文档内容
2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（武汉赛区）
决赛试卷（小高组）
一、填空题
1．（10分）计算：2017 ÷2019 + ＝ ．
2．（10分）如图，圆周上有12个点，将圆周12等分．以这些等分点为四个顶点的矩形共有
个．
3．（10分）如图，已知ABCDEFGHI为正九边形，那么∠DIG＝ 度．
4．（10分）在黑板上按照从小到大的顺序写出所有能被17或20整除的非零自然数；17，20，
34，40，51，60，…那么这列数中排在第289位的数是 ．
5．（10分）甲农场有鸡、鸭共625只，乙农场有鸡、鸭共748只．其中乙农场的鸡比甲农场多
24%，甲农场的鸭比乙农场少15%，那么乙农场有鸡 只．
6．（10分）已知自然数n有10个约数，2n有20个约数，3n有15个约数，那么6n有
个约数．
7．（10分）甲乙两人进行10公里赛跑，甲跑完全程用了50分钟，此时乙离终点还差500米．
为了给乙一次机会，两人约定，第二次赛跑时甲退后500米起跑．假设两次跑步两人速度
都不变，则第二次跑步第一个人到达终点时，另一人离终点还差 米．
8．（10分）对于两位数n，A、B、C、D四人有以下的对话：
A：“n能被24整除．”
B：“n能被33整除．”
第1页（共11页）C：“n能被62整除．”
D：“n的各位数字之和为15．”
其中只有2人的话是正确的，那么n的取值为 ．
二、解答下列各题
9．（10分）一个四位数，它本身是一个完全平方数，由它前两位数字及后两位数字组成的两
个两位数也都是完全平方数．那么这个四位数是多少？
10．（10分）盒子里有4枚白色棋子和2枚黑色棋子，菲菲分若干次拿走所有棋子，每次至少
拿走一枚，共有多少种不同拿法？
11．（10分）熙熙军团的胸章是如图所示的正八边形图案，已知正八边形的边长为18，那么阴
影部分的面积是多少？
12．（10分）一个机关锁如图所示，锁上共有八卦和太极共九个按键，依次按下其中四个按键
后（按键按下便不可再按），若与正确按法一致则开锁，若不一致则机关重置至初始状态．
已知在太极按下之前不可连续按下正对的两个卦象键（例如图中的乾、坤或兑、艮），且正
确按法只有一种，那么打开这个机关锁至多需要试多少次？
三、解答下列各题
13．（15分）已知一个长方体的长、宽、高的比为4：3：2，用平面切割，切割面为六边形（如图
所示），已知所有这样的六边形的周长最小为36，求这个长方体的表面积．
第2页（共11页）14．（15分）如图，A、B、C分别是某学校的北门、西门和东门，从测量地图上看，线段AD、AE、
DE均为公路，B、C分别在AD、AE上，DC、BE交于P点，△PBC、△PBD、△PCE的面积
分别为73000平方米、163000平方米和694000平方米，小叶和小峰步行速度相同．一日，
他们放学后同时从北门出发，小叶先跑后走，小峰一直步行，当小叶用3分钟跑到西门时，
小峰恰好步行到东门，小叶继续用8分钟跑到D处，然后沿DE步行与从东门到E再往D
走的小峰会合，第二天按相同出行方式，如果小峰想在DE路段的中点处于小叶会合，需
要比小叶提前多少分钟出发？
第3页（共11页）2017 年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（武
汉赛区）决赛试卷（小高组）
参考答案与试题解析
一、填空题
1．（10分）计算：2017 ÷2019 + ＝ 1 ．
【分析】先把带分数化成假分数，然后把分子变形进行简算即可．
【解答】解：2017 ÷2019 +
＝ ÷ +
＝ ÷ +
＝ ÷ +
＝ +
＝1
故答案为：1．
2．（10分）如图，圆周上有12个点，将圆周12等分．以这些等分点为四个顶点的矩形共有
15 个．
【分析】
第4页（共11页）12个等分点是6条直径的端点，以这些等分点为顶点的矩形，一定以其中两条直径为对
角线，所以共有 ＝15个矩形，据此解答即可．
【解答】解：12个等分点是6条直径的端点，
共有： ＝ ＝15（个）
答：以这些等分点为四个顶点的矩形共有 15个．
故答案为：15．
3．（10分）如图，已知ABCDEFGHI为正九边形，那么∠DIG＝ 60 ° 度．
【分析】可以利用九边形的内角和，以及三角形的内角和，作辅助线，连接正九边形的中心，
则OI＝OD＝OG，从而可以求得∠DIG的度数．
【解答】解：根据分析，如图，O为正九边形中心，则OI＝OD＝OG，
