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2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小
高组C卷）
一、选择题（每小题10分，共60分）．
1．（10分）计算：（ ﹣ + ﹣ + ）×120﹣ ÷ （ ）
A．42 B．43 C．15 D．16
2．（10分）如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线，
这两条直线成45度角，最高的小树高2.8米，最低的小树高峰1.4米，那么从左向右数第4
棵树的高度是（ ）米．
A．2.6 B．2.4 C．2.2 D．2.0
3．（10分）春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、丙、
丁4位同学有如下对话：
甲：“丙，丁之中至少有1人捐了款”
乙：“丁，甲之中至多有1人捐了款”
丙：“你们3人之中至少有2人捐了款”
丁：“你们3人之中至多有2人捐了款”
已知这4位同学说的都是真话且其中恰有2位同学捐了款，那么这2位同学是（ ）
A．甲，乙 B．丙，丁 C．甲，丙 D．乙，丁
4．（10分）六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的
99分，最低的76分，那么按分数从高到低居第3位的同学的分数至少是（ ）
A．94 B．95 C．96 D．97
5．（10分）如图，BH是直角梯形ABCD的高，E为梯形对角线AC上一点，如果△DEH、
△BEH、△BCH的面积依次为56、50、40，那么△CEH的面积是（ ）
第1页（共13页）A．32 B．34 C．35 D．36
6．（10分）一个由边长为1的小正方形组成的n×n的方格网，用白色或黑色对每个小正方形
涂色，要求满足在任意矩形的4个角上的小正方形不全同色，那么正整数n的最大值是（
）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：（每小题10分，满分40分）
7．（10分）在每个格子中填入1﹣6中的一个，使得每行、每列及每个2×3长方形内（粗线框
围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和
是质数，那么四位数“相约华杯”是 ．
8．（10分）整数n一共有10个因数，这些因数从小到大排列，第8个是 ．那么整数n的最大
值是 ．
9．（10分）在边长为300厘米的正方形 中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块
阴影部分的面积差是 平方厘米，两块阴影部分的周长差是 厘米．（ 取
3.14） π
10．（10分）A地，B地，C地，D地依次分布在同一条公路上．甲，乙，丙三人分别从A地，B地，
第2页（共13页）C地同时出发，匀速向D地行进．当甲在C地追上乙时，甲的速度减少40%，当甲追上丙
时，甲的速度再次减少40%，甲追上丙后9分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25%；
乙追上丙后再行50米，三人同时到D地．已知乙出发时的速度是每分钟60米，那么甲出
发时的速度是每分钟 米，A、D两地间的路程是 米．
第3页（共13页）2015 年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试
卷（小高组 C 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题10分，共60分）．
1．（10分）计算：（ ﹣ + ﹣ + ）×120﹣ ÷ （ ）
A．42 B．43 C．15 D．16
【分析】首先对（ ﹣ + ﹣ + ）进行拆分，然后用所得的结果减去 除以 所
得的商，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（ ﹣ + ﹣ + ）×120﹣ ÷
＝（ + ﹣ ﹣ + + ﹣ ﹣ + + ）×120﹣
＝（ + ）×120﹣
＝30+ ×120﹣
＝42
故选：A．
2．（10分）如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线，
