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2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
（小高组A卷）
一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正
确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）
1．（10分）算式 × 的结果中含有（ ）个数字0．
A．2017 B．2016 C．2015 D．2014
2．（10分）已知A，B两地相距300米．甲、乙两人同时分别从A，B两地出发，相向而行，在距
A地140米处相遇； 如果乙每秒多行1米，则两人相遇处距B地180米．那么乙原来的速
度是每秒（ ）米．
A．2 B．2 C．3 D．3
3．（10分）在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被11或13整除的三
位数，则这个七位数最大是
（ ）
A．9981733 B．9884737 C．9978137 D．9871773
4．（10分）将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数排成一行，使得8的两边各数之和相等，那么共有（
）种不同的排法．
A．1152 B．864 C．576 D．288
5．（10分）在等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，AB＝6，CD＝14，∠AEC是直角，CE＝CB，
则AE2等于（ ）
A．84 B．80 C．75 D．64
6．（10分）从自然数1，2，3，…，2015，2016中，任意取n个不同的数，要求总能在这n个不同
的数中找到5个数，它们的数字和相等．那么n的最小值等于（ ）
A．109 B．110 C．111 D．112
二、填空题填空题（每小题10分，共40分）
第1页（共8页）7．（10分）两个正方形的面积之差为2016平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数
厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有 对．
8．（10分）如图，O，P，M是线段AB上的三个点，AO＝ AB，BP＝ AB，M是AB的中点，且
OM＝2，那么 PM 长为 ．
9．（10分）设P是一个平方数．如果q﹣2和q+2都是质数，就称q为P型平方数．例如：9就
是一个P型平方数．那么小于1000的最大P型平方数是 ．
10．（10分）有一个等腰梯形的纸片，上底长度为2015，下底长度为2016，用该纸片剪
出一些等腰梯形，要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两
个锐角等于原来梯形的锐角，则最多可以剪出 个同样的等腰梯形．
第2页（共8页）2016 年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛
试卷（小高组 A 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正
确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）
1．（10分）算式 × 的结果中含有（ ）个数字0．
A．2017 B．2016 C．2015 D．2014
【分析】把 变形为 ﹣1，然后根据乘法的分配律拆分，再进一步解答即可．
【解答】解： ×
＝（ ﹣1）×
＝ × ﹣
＝ ﹣
个位0减9不够减，需要连续退位，个位数得1，所以数字0的个数是：
2016﹣1＝2015（个）
故选：C．
2．（10分）已知A，B两地相距300米．甲、乙两人同时分别从A，B两地出发，相向而行，在距
A地140米处相遇； 如果乙每秒多行1米，则两人相遇处距B地180米．那么乙原来的速
度是每秒（ ）米．
A．2 B．2 C．3 D．3
【分析】本题是典型的利用正反比例解行程问题．首先根据不变量判断正反比．两次相遇
过程中两人的时间相同路程比等于速度比．两次过程中甲的速度没变．通分比较乙的．即
可解决问题．
【解答】解：第一次相遇过程中甲乙两人的路程之比为140：（300﹣140）＝7：8，时间相同
路程比就是速度比．
第二次相遇过程中的路程比是（300﹣180）：180＝2：3，速度比也是2：3．
在两次相遇问题中甲的速度是保持不变的，通分得，第一次速度比：7：8＝14：16．第二次
速度比2：3＝14：21．
第3页（共8页）速度从16份增加到21份速度增加每秒1米，即1÷（21﹣16）＝ ．
乙原来的速度是16× ＝3.2米/秒．
故选：D．
3．（10分）在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被11或13整除的三
位数，则这个七位数最大是
（ ）
A．9981733 B．9884737 C．9978137 D．9871773
【分析】首先根据最大的3位数是11或是13的倍数开始．然后每次向后边推一位数字找
出最大的倍数即可．
【解答】解：在7位数中，首先分析前三位数字，最大的11的倍数是990，最大13的倍数是
988，因为0不能做首位．所以7位数中不能含有数字0，11倍数的第二大数字是979小于
988．所以前三位数字是988．
第4位根据如果是11的倍数数字就是880．如果是13的倍数就是884．最大是884．
第5位根据如果是11的倍数数字就是847，如果是13的倍数就是845．最大是847．
第6位根据如果是11的倍数数字就是473，如果是13的倍数在470﹣479没有13的倍数．
所以是473
第7位根据如果是11的倍数是737，如果是13的倍数没有符合的数字．
所以这个7位数是9884737．
故选：B．
4．（10分）将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数排成一行，使得8的两边各数之和相等，那么共有（
）种不同的排法．
A．1152 B．864 C．576 D．288
【分析】首先求出1，2，3，4，5，6，7的和是28，判断出8的两边各数之和都是14；然后分4
