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2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛网试决赛试卷
（小高组）
一、填空题（每题10分，共80分）
1．（10分）算式 ×[2 ×（1.875﹣ ）]÷[（0.875+1 ）÷3 ]的值为 ．
2．（10分）小龙的妈妈比爸爸小 3 岁，妈妈今年的年龄是小龙今年的9倍，爸爸明年的年龄
是小龙明年的8倍，那么爸爸今年 岁．
3．（10分）某水池有A、B两个排水龙头．同时打开两个龙头排水，30分钟可将满池的水排尽；
同时打开两个龙头排水10分钟，然后关闭A龙头，B龙头继续排水，30分钟后也可以将满
池的水排尽．那么单独打开B龙头，需要 分钟才能排尽满池的水．
4．（10分）如图，圆O的面积为32，OC⊥AB，∠AOE＝∠EOD，∠COF＝∠FOD，则扇形EOF
的面积为 ．
5．（10分）算式 + + + + + + + + + 的值的整数部分为 ．
6．（10分）如图中，正方形ABCD的面积为840平方厘米，AE＝EB，BF＝2FC，DF与EC相交
于G．则四边形AEGD的面积为 平方厘米．
7．（10分）一个自然数无论从左向右读或从右向左读都是一样的数称之为“回文数”，例如：
909．那么所有三位回文数的平均数是 ．
8．（10分）将七个连续自然数分别填在五个圆的交点A，B，C，D，E，F，G 处，使得每个圆上
的数的和都相等．如果所填的数都大于0且不大于10，则填在点G处的数是 ．
第1页（共10页）二、回答下列各题（每题10分，共40分，写出答案即可）
9．（10分）一只小虫沿如图中的线路从A爬到B．规定：图中标示箭头的边只能沿箭头方向行
进，而且每条边在同一路线中至多通过一次．问：小虫从A到B的不同路线有多少条？
10．（10分）如图是由1平方分米的正方形瓷砖铺砌的墙面的残片．问：图中由格点 A，B，C，
D 为顶点的四边形ABCD的面积等于多少平方分米？
11．（10分）在等式“爱国×创新×包容+厚德＝北京精神”中，每个汉字代表 0～9 的一个数
字，爱、国、创、新、包、容、厚、德分别代表不同的数字．当四位数北京精神最大时，厚德为
多少？
12．（10分）求最小的自然数，它恰好能表示成4种不同的不少于两个的连续非零自然数之和．
第2页（共10页）2012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛网试决
赛试卷（小高组）
参考答案与试题解析
一、填空题（每题10分，共80分）
1．（10分）算式 ×[2 ×（1.875﹣ ）]÷[（0.875+1 ）÷3 ]的值为 5 ．
【分析】根据分数的四则混合运算的运算顺序解答即可，注意把带分数化成假分数，小数
化成分数有利于计算．
【解答】解： ×[2 ×（1.875﹣ ）]÷[（0.875+1 ）÷3 ]
＝ × ×（ ﹣ ）÷[（ + ）× ]
＝4× ÷[（ + ）× ]
＝ ÷[ × ]
＝ ÷
＝5
故答案为：5．
2．（10分）小龙的妈妈比爸爸小 3 岁，妈妈今年的年龄是小龙今年的9倍，爸爸明年的年龄
是小龙明年的8倍，那么爸爸今年 3 9 岁．
【分析】设小龙今年的年龄是x岁，那么妈妈的年龄就是9x岁，小龙的妈妈比爸爸小3 岁，
那么小龙爸爸的年龄就是9x+3岁，明年小龙爸爸的年龄就是9x+3+1岁；小龙明年的年龄
就是x+1岁，它的8倍就是（x+1）×8，这与小龙爸爸明年的年龄相等，由此列出方程求出
小龙今年的年龄，进而求出爸爸的年龄．
【解答】解：设小龙今年的年龄是x岁，小龙爸爸的年龄就是9x+3岁，
（x+1）×8＝9x+3+1
8x+8＝9x+4
9x﹣8x＝8﹣4
第3页（共10页）x＝4
9x+3＝9×4+3＝39（岁）
答：爸爸今年39岁．
故答案为：39．
3．（10分）某水池有A、B两个排水龙头．同时打开两个龙头排水，30分钟可将满池的水排尽；
同时打开两个龙头排水10分钟，然后关闭A龙头，B龙头继续排水，30分钟后也可以将满
池的水排尽．那么单独打开B龙头，需要 4 5 分钟才能排尽满池的水．