这两条直线成45度角，最高的小树高2.8米，最低的小树高峰1.4米，那么从左向右数第4
棵树的高度是（ ）米．
A．2.6 B．2.4 C．2.2 D．2.0
【分析】因为∠A＝45°，最高的小树高2.8米，所以AC＝2.8米，又因为树根成一条直线，树
第4页（共13页）顶也成一条直线，所以所有的树都互相平行，所以AB＝1.4米，BC＝AC﹣AB＝1.4米，因
为这排树的间距相同，则每个间距是 1.4÷7＝0.2米，则从左向右数第4棵树的高度：
0.2×4+1.4，据此解答即可．
【解答】解：因为：
树根成一条直线，树顶也成一条直线，∠A＝45°，最高的小树高2.8米，最低的小树高峰
1.4米，
所以AC＝2.8米，AB＝1.4米，BC＝AC﹣AB＝1.4米，
又因为：这排树的间距相同，
所以：
1.4÷7＝0.2（米）
0.2×4+1.4
＝0.8+1.4
＝2.2（米）
答：那么从左向右数第4棵树的高度是2.2米．
故选：C．
3．（10分）春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、丙、
丁4位同学有如下对话：
甲：“丙，丁之中至少有1人捐了款”
乙：“丁，甲之中至多有1人捐了款”
丙：“你们3人之中至少有2人捐了款”
丁：“你们3人之中至多有2人捐了款”
已知这4位同学说的都是真话且其中恰有2位同学捐了款，那么这2位同学是（ ）
A．甲，乙 B．丙，丁 C．甲，丙 D．乙，丁
【分析】因为有2位同学捐了款，所以根据：
丙：“你们3人之中至少有2人捐了款，说明捐款的只能是甲乙丁中的两个人，而丙没捐
钱；
第5页（共13页）甲：“丙，丁之中至少有1人捐了款”因为丙没捐钱，所以只能是丁捐款；
乙：“丁，甲之中至多有1人捐了款”只能是丁，所以甲没捐款；
这恰好印证了丁：“你们3人之中至多有2人捐了款”是正确的．
据此解答即可．
【解答】解：根据分析可得：
丙：“你们3人之中至少有2人捐了款，说明捐款的只能是甲乙丁中的两个人，而丙没捐
钱；
甲：“丙，丁之中至少有1人捐了款”因为丙没捐钱，所以只能是丁捐款；
乙：“丁，甲之中至多有1人捐了款”只能是丁，所以甲没捐款；
这恰好印证了丁：“你们3人之中至多有2人捐了款”是正确的，只有乙和丁捐了款．
故选：D．
4．（10分）六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的
99分，最低的76分，那么按分数从高到低居第3位的同学的分数至少是（ ）
A．94 B．95 C．96 D．97
【分析】要求第三名同学至少要考多少分，知道六名同学的总平均分，能求出总成绩，用总
成绩﹣最高分﹣最低分＝另四名同学的总成绩，要想第3个同学成绩最小，则第2个同学
成绩取最大值为：98，进而求出另三位同学的总成绩，进而根据“总成绩÷总人数＝平均
分”能求出另三名同学的平均分，继而分析、推导得出所求问题的答案．
【解答】解：92.5×6﹣99﹣76＝380（分），
由于最高分是99分，所以第二个的最好成绩最多是：98
剩余三人成绩和为：380﹣98＝282（分），
第3个同学成绩最小，第4、5个同学的成绩尽可能接近第三个同学的成绩，则这3个数相
差为1，
282÷3＝94（分），
则第三位同学至少是：94+1＝95（分）．
答：第三名至少得95分．
故选：B．
5．（10分）如图，BH是直角梯形ABCD的高，E为梯形对角线AC上一点，如果△DEH、
△BEH、△BCH的面积依次为56、50、40，那么△CEH的面积是（ ）
第6页（共13页）A．32 B．34 C．35 D．36
【分析】如下图所示：分别过点E作EF⊥DC，EG⊥BH，连接AF，BF，BD，由等底等高的三
角形面积相等，可得S△BDF ＝S△ADF ，S△ADC ＝S△BDC ，因此有：S△CDE ＝S△ADC ﹣S△ADE ＝
S△BDC ﹣S△BDF ＝S△BFC ，而S△BFC ＝S△BFH +S△BCH ＝S△BEH +S△BCH ＝90；因此S△CHE ＝S△EDC
﹣S△HDE ＝90﹣56＝34，据此即可解决．
【解答】解：如上图所示，分别过点E作EF⊥DC，EG⊥BH，连接AF，BF，BD，
则S△BDF ＝S△ADF ，S△ADC ＝S△BDC ，
所以S△CDE ＝S△ADC ﹣S△ADE ＝S△BDC ﹣S△BDF ＝S△BFC ，
