐水杯中后取出；最后在杯中倒入纯水至杯满为止．
此时杯中盐水的浓度是多少？（保留一位小数）
11．（10分）清明节，同学们乘车去烈士陵园招募．如果汽车行驶1小时后，将车速提高五分
之一，就可以比预定时间提前20分钟赶到；如果该车先按原速行驶72km，再将车速提高
三分之一，就可以比预定时间提前30分钟赶到．那么从学校到烈士陵园有多少km？
12．（10分）如图，在三角形ABC中，D为BC的中点，AF＝2BF，CE＝3AE，连接CF交DE于
P点，求 的值．
第2页（共13页）三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）从连续自然数1，2，3，…，2014中取出n个数满足：任意取出两个数，不会有一个
数是另一个数的5倍，试求n的最大值，并说明理由．
14．（15分）在如图的算式中，字母a、b、c、d和“□”代表十个数字0到9中的一个，其中a、
b、c、d四个字母代表不同的数字，求a、b、c、d数字之和．
第3页（共13页）2014 年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试
卷（小高组 A 卷）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）如图，边长为12米的正方形池塘周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一根木桩，
且AB＝BC＝CD＝3米，现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上，为了使羊在
草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在 B 处的木桩上．
【分析】分别把A、B、C、D这四个点为圆心的扇形面积算出来，再进行比较即可选择出正
确答案．
【解答】解： S ＝ ×42+× ×（4﹣3）2＝8.25 （平方米）；
A
① π π π
S ＝ ×42＝12 （平方米）；
B
② π π
S ＝ ×42+ × ×（4﹣3）2＝8.25 （平方米）；
C
③ π π π
S ＝ ×42＝8 （平方米），
D
④ π π
＜8.25 ＜12 ，
π所以为了π使羊π在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在B处的木桩上．
故答案为：B．
2．（10分）在所有是20的倍数的正整数中，不超过2014并且是14的倍数的数之和是
14700 ．
【分析】在所有20的倍数中不超过2014并且是14的倍数最小是140，最大是1960，共14
个，根据“高斯求和”的方法解答．
【解答】解：20和14的最小公倍数是140，在所有20的倍数中不超过2014并且是14的倍
第4页（共13页）数最小是140，最大是1960，共14个，
（140+1960）×14÷2
＝2100×14÷2
＝14700．
答：在所有20的倍数中不超过2014并且是14的倍数的数之和是14700．
故答案为：14700．
3．（10分）从1～8这八个自然数中，任取三个数，其中没有连续自然数的取法有 2 0 种．
【分析】首先取3个所有的方法有 ＝56种
连续的有两个连续另外一个不连续，如果这两个连续的数在两端，是12或78，则各有5种
不同的方法，
如：124，125，126，127，128，
如果这两个两个数在中间，是23、34、45、56、67，则各有4种不同的方法，
如：235，236，237，238；
这样一共有5×2+5×4种方法；
三个连续的有123，234，345，456，567，678，6种情况；
用总种数减去有连续自然数的种数，就是符合要求的数．
【解答】解： ＝ ＝56（种）
有两个连续数的可能是：
5×2+5×4＝30（种）
有三个连续的数的可能有6种：
56﹣30﹣6＝20（种）
答：没有连续自然数取法为20种．
故答案为：20．
4．（10分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹
红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这
个剪影的面积为 5 6 平方厘米．
第5页（共13页）【分析】按题意，可以将图中剪影分割成若干部分，然后标出每部分的面积，利用剪切和拼
接的性质求得每部分的面积，最后求和．
【解答】解：根据分析，如图，将剪影分割，
通过分割和格点面积公式可得小马剪影的总面积
＝0.5+3+16+2+1+2.5+3+0.5+1.5+12+3+2+0.5+3+0.5+1+2+1.5+0.5＝56（平方厘米）
故答案是：56．