【分析】设工作总量为1，A，B共同排水30分钟排尽，10分钟完成工程的 ，B完成剩下工
程的 ，时间为30分钟，据此可求出B的工作效率，进而求解．
【解答】解：设工作总量为1，A，B共同排水需要30分钟．两个水龙头的效率和为 ，
合作10分钟，完成工作总量为 ×10＝ ，
但是B排水单独工作需要30分钟，工作总量为 ，
B水龙头的效率为： ，
单独打开B需要时间：1÷ ＝45（分）．
故答案为：45．
4．（10分）如图，圆O的面积为32，OC⊥AB，∠AOE＝∠EOD，∠COF＝∠FOD，则扇形EOF
的面积为 4 ．
【分析】可以利用弧度之间的关系先求得EOF的弧度，而EOF可以分EOC和COF两个弧
度，再利用已知的弧度关系，不难求得EOF的弧度，面积也不难求得．
【解答】解：根据分析，由图可知，∠AOE＝∠EOD＝∠FOD+∠COF+∠EOC；
第4页（共10页）又∠AOE＝90°﹣∠EOC，∠FOD＝∠COF，
∴90°﹣∠EOC＝∠FOD+∠COF+∠EOC＝2×∠COF+∠EOC，
2（∠EOC+∠COF）＝90° ∠EOC+∠COF＝45°
⇒∠EOF＝45°，又∵圆O的⇒面积为32＝ r2，
⇒ π
∴EOF的面积＝ ＝ ＝4．
故答案是：4．
5．（10分）算式 + + + + + + + + + 的值的整数部分为 4 6 ．
【分析】先把算式通过拆分变形为50﹣5×（ + + + +…+ + ），然后讨论括
号里的和的取值，即可解答．
【解答】解：设A＝ + + + + + + + + +
＝5×（ + + + + + + + + + ）
＝5×（1×10﹣ ﹣ ﹣…﹣ ）
＝50﹣5×（ + + + +…+ + ）
括号里的：
+ + + +…+ +
＝（ + + + ）+（ + ）+（ + + ）
所以， + + + +…+ + ＜5×（ + ）＝
则，A＞50﹣5× ≈46.5
同理， + + + +…+ +
＝（ + + + ）+（ + ）+（ + + ）
第5页（共10页）所以， + + + +…+ + ＞5×（ + ）＝
则，A＜50﹣5× ≈46.8
所以，46.5＜A＜46.8
所以，[A]＝46
即，原式的值的整数部分为46．
故答案为：46．
6．（10分）如图中，正方形ABCD的面积为840平方厘米，AE＝EB，BF＝2FC，DF与EC相交
于G．则四边形AEGD的面积为 51 0 平方厘米．
【分析】这图形，易让人想到求三角形BCE、CDF、CGF的面积，其中难求得是△CGF的面
积．根据所给的条件，我们应做做GM⊥BC交点为M，这样就形成了与△BCE、△CDF对
应的2组相似三角形．再利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可求得△CGF
的面积．最后根据图形即可算出所求图形的面积．
【解答】解：做GM⊥BC交点为M，
∴△FMG∽△FCD FM：FC＝MG：CD，
∵BF＝2FC BC＝3⇒FC，
∴MG＝3FM⇒，
∵△CGM：△CEB CM：CB＝GM：BE，
BC＝2BE， ⇒
∴GM＝ CM＝3FM CM＝6FM，
⇒
∴FM：FC＝1：7，
CM：CB＝2：7，
S△BCE＝ □ABCD＝210，
S△CGM＝4÷49×210＝840÷49＝120÷7，
S△CDF＝S□ABCD÷6＝140，
第6页（共10页）S△MGF＝140×1÷49＝140÷49＝20÷7，
S△CGM+△MGF＝120÷7+20÷7＝20，
840﹣210﹣140+20＝510（平方厘米）．
故：四边形AEGD的面积是510平方厘米．
7．（10分）一个自然数无论从左向右读或从右向左读都是一样的数称之为“回文数”，例如：
909．那么所有三位回文数的平均数是 55 0 ．
【分析】三位回文数是ABA的形式，共有90个，因此平均数＝这些数的和÷90＝[101×
（1+2+…+9）×10+10×（0+1+2+…+9）×9]÷90，即可得出结论．
【解答】解：三位回文数是ABA的形式
A共有1到9共9种可能，即1B1、2B2、3B3…