又因为S△BFC ＝S△BFH +S△BCH ＝S△BEH +S△BCH ＝90，
所以S△CHE ＝S△EDC ﹣S△HDE ＝90﹣56＝34．
故选：B．
6．（10分）一个由边长为1的小正方形组成的n×n的方格网，用白色或黑色对每个小正方形
涂色，要求满足在任意矩形的4个角上的小正方形不全同色，那么正整数n的最大值是（
）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】此题要充分利用抽屉原理和假设推理．根据题目所给的选项不妨选一个中间的数
5为假设n的值，进行一步步地推理，进而推出与题目要求矛盾．从而得出n的取值范围，
即得出答案．
【解答】
解： 假设n＝5，（由抽屉原理知）第一行中至少有3个格子颜色相同．不妨设前3格为黑
①
第7页（共13页）色（如图1）．在这3个黑格下方可以分割为4个横着的3×1的长方形，若其中有一个中有
2个黑格（如图2），则存在着图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是黑格；所以这4
个横着的3×1的长方形中，每个至多1个黑格．
假设这4个横着的3×1的长方形中，有两个对应格子颜色都一样（如图3），则一样存在
②图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是白格；而3×1的长方形中至多1个黑格的只
有如图4的这4种．如果这4种都存在的话如图5，则同样存在图中粗线长方形4个角上
的小正方形都是白格；这均与题目要求的矛盾．
所以，n＜5，正整数n的最大值是4．而图6给出了n＝4的一种构造．
故选：B．
二、填空题：（每小题10分，满分40分）
7．（10分）在每个格子中填入1﹣6中的一个，使得每行、每列及每个2×3长方形内（粗线框
围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和
是质数，那么四位数“相约华杯”是 412 3 ．
【分析】如图：
因为第三行存在1、3、4，所以A为2，5，6之一，而3与A的和是质数，所以A为2．在A所
在的长方形中，还剩下1、4、5、6没有使用．而3与“相”的和是质数，所以“相”是4．
“相”与“约”的和为质数，“约”为1，“约”与“月”的和为质数，“月”为6，剩下
的C为5．第三行只剩下数字5，所以B为5；在B所在的长方形中，还剩下2、3、6没有使
用．而4与“杯”的和是质数，所以“杯”为 3，“杯”与”“华”的和为质数，所以
第8页（共13页）“华”为2，剩下的D就是6；所以四位数“相约华杯”是4123，据此解答即可．
【解答】解：如图：
因为第三行存在1．、3、4，所以A为2，5，6之一，而3与A的和是质数，所以A为2．在A
所在的长方形中，还剩下1、4、5、6没有使用．
而3与“相”的和是质数，所以“相”是4．
“相”与”“约”的和为质数，“约”为1，
“约”与”“月”的和为质数，“月”为6，
剩下的C为5．第三行只剩下数字5，所以B为5；
在B所在的长方形中，还剩下2、3、6没有使用．
而4与“杯”的和是质数，所以“杯”为3，“杯”与”“华”的和为质数，所以“华”
为2，剩下的D就是6；
所以四位数“相约华杯”是4123．
故答案为：4123．
8．（10分）整数n一共有10个因数，这些因数从小到大排列，第8个是 ．那么整数n的最大
值是 16 2 ．
【分析】由于整数的因数都是成对出现，则这10个约数必然是1、 、3、 、 、
、 、 、 、n，立即可以填出1、2、3、 、 、 、 、 、 、n，也就是
说n必然含有质因数2和3，然后结合因数个数定理可求解．
【解答】解：根据分析可知10个因数分别为1、2、3、 、 、 、 、 、 、n，
根据因数个数定理10＝1×（9+1）＝（1+1）×（4+1），
由于含质因数2和3，则n应为21×34或24×31，其中21×34＝162更大．
故答案为：162．
9．（10分）在边长为300厘米的正方形 中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块
第9页（共13页）阴影部分的面积差是 1597 5 平方厘米，两块阴影部分的周长差是 48 5 厘米．（ 取
3.14） π
【分析】（1）如图：
扇形ABC的面积＝ + + ，扇形BCD的面积＝ + + ，正方形ABCD的面积＝