∠DIG＝∠DIO+∠OIG
＝
＝ ∠DOG
＝ ×（360°÷9×3）
＝60°
故答案是：60°．
4．（10分）在黑板上按照从小到大的顺序写出所有能被17或20整除的非零自然数；17，20，
第5页（共11页）34，40，51，60，…那么这列数中排在第289位的数是 273 7 ．
【分析】先根据17和20的公倍数，算出数列的周期，再算出每个周期有多少个数，即可求
出第289位数是多少
【解答】解：根据分析，17和20的倍数交替出现，17和20的最小公倍数为340，
易知，1～340为一个周期，每个周期中列出了17+20﹣1个数，
289＝36×8+1∴数列中第289个数是：340×8+17＝2737
故答案为：2737
5．（10分）甲农场有鸡、鸭共625只，乙农场有鸡、鸭共748只．其中乙农场的鸡比甲农场多
24%，甲农场的鸭比乙农场少15%，那么乙农场有鸡 24 8 只．
【分析】根据“乙农场的鸡比甲农场多24%，”可得：甲农场的鸡是乙农场的鸡的 1÷
（1+24%）＝ ；根据“甲农场的鸭比乙农场少15%”可得：甲农场的鸭是乙农场的鸭的
1﹣15%＝ ；假设甲农场的鸡鸭都是乙农场的鸡鸭的 ，则多算了（748× ﹣625），
对应着分率也多了鸡的（ ﹣ ），由此用除法解答即可求出乙农场的鸡的只数．
【解答】解：1÷（1+24%）＝
1﹣15%＝
（748× ﹣625）÷（ ﹣ ）
＝10.8÷
＝248（只）
答：乙农场有鸡 248只．
故答案为：248．
6．（10分）已知自然数n有10个约数，2n有20个约数，3n有15个约数，那么6n有 3 0 个
约数．
【分析】n有10个约数，而2n有20个约数，按约数和定理，得知n的分解式中不含有2，3n
有15个约数，假设3n的分解式中不含有3，则3n的约数应该是（1+1）×10＝20个，则n的
分解式中含有一个3，6n分成2×3×n，再根据约数和定理，可以求得约数的个数．
第6页（共11页）【解答】解：根据分析，n有10个约数，2n有20个约数，
按约数和定理，又∵ ，∴n的质因数分解式中含有0个2；
设n＝3amx，又∵ ，∴n的质因数分解式中含有一个3，
根据约数和定理，得n的约数和为：（a+1）（x+1）＝10，
解得：a＝1，x＝4，此时n＝3×m4；
故6n＝2×3×n＝2×3×3×m4＝2×32×m4，
其约数和为：（1+1）×（2+1）（4+1）＝2×3×5＝30，
故答案是：30．
7．（10分）甲乙两人进行10公里赛跑，甲跑完全程用了50分钟，此时乙离终点还差500米．
为了给乙一次机会，两人约定，第二次赛跑时甲退后500米起跑．假设两次跑步两人速度
都不变，则第二次跑步第一个人到达终点时，另一人离终点还差 2 5 米．
【分析】首先找到不变量是时间，两人两次赛跑的时间是相同的，路程是成比例关系．
【解答】解：依题意可知：
当甲跑全程10公里时即10000米，乙跑全程的10000﹣500＝9500米，两人跑的时间相同，
路程成比例关系．
即10000：9500＝20：19＝（10000+500）：9975．
当甲跑完10500米时，乙跑9975米．
还差10000﹣9975＝25（米）
故答案为：25
8．（10分）对于两位数n，A、B、C、D四人有以下的对话：
A：“n能被24整除．”
B：“n能被33整除．”
C：“n能被62整除．”
D：“n的各位数字之和为15．”
其中只有2人的话是正确的，那么n的取值为 9 6 ．
【分析】四个人只有两个人的话是正确的，B、C的话都要求n的数字和是9的倍数，与的D
的话矛盾，从四个人的话中找到共同点和不同的，以及矛盾的点，即可判断谁的话是正确
的．
【解答】解：根据分析，B、C的话都要求n的数字和是9的倍数，
而C要求n的数字之和为15，若D正确，则B、C错误，所以A正确，n＝24×3＝96
第7页（共11页）若D错误，则24 和 33、62和33、24 和62的最小公倍数均大于100，矛盾
综上所述，n的取值为96
故答案为：96．
二、解答下列各题
9．（10分）一个四位数，它本身是一个完全平方数，由它前两位数字及后两位数字组成的两
个两位数也都是完全平方数．那么这个四位数是多少？
【分析】可以先假设这个四位数为 ，分两半，前两位和后两位，再根据完全平方数的
性质，可以在两位数里缩小范围，最后分别确定这两个两位数．
【解答】解：根据分析，设这个四位数为 ＝n2，∵前两位 是完全平方数，故 ≥16，