5．（10分）如果 ＜ ＜ ，则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为 7 7
．
【分析】将 与 ， 和 都通分，然后根据分数大小比较的方法以及不等式的性质确
定“○”与“□”的和的最大值即可解决问题．
【解答】解： ＜ 通分为：
所以，4×□＞35，则□≥9；
第6页（共13页）与 通分为：
所以，○×□＜77，
则，○×□的乘积最大为76，
只要使“○”与“□”之和最大，应当使两数的差最大，
76＝1×76，
所以，当○＝1，□＝76时，两数之和最大，
即，○+□＝1+76＝77．
答：“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为 77．
故答案为：77．
6．（10分）如图，三个圆交出七个部分，将整数0～6分别填入七个部分中，使得每个圆内的
四个数字的和都相等，那么和的最大值是 1 5 ．
【分析】因为使得每个圆内的四个数字的和都相等，且和最大值时，6最大，就把6写在最
中间，还剩的3个较大数字5、4、3，填在两圆公共的部分，最后剩下的0、1、2；0与6、4、5
结合；1与6、5、3结合；2与6、3、4结合，那么每个圆内的四个数字的和都是15，据此解答
即可．
【解答】解：根据分析可得，
所以，6+5+4+0＝6+4+3+2＝6+5+3+1＝15；
所以，和的最大值是 15．
故答案为：15．
7．（10分）学校组织1511人去郊游，租用42座大巴和25座中巴两种汽车．如果要求恰好每
人一座且每座一人，则有 2 种租车方案．
第7页（共13页）【分析】全部坐满座，设大巴车有x辆，中巴车有y辆，得到不定方程42x+25y＝1511，然后
讨论x和y的值即可．
【解答】解：设大巴车有x辆，中巴车有y辆，得到不定方程：
42x+25y＝1511
所以x＝
因为42是偶数，而1511是奇数，所以1151﹣25y必须是偶数；
所以y必须是奇数；
而1511÷25＝6…11
所以42x除以25也必须余数是11，所以42与x的乘积个位数字是6，
所以当x＝8，而y＝47或者x＝8+25＝33时，而y＝5时符合条件．
所以第一种租车方式为租33辆大巴，5辆中巴；
第二种租车方式为租8辆大巴，47辆中巴；
故共有2种租车方案．
答：有2种租车方案．
故答案为：2．
8．（10分）平面上的五个点A、B、C、D、E满足：AB＝8厘米，BC＝4厘米，AD＝5厘米，DE＝1
厘米，AC＝12厘米，AE＝6厘米．如果三角形EAB的面积为24平方厘米．则点A到CD的
距离等于 4 ．
【分析】由AB＝8cm，BC＝4cm，AC＝12cm，可知，A、B、C三点不可能构成三角形，因此A、
B、C三点在同一条直线上，同理可知，A、D、E三点也在同一条直线上，由此，可画出图，
可知，由AE＝6cm，AB＝8cm，△EAB的面积为24cm2，可以判断三角形ABE为直角三角形，
即∠EAB＝90°，因而三角形ADC是一个直角三角形，利用勾股定理不难求得点A到CD
的距离．
【解答】解：根据分析，A、B、C三点在同一条直线上，A、D、E三点也在同一条直线上，
画出图形如图所示：
＝24，即 ×6×8×sin∠EAB＝24，
所以sin∠EAB＝1，所以∠EAB＝90°，在Rt△ADC中，由勾股定理可得，
CD＝ ＝ ＝13（cm），
第8页（共13页）设AF×CD＝AD×AC，即AF×13＝5×12，
故AF＝ ，即点A到CD距离为 ．
故答案是： （或写作4 ）．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）把n个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含
正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形
纸片一边的中点上．如图给出了n＝6时所有不同放置的方法，那么n＝9时有多少种不同
放置方法？
【分析】通过分析可知：
当层数为2时：8+1排列时有7种；7+2排列有5种；6+3排列时3种；5+4排列时1种；
当层数为3时：
6+2+1排列时有4种；5+3+1排列时有4种；4+3+2排列时有1种；
层数为4时无法满足，因此共有7+5+3+1+4+4+1＝25种不同的放置方法．据此解答即可．
【解答】解：
当层数为2时：
（1）8+1：7种
（2）7+2：5种
（3）6+3：3种
（4）5+4：1种
当层数为3时：
（1）6+2+1：4种
（2）5+3+1：4种
（3）4+3+2：1种
第9页（共13页）层数为4时无法满足．
因此共有：
7+5+3+1+4+4+1＝25（种）
答：n＝9时有25种不同放置方法．
10．（10分）有一杯子装满了浓度为16%的盐水，有大、中、小铁球各一个，它们的体积比为