+ + + + ①，所②以扇③形ABC的面积+扇形BC②D的③面④积﹣正方形ABCD的面积＝
①+②﹣③ ，④据⑤此可求出两块阴影部分面积的差是多少；
（②2）连③结B⑤E、CE，因BC＝BE＝CE，所以三角形BCE是等边三角形，所以扇形BCE的圆心
角是60°，扇形CED的圆心角是30°，据此可分别阴影部分的周长是多少，再相减即可．
【解答】解：（1）S扇形ABC ＝ + +
S扇形BCD ＝ + + ① ② ③
S正方形ABCD ②＝ ③+ ④+ + + ，
S扇形ABC +S扇形①
BCD
②﹣S③正方④形A⑤BCD的＝ + ﹣
﹣ ＝S扇形ABC +S扇形BCD ﹣S正方形A②BCD③的﹣⑤
③＝3.1⑤4×3002÷4+3.14×3002÷4﹣300×300﹣3.14×（30②0÷2）2÷2
＝3.14×90000÷4+3.14×90000÷4﹣300×300﹣3.14×22500÷2
＝70650+70650﹣90000﹣35325
＝15975（平方厘米）
（2）连结BE、CE
阴影部分 的周长是
③
第10页（共13页）×3.14×300×2+3.14×300÷2
＝628+471
＝1099（厘米）
阴影部分 的周长是
⑤
×3.14×300×2+300
＝314+300
＝614（厘米）
1099﹣614＝485（厘米）
答：两块阴影部分的面积差是 15975平方厘米，两块阴影部分的周长差是 485厘米．
故答案为：15975，485．
10．（10分）A地，B地，C地，D地依次分布在同一条公路上．甲，乙，丙三人分别从A地，B地，
C地同时出发，匀速向D地行进．当甲在C地追上乙时，甲的速度减少40%，当甲追上丙
时，甲的速度再次减少40%，甲追上丙后9分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25%；
乙追上丙后再行50米，三人同时到D地．已知乙出发时的速度是每分钟60米，那么甲出
发时的速度是每分钟 12 5 米，A、D两地间的路程是 188 0 米．
【分析】由于同时到达，所以甲追上丙后二者速度相等，乙追上丙后二者速度相等．乙出发
时的速度是每分钟60米，遇到丙后速度变为60×（1﹣25%）＝45（米/分），所以丙的速度
为45米/分，可以推知甲在追上丙后的速度变为45米/分，在追上乙后追上丙之前速度为
45÷（1﹣40%）＝75米/分，甲出发时的速度为75÷（1﹣40%）＝125（米/分 ）．甲在C地追
上乙，设在此时起追上丙花了t分钟，则在乙追上丙时也追上了甲，此时甲走的路程为
（75t+45×9）米，乙走的路程为60×（t+9）米，列方程为：
75t+45×9＝60×（t+9），解得t＝9．
由于此后又走了50米到达D地，所以CD的距离为75t+45×9+50＝1130（米）．由于甲从C
地花了9分钟追上乙，所以此时丙到C的距离为75×9﹣45×9＝270（米），即甲从A地到C
地，丙走了270÷45＝6（分钟），那么AC的距离为125×6＝750（米），所以AD得距离为
1130+750＝1880（米）．
【解答】解：遇到丙后速度变为：
60×（1﹣25%）
＝60×0.75
第11页（共13页）＝45（米/分）
甲在追上乙后追上丙之前速度为：
45÷（1﹣40%）
＝45÷0.6
＝75（米/分）
甲出发时的速度为：
75÷（1﹣40%）
＝75÷0.6
＝125（米/分 ）
甲在C地追上乙，设在此时起追上丙花了t分钟，得：
75t+45×9＝60×（t+9）
75t+405＝60t+540
15t＝135
t＝9
CD的距离为：
75t+45×9+50
＝75×9+405+50
＝1130（米）
甲从C地花了9分钟追上乙，所以此时丙到C的距离为：
75×9﹣45×9
＝（75﹣45）×9
＝270（米）
甲从A地到C地，丙走了：270÷45＝6（分钟），
那么AC的距离为：125×6＝750（米），
所以AD得距离为1130+750＝1880（米）．
第12页（共13页）答：甲出发时的速度是每分钟125米，A、D两地间的路程是1880米．
故答案为：125，1880．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 11:00:31；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第13页（共13页）
