文档内容
2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷C（小
学组）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）3 +5 +7 ＝ ．
2．（10分）工程队的8个人用30天完成了某项工程的 ，接着增加了4个人完成其余的工程，
那么完成这项工程共用了 天．
3．（10分）甲乙两人骑自行车同时从A地出发去B地，甲的车速是乙的车速的1.2倍．乙骑了
4千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的 ．排除故障后，乙的速度提高了
60%，结果甲乙同时到达B地．那么A，B两地之间的
距离为 千米．
4．（10分）在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟，在圆形钟面的边界，每分钟的刻度处都
有一个小彩灯．晚上9时37分20秒时，在分针与时针所夹的锐角内有 个小彩灯．
5．（10分）在边长为2厘米的正方形ABCD中，分别以A，B，C，D为圆心，2厘米为半径画四
分之一圆，交点E，F，G，H，如图所示．则中间阴影部分的周长为 厘米．（取圆周率
＝3.141）
π
6．（10分）用同一种颜色对4×4方格的7个格子进行涂色，如果某列有涂色的方格则必须从
最底下的格子逐格往上涂色，相邻两列中左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方
格数（如图）．那么共有 种涂色的图案．
第1页（共12页）7．已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标示的尺寸（单位：厘米），这个几何体的体积
是 （立方厘米）
8．（10分）公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数，其中每个数字是由横竖放置的七
支荧光管显示，如图所示．某公交车的数字显示器有一支坏了的荧光管不亮，显示的线路
号为“351”，则可能的线路号有 个．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）在如图的加法竖式中，不同的汉字可以代表相同的数字，使得算式成立．在所有满
足要求的算式中，四位数 的最大值是多少？
10．（10分）长方形ABCD的面积是70平方厘米．梯形AFGE的顶点F在BC上，D是腰EG
的中点．试求梯形AFGE的面积．
11．（10分）不能写成3个不相等的合数之和的最大奇数是 ．
12．（10分）设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数，则这个月的21日可能是星期
几？
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）以[x]表示不超过x的最大整数，设自然数n满足
第2页（共12页），
则n的最小值是多少？
14．（15分）一个长40、宽25、高60的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a，其
中0＜a≤60．现将棱长为10的立方体铁块放在容器的底面，问放入铁块后水深是多少？
第3页（共12页）2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试
卷 C（小学组）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．（10分）3 +5 +7 ＝ 1 7 ．
【分析】直接通分，化为同分母分数相加计算即可．
【解答】解：3 +5 +7
＝3 +5 +7
＝17 ．
故答案为：17 ．
2．（10分）工程队的8个人用30天完成了某项工程的 ，接着增加了4个人完成其余的工程，
那么完成这项工程共用了 4 0 天．
【分析】把这项工程看作单位“1”，用“ ÷30÷8＝ ”求出1人1天的工作效率，则
8+4＝12个人工作效率和为 ×12＝ ，剩下的工作总量是1﹣ ＝ ，然后根据：工作
总量÷工作效率＝工作时间“求出后来用的时间，进而求出完成这项工程共用的时间．
【解答】解：一个人的工作效率是： ÷30÷8＝ ，
8+4＝12（人）
12个人的工作效率和为： ×12＝ ，
共需：（1﹣ ）÷ +30
＝10+30
第4页（共12页）＝40（天）
答：那么完成这项工程共用了40天．
故答案为：40．
3．（10分）甲乙两人骑自行车同时从A地出发去B地，甲的车速是乙的车速的1.2倍．乙骑了
4千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的 ．排除故障后，乙的速度提高了
60%，结果甲乙同时到达B地．那么A，B两地之间的
距离为 3 6 千米．
【分析】设A、B相距为X；乙的速度是V，则甲的速度为1.2V；当乙走了4000的时候，甲肯
定走了4800；假设乙排除故障的时间为t，那这段时间甲走的距离为1.2V×（ × ）＝
0.2X；我们假设从乙排除故障以后的时间为T，可列出：4800+0.2X+1.2VT＝4000+1.6VT；
我们得出800+0.2X＝0.4VT；因为X＝4000+1.6VT，代入得出：VT＝20000，则进而算出X＝
36000米＝36千米．
【解答】解：设A、B相距为X；乙的速度是V，则甲的速度为1.2V：