∴n≥41，又∵ ， 均为完全平方数，∴后两位 ≥2n﹣1≥2×41﹣1＝81，∴ ＝
81， ＝16，此四位数为1681，故答案是：1681．
10．（10分）盒子里有4枚白色棋子和2枚黑色棋子，菲菲分若干次拿走所有棋子，每次至少
拿走一枚，共有多少种不同拿法？
【分析】可以将将白棋看作列，黑棋看作行，则每次拿走若干棋子后，转化为左、下某一个
点的情况，然后构造图，最后求得不同的拿法．
【解答】解：根据分析，如图将白棋看作列，黑棋看作行，则每次拿走若干棋子后，
转化为左、下某一个点的情况，所以构造如图：
每个格点上标的数等于这点左、下所有格点各数之和，
所以4枚白棋2枚黑棋共有208种不同拿法．
故答案是：208．
11．（10分）熙熙军团的胸章是如图所示的正八边形图案，已知正八边形的边长为18，那么阴
影部分的面积是多少？
第8页（共11页）【分析】按题意，将图等积变形，将阴影部分的面积转化为求其它三角形的面积，最后转化
为S阴影 ＝4S△ABO ＝ ＝182＝324．
【解答】解：根据分析，如图，
S阴影 ＝2S△ABO +2S△COD ，显然S△COE ＝S△COD ＝S△BOA ，故：
S阴影 ＝4S△ABO ＝ ＝182＝324
故答案是：324．
12．（10分）一个机关锁如图所示，锁上共有八卦和太极共九个按键，依次按下其中四个按键
后（按键按下便不可再按），若与正确按法一致则开锁，若不一致则机关重置至初始状态．
已知在太极按下之前不可连续按下正对的两个卦象键（例如图中的乾、坤或兑、艮），且正
确按法只有一种，那么打开这个机关锁至多需要试多少次？
【分析】从九个按键中依此按4个，有9×8×7＝3024（种），其中前两次相对的有8×1×7×6＝
336（种），中间两次相对且第一步不是太极的有8×6×1×6＝288（种），末两次相对，前两部
不相对且部署太极的有8×6×4×1＝192（种），最后求和．
第9页（共11页）【解答】解：根据分析，从九个按键中依此按4个，有9×8×7＝3024（种）；
其中前两次相对的有8×1×7×6＝336（种）；
中间两次相对且第一步不是太极的有8×6×1×6＝288（种）；
末两次相对，前两步不相对且不是太极的有8×6×4×1＝192（种）；
所以所有可以按的方法有：3024﹣336﹣288﹣192＝2208（种）．
即至多需要试2208次．
故答案是：2208．
三、解答下列各题
13．（15分）已知一个长方体的长、宽、高的比为4：3：2，用平面切割，切割面为六边形（如图
所示），已知所有这样的六边形的周长最小为36，求这个长方体的表面积．
【分析】按题意，长方体的长、宽、高的比为4：3：2，而六边形周长最小，则六边形的六条边
在展开图上应构成一条线段，此时可以求出长方体的长、宽、高，表面积也即可求得．
【解答】解：根据分析，长方体展开图如下图：（AB与CE是同一条棱，P与Q是同一点）
所以周长最小时，六边形的六条边在展开图上应构成一条线段，
所以长方体表面积为：2×（长×宽+长×高+宽×高）＝2×（2×3+3×4+4×2）×[（ ）2÷2]＝
416，
故答案是：416．
第10页（共11页）14．（15分）如图，A、B、C分别是某学校的北门、西门和东门，从测量地图上看，线段AD、AE、
DE均为公路，B、C分别在AD、AE上，DC、BE交于P点，△PBC、△PBD、△PCE的面积
分别为73000平方米、163000平方米和694000平方米，小叶和小峰步行速度相同．一日，
他们放学后同时从北门出发，小叶先跑后走，小峰一直步行，当小叶用3分钟跑到西门时，
小峰恰好步行到东门，小叶继续用8分钟跑到D处，然后沿DE步行与从东门到E再往D
走的小峰会合，第二天按相同出行方式，如果小峰想在DE路段的中点处于小叶会合，需
要比小叶提前多少分钟出发？
【分析】首先分析各个线段之间的比例关系，找到两段距离的路程之间的关系，做差即可．
【解答】解：依题意可知：
＝ ， ＝ ＝ • ＝ × ＝ ；
所以小峰走CE需要26分钟，如果小峰想在DE路段的中点处和小叶会和，此时需要小叶
提前26﹣8＝18（分）．
答：如果小峰想在DE路段的中点处于小叶会合，需要比小叶提前18分钟．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 11:03:18；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第11页（共11页）