10：4：3，首先将小球深入盐水杯中．结果盐水溢出10%，取出小球；其次把中球深入盐水
杯中，又将它取出；接着将大球深入盐水杯中后取出；最后在杯中倒入纯水至杯满为止．
此时杯中盐水的浓度是多少？（保留一位小数）
【分析】溢出水量实际就是大球的体积，即整杯盐水的10%× ＝ ，所以倒满水后浓度
变为 ，据此解答即可．
【解答】解：10%× ＝ ，
，
答：此时杯中盐水的浓度是10.7%．
11．（10分）清明节，同学们乘车去烈士陵园招募．如果汽车行驶1小时后，将车速提高五分
之一，就可以比预定时间提前20分钟赶到；如果该车先按原速行驶72km，再将车速提高
三分之一，就可以比预定时间提前30分钟赶到．那么从学校到烈士陵园有多少km？
【分析】先求出行驶1个小时后的预定时间，所用的时间就是预定时间的1÷（1+ ）＝ ，
则预定时间是20÷（1﹣ ）＝120分钟，所以全程的预定时间就是1小时+120分钟＝180
分钟；再求出所用时间，所用时间就是预定时间的1÷（1+ ）＝ ，即提前180×（1﹣ ）＝
45分钟，最后求出72千米所对应的分率即1﹣ ，解答即可．
【解答】解：如果行驶1个小时后，将车速提高五分之一，则行驶1个小时后所用的时间就
第10页（共13页）是预定时间是1÷（1+ ）＝ ，则预定时间是20÷（1﹣ ）＝120分钟，所以全程的预定时
间就是1小时+120分钟＝180分钟；
如果先按原速度行驶72千米，再将车速提高三分之一，则所用时间就是预定时间的1÷
（1+ ）＝ ，即提前180×（1﹣ ）＝45分钟，
但实际却提前了30分钟，说明有30÷45＝ 的路程提高了速度；
72÷（1﹣ ）＝216（千米）．
答：从学校到烈士陵园有216千米．
12．（10分）如图，在三角形ABC中，D为BC的中点，AF＝2BF，CE＝3AE，连接CF交DE于
P点，求 的值．
【分析】连接EF、DF．易知EP：DP＝S△EFC ：S△DFC ，求出S△EFC ：S△DFC 即可解决问题．
【解答】解：连接EF、DF．
∵EP：DP＝S△EFC ：S△DFC ，
又∵S△DFC ＝ S△BFC ，S△EFC ＝ S△AFC ，S△FBC ＝ S△AFC ，
∴EP：DP＝ S△AFC ： S△BFC ＝ S△AFC ： S△AFC ＝3：1，
∴ ＝3．
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）从连续自然数1，2，3，…，2014中取出n个数满足：任意取出两个数，不会有一个
数是另一个数的5倍，试求n的最大值，并说明理由．
【分析】首先分析2014除以5结果是402余数是4，那么403和以上的数字的5倍都是大
于2014的，继续推理即可求解．
第11页（共13页）【解答】解：依题意可知：
2014÷5＝402…4．
则403的5倍大于2014．那么从403﹣2014这些数字中不会有一个数是另一个数的5倍．
402÷5＝80…2说明数字可以取值80时，也没有5倍数的存在．
80÷5＝16，那么在17﹣80这些数字中没有5倍数的存在．
16÷5＝3…1．说明取值1，2，3时没有5倍数的存在．
取值为1﹣3，17﹣80，403﹣2014
2014﹣403+1+80﹣17+1+3﹣1+1＝1679．
综上所述答案为：1679．
14．（15分）在如图的算式中，字母a、b、c、d和“□”代表十个数字0到9中的一个，其中a、
b、c、d四个字母代表不同的数字，求a、b、c、d数字之和．
【分析】根据竖式，四位数减去三位数是2，由998+2＝1000，999+2＝1001可得a6b+4cd的
结果是1000或1001，然后再根据加法的计算方法进行解答．
【解答】解：根据竖式可得：a6b+4cd＝1000或a6b+4cd＝1001；
（1）c＝3时，b+d进位，
假设a6b+4cd＝1000；
个位上b+d＝10，向十位进1；
十位上：6+c+1＝10，c＝3，向百位进1；
百位上：a+4+1＝10，a＝5；
那么a+b+c+d＝5+10+3＝18；
假设a6b+4cd＝1001；
个位上b+d＝11，向十位进1；
十位上：6+c+1＝10，c＝3，向百位进1；
百位上：a+4+1＝10，a＝5；
那么a+b+c+d＝5+11+3＝19．
（4）c＝4时，b+d不进位，
此时b+d＝1，0+1＝1符合要求．
第12页（共13页）a+b+c+d＝5+1+4＝10．
答：a、b、c、d数字之和是10、18或19．
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日期：2019/5/7 10:51:10；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第13页（共13页）