当乙走了4000的时候，甲走了：4000×1.2＝4800（米）；
设乙排除故障的时间为t，那这段时间甲走的距离为：1.2V×（ × ）＝0.2X；
设从乙排除故障以后的时间为T，可列出：4800+0.2X+1.2VT＝4000+1.6VT；
得出800+0.2X＝0.4VT；
因为X＝4000+1.6VT，代入得出：VT＝20000，把VT＝20000代入4800+0.2X+1.2VT＝
4000+1.6VT，
得出：X＝36000米＝36千米．
答：A，B两地之间的：距离为36千米．
故答案为：36．
4．（10分）在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟，在圆形钟面的边界，每分钟的刻度处都
有一个小彩灯．晚上9时37分20秒时，在分针与时针所夹的锐角内有 1 1 个小彩灯．
【分析】首先分析以整点钟面为例，当9点时再走37分20秒，计算出时针的路程和分针的
路程找到中间的格数差即可．
【解答】解：依题意可知：
第5页（共12页）从晚上9点开始，分针走了37格20秒时，时针走（37+ ）× ＝3 ；
时针走了3格多．分针果了37，那么就是38到48之间的共有11个．
故答案为：11．
5．（10分）在边长为2厘米的正方形ABCD中，分别以A，B，C，D为圆心，2厘米为半径画四
分之一圆，交点E，F，G，H，如图所示．则中间阴影部分的周长为 4.18 8 厘米．（取圆周
率 ＝3.141）
π
【分析】如图所示：由题意很容易就可以得出△ 为等边三角形，则弧 为 圆的周长，
ABF
同理弧 也为 圆的周长，所以弧 ＝ + ﹣ ＝ 圆的周长，同理其余三
段也为 圆的周长，故阴影部分图形的周长＝ 圆的周长，再据圆的周长公式即可得解．
【解答】解：依题易知△ABF为等边三角形，
故弧 为 圆的周长，同理弧 也为 圆的周长，所以弧 ＝ + ﹣ ＝
圆的周长，同理其余三段也为 圆的周长，
故阴影部分的周长＝ 圆的周长＝ ＝4.188（厘米）；
答：中间阴影部分的周长为4.188厘米．
故答案为：4.188．
第6页（共12页）6．（10分）用同一种颜色对4×4方格的7个格子进行涂色，如果某列有涂色的方格则必须从
最底下的格子逐格往上涂色，相邻两列中左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方
格数（如图）．那么共有 9 种涂色的图案．
【分析】按照要求把4x4方格的7个格子进行涂色，左侧的涂色的方格数大于或等于右侧
涂色的方格数，把7分成几个数的和，左边的数最大是4，例如4+3＝7，涂在第一列开始到
第三列开始有3种图案；
3+2+2＝7，分别从1、2列开始涂色，有2种图案；
3+2+1+1，只有从第1列开始涂色，有1种图案；
4+1+1+1，只有从第1列开始涂色1种图案；
4+2+1＝7，分别从1、2列开始涂色，有2种图案；
把它们加起来，即可得解．
【解答】解：如图，
3+2+1+1+2＝9（种），
答：那么共有9种涂色的图案．
故答案为：9．
7．已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标示的尺寸（单位：厘米），这个几何体的体积
第7页（共12页）是 900 0 （立方厘米）
【分析】观察三视图可知，原来的几何体是四棱锥，底面积为30×30，高为30，根据锥体的
体积公式＝ sh计算即可．
【解答】解：观察三视图可知，原来的几何体是四棱锥，底面积为30×30，高为30，
所以 ×30×30×30＝9000立方厘米，
故答案为9000．
8．（10分）公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数，其中每个数字是由横竖放置的七
支荧光管显示，如图所示．某公交车的数字显示器有一支坏了的荧光管不亮，显示的线路
号为“351”，则可能的线路号有 5 个．
【分析】根据七支荧光管能组成一个数字，则在351基础上讨论可能的所有情况即可．
【解答】解：把三个数字“351”看成一个三位数，
坏在个位上，1加上1个荧光管，可以变成7，所以可能是357，
坏在十位上，5加上一个荧光管可以变成6或者9，所以可能是361，391；
坏在百位上，3加上一个荧光管可以变成9，所以可能是951；
还有一种情况，路线就是351，坏的正好处在不需要亮的位置．
答：一共有5个不同的线路．
故答案为：5．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9．（10分）在如图的加法竖式中，不同的汉字可以代表相同的数字，使得算式成立．在所有满
足要求的算式中，四位数 的最大值是多少？
第8页（共12页）【分析】根据题干，要使四位数 的值最大，则上面的两位数加数和三位数加数的
值应该最小，则两位数加数最小是10，三位数加数最小是100，则四位数 的最
大值就是2011﹣100﹣10＝1901．
【解答】解：根据题干分析可得，两位数加数最小是10，三位数加数最小是100，
则四位数 的最大值就是2011﹣100﹣10＝1901．
答：四位数 的最大值是1901．
10．（10分）长方形ABCD的面积是70平方厘米．梯形AFGE的顶点F在BC上，D是腰EG
的中点．试求梯形AFGE的面积．
【分析】根据题意可连接DF，三角形ADF和长方形ABCD是同底等高的，因此可知三角形
ADF的面积是长方形ABCD面积的一半，因为点D是EG的中点，AE平行与FG，所以三
角形ADF也是梯形AFGE面积的一半，因为点D是线段EG的中点，所以三角形ADE和