种情况：（1）8的一边是1，6，7，另一边是2，3，4，5时；（2）8的一边是2，5，7，另一边是1，
3，4，6时；（3）8的一边是3，4，7，另一边是1，2，5，6时；（4）8的一边是1，2，4，7，另一边
是3，5，6时；求出每种情况下各有多少种不同的排法，即可求出共有多少种不同的排法．
【解答】解：1+2+3+4+5+6+7＝28
8的两边各数之和是：28÷2＝14
（1）8的一边是1，6，7，另一边是2，3，4，5时，
第4页（共8页）不同的排法一共有：
（3×2×1）×（4×3×2×1）×2
＝6×24×2
＝288（种）
（2）8的一边是2，5，7，另一边是1，3，4，6时，
不同的排法一共有288种．
（3）8的一边是3，4，7，另一边是1，2，5，6时，
不同的排法一共有288种．
（4）8的一边是1，2，4，7，另一边是3，5，6时，
不同的排法一共有288种．
因为288×4＝1152（种），
所以共有1152种不同的排法．
答：共有1152种不同的排法．
故选：A．
5．（10分）在等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，AB＝6，CD＝14，∠AEC是直角，CE＝CB，
则AE2等于（ ）
A．84 B．80 C．75 D．64
【分析】如图，连接AC，过点A作AF⊥CD于点F，过点B作BG⊥CD于点G，构建直角
△AFC和直角△BGC，结合勾股定理求得AE2的值．
【解答】解：如图，
连接AC，过点A作AF⊥CD于点F，过点B作BG⊥CD于点G，则AF＝BG，AB＝FG＝6，
DF＝CG＝4．
在直角△AFC中，AC2＝AF2+FC2＝AF2+102＝AF2+100，
第5页（共8页）在直角△BGC中，BC2＝BG2+GC2＝AF2+42＝AF2+16，
又∵CE＝CB，∠AEC＝90°，
∴AE2＝AC2﹣EC2＝AF2+100﹣（AF2+16）＝84，即AE2＝84．
故选：A．
6．（10分）从自然数1，2，3，…，2015，2016中，任意取n个不同的数，要求总能在这n个不同
的数中找到5个数，它们的数字和相等．那么n的最小值等于（ ）
A．109 B．110 C．111 D．112
【分析】首先确定题中要求的是每一个数字中的数字和120的数字和就是3，那么找到最
大的就是1999的是28，最小的是1的情况共有几个数字满足情况．都至多选出4个．再选
一个就是满足条件的．
【解答】解：依题意可知：
1﹣2019中最大的数字和是1999数字和为28．
数字和最小的为1共有1，10，100，1000共四个．
数字和为27的有999，1899，1998，1989共四个．
数字和为2﹣26的都超过5个数．
那么只要2﹣26的数字和中挑出4个数字，在把数字和为1，27，28的都算上，再来一个就
是5个数字了满足情况了．
27×4+1+1＝110．
故选：B．
二、填空题填空题（每小题10分，共40分）
7．（10分）两个正方形的面积之差为2016平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数
厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有 1 2 对．
【分析】假设大正方形的边长为x，小正方形的为y，x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2016，x+y与x
﹣y奇偶性相同，乘积2016是偶数，所以必是偶数，据此分解质因数2016＝25×32×7，然后
解答即可．
【解答】解：假设大正方形的边长为x，小正方形的为y，有题意可得：
x2﹣y2＝2016，
因式分解：（x+y）（x﹣y）＝2016，
x+y与x﹣y奇偶性相同，乘积2016是偶数，所以必是偶数，
2016＝25×32×7，
2016因数的个数：（1+5）×（2+1）×（1+1）＝36（个），
第6页（共8页）共有因数36÷2＝18对因数，
其中奇因数有：（2+1）×2＝6对，
所以偶数有：18﹣6＝12对，
即，满足上述条件的所有正方形共有 12对．
故答案为：12．
8．（10分）如图，O，P，M是线段AB上的三个点，AO＝ AB，BP＝ AB，M是AB的中点，且
OM＝2，那么 PM 长为 ．
【分析】如果想求出PM那么必须找到和OM的关系，在这些线段中都和AB进行的比较，
可以转换为OM，PM和AB的关系即可求解．
【解答】解：依题意可知：
PM＝AM﹣AP＝ AB﹣（AB﹣BP）＝ AB﹣ AB＝ AB．
OM＝MB﹣OB＝ AB﹣（AB﹣AO）＝ AB﹣ AB＝ AB＝2
∴AB＝
PM＝
故答案为：
9．（10分）设P是一个平方数．如果q﹣2和q+2都是质数，就称q为P型平方数．例如：9就
是一个P型平方数．那么小于1000的最大P型平方数是 22 5 ．
【分析】小于1000的最大P型平方数，33的平方数是1089，这个数需要小于33的平方的
平方数．q﹣2和q+2的差是4．只要找到数字相差4的不超过33的质数组合即可．
【解答】解：小于33的质数有31，29，23，19，17，13，11，7，5，3，2等
数字差是4的两个质数有19和23最大．
21﹣2＝19，21+2＝23.21×21＝441．
故答案为：441．
10．（10分）有一个等腰梯形的纸片，上底长度为2015，下底长度为2016，用该纸片剪
第7页（共8页）出一些等腰梯形，要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两
个锐角等于原来梯形的锐角，则最多可以剪出 402 9 个同样的等腰梯形．
【分析】由于等腰梯形的纸片，上底长度为2015，下底长度为2016，它们上下底的长度相
差1，要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等于
原来梯形的锐角，则剪出的梯形的下底长度约大于2016﹣2015＝1，依此即可求解．
【解答】解：（2015﹣1）×2+1
＝2014×2+1
＝4028+1
＝4029（个）
答：最多可以剪出4029个同样的等腰梯形．
故答案为：4029．
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日期：2019/5/7 11:02:12；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第8页（共8页）