B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、…
共有9×10＝90个
因此平均数＝这些数的和÷90
＝[101×（1+2+…+9）×10+10×（0+1+2+…+9）×9]÷90
＝（101×45×10+10×45×9）÷90
＝45×10×110÷90
＝5×110
＝550，
故答案为550．
8．（10分）将七个连续自然数分别填在五个圆的交点A，B，C，D，E，F，G 处，使得每个圆上
的数的和都相等．如果所填的数都大于0且不大于10，则填在点G处的数是 6 ．
第7页（共10页）【分析】首先分析这些数字之间的关系，相等的量和有倍数关系的量，枚举尝试即可．
【解答】解：依题意可知：
A+B＝A+C+D＝B+E+F＝C+F+G＝D+E+G．
C+D＝B，E+F＝A．
C+F+G+D+E+G＝A+B+A+B
2G＝A+B．（和为偶数）
字母G估算再中间数字5，6，7．字母A不能是1，2．字母B比较大．
尝试A＝3，B＝9，G＝6．E+F＝3，C+D＝9．相等数字和为12．所以F＝1．C＝5．E＝2，D＝
4．满足条件．
故答案为：6
二、回答下列各题（每题10分，共40分，写出答案即可）
9．（10分）一只小虫沿如图中的线路从A爬到B．规定：图中标示箭头的边只能沿箭头方向行
进，而且每条边在同一路线中至多通过一次．问：小虫从A到B的不同路线有多少条？
【分析】小虫从A到B，第一个六边形的分叉口上下均有2条，B所在的六边形也上下有2
条，于是有2×2+2×2＝8条，中间往回走的箭头有2条路线，一共有10条．
【解答】解：小虫从A到B，第一个六边形的分叉口上下均有2条，B所在的六边形也上下
有2条，于是有2×2+2×2＝8条，中间往回走的箭头有2条路线，一共有10条．
答：小虫从A到B的不同路线有10条．
10．（10分）如图是由1平方分米的正方形瓷砖铺砌的墙面的残片．问：图中由格点 A，B，C，
D 为顶点的四边形ABCD的面积等于多少平方分米？
第8页（共10页）【分析】这属于正方形格点问题，根据正方形格点毕克定理S＝N﹣1+L÷2可以直接求出面
积，其中N表示内部的格点数，L表示边界上的格点数．
【解答】解：内部的格点数是12，边界点的数是6，根据公式列出算式是
12﹣1+6÷2＝14
答：四边形ABCD的面积等于14平方分米．
11．（10分）在等式“爱国×创新×包容+厚德＝北京精神”中，每个汉字代表 0～9 的一个数
字，爱、国、创、新、包、容、厚、德分别代表不同的数字．当四位数北京精神最大时，厚德为
多少？
【分析】由题意，14×20×35+98＝9898，即可得出结论．
【解答】解：由题意，14×20×35+98＝9898，
∴当四位数北京精神最大时，厚德为98．
12．（10分）求最小的自然数，它恰好能表示成4种不同的不少于两个的连续非零自然数之和．
【分析】从连续非零自然数的和的奇偶性切入进行分析：因为是连续非零自然数之和，那
么两个数的和，奇数+偶数＝奇数；三个数的和，偶数+奇数+偶数＝奇数，并且是3的倍数；
四个数的和一定是偶数，排除掉；五个数的和，奇数+偶数+奇数+偶数+奇数＝奇数，并且
是5的倍数；六个数时，三个奇数+三个偶数＝奇数．3和5最小公倍数是15，这个最小自
然数一定是15的倍数．
通过试算可知45是符合条件的最小的自然数．
【解答】解：两个数的和，奇数+偶数＝奇数；
三个数的和，偶数+奇数+偶数＝奇数，并且是3的倍数；
四个数的和一定是偶数，排除掉；
五个数的和，奇数+偶数+奇数+偶数+奇数＝奇数，并且是5的倍数；
六个数时，三个奇数+三个偶数＝奇数．
3和5的最小公倍数是15，所以这个最小自然数一定是15的倍数．
第9页（共10页）试算：45＝22+23＝14+15+16＝7+8+9+10+11＝5+6+7+8+9+10
所以45是符合条件的最小的自然数．
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日期：2019/5/7 10:49:29；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第10页（共10页）