三角形DGF的面积就为梯形AFGE面积的一半，即梯形的面积等于长方形的面积，据此
解答即可．
【解答】解：三角形ADF＝70÷2＝35（平方厘米），
因为点D为EG的中点，
所以三角形AED+三角形DFG＝35（平方厘米），
第9页（共12页）梯形AFGE的面积：35+35＝70（平方厘米），
答：梯形AFGE的面积是70平方厘米．
11．（10分）不能写成3个不相等的合数之和的最大奇数是 1 7 ．
【分析】在正整数中，三个最小的合数是4，6，8，先计算它们的和，然后将其与最接近的奇
数比较，最后再来证明此结论的正确性．
【解答】解：在正整数中，三个最小的合数是4，6，8，它们的和是4+6+8＝18，于是17是不
能用三个不同的合数的和表示的奇数． 下面证明大于等于19的奇数n都能用三个不同
的合数的和来表示．
由于当k≥3时，4，9，2k是三个不同的合数，并且4+9+2k≥19，所以只要适当选择k，就可
以使大于等于19的奇数n都能用4，9，2k（k＝ ）的和来表示．
综上所述，不能表示为3个不相等的合数的和的最大奇数是17．
故答案为：17．
12．（10分）设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数，则这个月的21日可能是星期
几？
【分析】设这个月的第一个星期日是a日（1≤a≤7），则这个月内星期日的日期是7k+a，k
是整数，7k+a≤31．要求有三个奇数．然后分当a＝1时，当a＝2时，当a＝3时，4≤a≤7
时，进行讨论，作出解答．
【解答】解：设这个月的第一个星期日是a日（1≤a≤7），则这个月内星期日的日期是
7k+a，k 是整数，7k+a≤31．
当a＝1时，要使7k+1 是奇数，k 为偶数，即k 可取0，2，4 三个值，此时，7k+a＝7k+1，分
别为1，15，29，这时21号是星期六．
当a＝2时，要使7k+2 是奇数，k 为奇数，即k 可取1，3 两个值，7k+2 不可能有三个奇
数．
当a＝3时，要使7k+3 是奇数，k 为偶数，即k 可取0，2，4 三个值，此时7k+a＝7k+3，分
别为3，17，31，这时21号是星期四．
当4≤a≤7时，7k+a不可能有三个奇数．
故答案为：4或6．
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．（15分）以[x]表示不超过x的最大整数，设自然数n满足
第10页（共12页），
则n的最小值是多少？
【分析】当n是15的倍数时，得到的整数商是1、2、3、…k，所以前14个分数取整都是0，从
＝1 后面，令每 15 个分数的取整分别为 1、2、3、…k，所以可以得到：
14×0+15×1+15×2+15×3+…+15×k＝15×（1+2+3+…+k）＞2000，即（k+1）×k＞ ，然后讨
论k的取值范围即可．
【解答】解：当n是15的倍数时，前14个分数取整都是0，从 ＝1后面，令每15个分数
的取整分别为1、2、3、…k，所以可以得到：
14×0+15×1+15×2+15×3+…+15×k＝15×（1+2+3+…+k）＞2000，
即（k+1）×k＞ ，则（k+1）×k≥267，
先找到接近的整数，
则，15×（15+1）＝240
（16+1）×16＝272，
当k＝16时，即n＝15×（16﹣1）+1+14＝240
则， 以前的数取整的和是：
即，15×（1+2+3+…+15）＝1800，
1800＜2000，
还差2000﹣1800﹣ ＝184，
所以，还需要再向后取184÷16≈12个，
所以，n的最小值是：240+12＝252．
答：n的最小值是252．
14．（15分）一个长40、宽25、高60的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a，其
中0＜a≤60．现将棱长为10的立方体铁块放在容器的底面，问放入铁块后水深是多少？
【分析】由题意，长40、宽25、高60的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a，
其中0＜a≤60，由此可知水深是个未知数，不确定，因此要分情况来讨论，根据放入铁块
第11页（共12页）后不同的水深讨论解答即可．
【解答】解：由题设知
容器底面积S＝40×25＝1000，
体积V＝1000×60＝60000，
铁块底面积S铁 ＝10×10＝100，
铁块体积V铁 ＝10×10×10＝1000，
（1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为60时，
1000a+1000＝60000，得 a＝59．
所以，当59≤a≤60 时，水深为60（多余的水溢出）．
（2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为10 时，
1000a+1000＝10000，得 a＝9．
所以，当9≤a＜59 时，水深为 ＝a+1；
（3）由（2）知，当0＜a＜9 时，设水深为x，则
1000x＝1000a+100x，得x＝ a；
答：当0＜a＜9 时，水深为 a；当9≤a＜59 时，水深为a+1；当59≤a≤60时，水深为
60．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 10:53:58；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第12页（共12页）
